淺水方程源項處理的研究進展

許仁義 汪凌翔 王遠見 方浩川 王俊賢 戴惠東

摘 要：淺水方程由納維-斯托克斯方程推導而來，是一種描述具有自由表面的淺水體在重力作用下流動的數(shù)學模型。實際淺水流動不可能是完全理想的情況，必須考慮底坡和摩阻等源項的存在，它們影響計算的穩(wěn)定性和精確性，如果處理不當還會造成格式的不和諧，因此源項處理是求解淺水流動方程的關鍵，也是國內外學者研究的一個重要方向。介紹目前求解淺水方程存在的4個主要困難，介紹淺水方程的各種離散方法以及優(yōu)缺點，闡述源項處理的重要性和源項的分類，回顧和總結國內外處理源項的方法以及目前存在的困難。根據目前的研究進展，源項處理依舊有廣闊的研究前景，如何平衡好源項處理方法的正效應和負效應是一個值得研究的課題。

關鍵詞：淺水方程;源項處理;和諧性;有限體積法;不規(guī)則地形

中圖分類號：TV131 文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2021.07.007

引用格式：許仁義，汪凌翔，王遠見，等.淺水方程源項處理的研究進展[J].人民黃河，2021，43（7）：35-40，83.

Abstract： The shallow water equation， derived from the Navier-Stokes equation is a mathematical model to describe the flow of shallow water with a free surface under the action of gravity. Actual shallow water flow cant be a perfectly ideal situation， bottom slope and friction must always be considered such as the existence of the source term. It affects the calculations stability and precision， if handles not properly it will cause disharmony in the format. Thus， the source term processing is the key to solve the shallow water flow equation and also is an important direction in the research of scholars at home and abroad. This paper introduced four main difficulties in solving shallow water equation and various discrete methods of shallow water equation as well as their advantages and disadvantages， expounded the importance of source term treatment and the classification of source term and reviewed and summarized the methods of source term treatment at home and abroad as well as the existing difficulties. Finally， according to the current research progress， it put forward that the source term treatment still had a broad research prospect and how to balance the positive and negative effects of source term treatment would be a worthy topic to be studied.

Key words： shallow water equation; source term processing; well-balance; finite volume method; irregular terrain

水力學中的淺水是指水深尺度遠小于平面尺度且垂向流速小的水流[1]，人們關心的潰壩問題、水環(huán)境污染問題、潮汐和涌浪等都可以用淺水流動描述，而淺水方程是描述各類淺水流動的數(shù)學形式。如今，隨著計算機性能大幅提升，淺水數(shù)值模擬以其無可替代的優(yōu)勢開始廣泛應用于河道、河口、水庫以及近海水域等環(huán)境。淺水方程是一種非線性雙曲型方程，如何更加精確且高效地求解是一個值得研究的課題，因此衍生出許多離散方式。由于現(xiàn)實環(huán)境的復雜性，為了得到更加真實的數(shù)值結果，必須考慮源項的存在，因此探求源項處理方法成為了許多學者研究的方向。

1 控制方程

控制方程為一維淺水方程守恒形式，滿足靜壓假定。

式中：守恒變量向量U=hhu;通量向量F（U）=huhu2+12gh2;源項向量S（U）=Sb+Sf+Sw+Sc，如果忽略表面風應力和柯氏力，則S（U）=Sb+Sf=0gh（-Sbx-Sfx），其中Sbx=zx;Sfx為沿x方向的阻力;Sb、Sf、Sw、Sc分別為底坡源項、摩阻源項、表面風應力、柯氏力;z為河床曲面高程;u為x方向的平均流速;h為水深;g為重力加速度。

2 求解淺水方程存在的困難

淺水方程屬于非線性雙曲型偏微分方程，滿足質量守恒、動量守恒和能量守恒，這種物理量守恒的方程也可以被稱為雙曲守恒方程[2]。求解非線性偏微分方程組十分困難，很難獲得解析解，為了得到更精確的數(shù)值解，一般有兩種辦法：一種是提高計算機的算力，另一種就是不斷改良數(shù)值方法、提高計算精度和計算效率。

目前數(shù)值求解淺水方程這類雙曲守恒方程存在以下困難：

（1）解的間斷。擾動波傳播速度有限，可能產生間斷，在間斷處的導數(shù)無意義，無法求解微分方程。引入“弱解”的概念[3]，即弱解在間斷點外的其他點上滿足微分方程，在間斷點上滿足一組跳躍條件（Rankine-Hugoniot條件）[4]，它能夠將間斷點兩側的水力要素聯(lián)系起來。

（2）弱解的非唯一性。淺水方程在推導的時候就已經做出前提假設，同時忽略了某些物理量帶來的影響，這就會導致模型與實際情況存在偏差[5]。

（3）解的穩(wěn)定性。更高的模型精度以及求解時存在的誤差容易引起數(shù)值振蕩，因此需要優(yōu)化和改善高精度計算方法的數(shù)值振蕩問題[6]。

（4）源項的處理。淺水方程如果不包含源項，則為齊次淺水流動方程，這類方程由于略去了地形變化、摩阻等計算項，形式上與空氣動力學中使用廣泛的歐拉方程類似[7]，因此早期研究階段借鑒了空氣動力學中的求解方法[8]。比如基于近似Riemann解Godunov格式的Roe方法[9]就是一種最初用于空氣動力學的方法。但在水流數(shù)值模擬中，計算區(qū)域往往都是非平面的，對源項簡單處理會導致計算結果的不和諧，即靜水條件下，計算趨于穩(wěn)定后，無法滿足流速為零、水位為常數(shù)的結果[10]。下面將著重闡述源項的處理方法。本文提出了齊次淺水方程的解決方法，而非齊次淺水方程的問題有待解決，比如含源項的非齊次淺水方程的大時間步長格式現(xiàn)在仍未得到解決[11]。

3 離散方法

3.1 特征線法（MOC）

特征線法是利用特征線以及特征相容關系進行離散得到數(shù)值解的方法，在計算機出現(xiàn)以前這還是CFD手工算法之一。它的物理意義明確，計算精度較高，但是不適合帶有源項的非齊次方程，目前很少直接采用該方法[12]。

3.2 有限差分法（FDM）

有限差分法就是在計算域上將原來控制方程中網格節(jié)點的微分項直接用差商近似代替，然后進行泰勒級數(shù)展開，可以在每個網格節(jié)點處得到離散方程，因此該方法簡單成熟，可以構造高精度的格式，但是對復雜網格的適應性不佳[13]。

對方程離散時，常采用向前差商、向后差商和中心差商等格式。

向前差商：

3.3 有限元法（FEM）

有限元法基本思想是將一個求解區(qū)域劃分成許多微小單元，根據極值原理，把所有微小單元極值之和作為總體的極值。由于微小單元可以是各種形狀，因此網格劃分較靈活。這種方法守恒性好，但是在處理復雜方程時比較困難[13]。在推導有限元格式時一般會采用加權余量法，它的基本思想就是選定一個試探函數(shù)φi代替原方程中的待求函數(shù)，此時必然會產生誤差，可以稱為余量R，然后在計算域Ω內找到n個線性無關的權函數(shù)δWi（i=1，2…，n），滿足

這就意味著余量R在加權平均的意義上為零。

3.4 有限體積法（FVM）

有限體積法基本思路是構造一系列控制體，對控制體中的微分方程積分，控制體內又滿足總質量、總動量和總能量守恒，因此方程守恒性好，可以處理復雜網格計算問題，結合了FDM和FEM的優(yōu)點[12]，也是目前使用最廣泛的方法，本文所討論的源項處理大部分也是基于此方法。

在網格單元Vi內對式（1）積分：

通過Gauss-Green公式將式（6）轉化為沿單元邊界的線積分，可以寫成

式中：ΔVi為網格單元的面積;Vi為網格單元的邊界;n為單元邊線外法線的單位向量;l為單元邊長;S為網格單元源項的積分值。

3.5 間斷有限元法（DG）

間斷有限元法很好地結合了FDM、FEM和FVM的長處，具有精度高、守恒性好和易于處理復雜網格的特點[14-15]，但是計算量大、程序設計較復雜且難以處理間斷問題[2]，因此目前一般都在光滑處用此方法。在式（5）的基礎上，將試探函數(shù)φi作為權函數(shù)δWi：

3.6 粒子法（SPH）

粒子法是最近發(fā)展起來的一種無網格方法，它的核心是一種插值方法，可以處理復雜的外形，但是精度并不易提高[16]。

4 源項的處理

淺水方程求解過程中，源項處理是數(shù)值模擬成敗的關鍵，處理不當可能導致在巨大的計算量下結果依舊失真和失穩(wěn)，同時破壞求解格式和諧性，因此學者們提出了廣泛的解決方法。源項可以分為底坡引起的底坡源項、底摩擦引起的摩阻源項、地球自轉引起的柯氏力和表面風應力。李文俊等[17]建立的二維水沙模型充分考慮了以上4個源項的影響，在模擬實際的大潮中，模擬結果與實測值能良好吻合。下面重點闡述對方程影響最大的兩個源項。

4.1 底坡源項的處理

Zhao等[18]、譚維炎等[19]在20世紀90年代把斜底地形簡化為多級階梯、每個階梯視為平底，不需要考慮底坡的影響，可以用齊次淺水方程計算。這樣做會產生兩類誤差：一類是采用平均底高和平均水力要素代替實際情況導致，可以通過減小階梯的長度來減少誤差;另一類是計算通量時相鄰平底模型中法向動量通量的對流項出現(xiàn)變化所致，可以通過加修正值保持原值不變。此方法更適合于地形變化較緩的區(qū)域。

Bermudez等[20]在同時期提出用迎風格式處理含有源項的雙曲守恒方程，并對Van Leer的Q格式進行了擴展。與以前的方法相比，此方法得到的數(shù)值解在穩(wěn)定性和精度上有明顯的提升。應用到淺水方程后，該方法在處理源項時并不能始終保證數(shù)值格式擁有良好的性能。后來Bermudez將同樣的思想用于解決更貼近實際的二維淺水問題。Vazquez[21]、Brufau等[22]在此基礎上又改進了對地形等源項的模擬方法，使其能夠適應復雜多變的水流環(huán)境，但在求解法向通量時只驗證了Roe格式有較好的性能。

Rogers等[23-24]提出的數(shù)值平衡法用確保質量和動量守恒的代數(shù)方式拆分底坡源項。這種方法應用到淺水方程后消除了近似解算器中的數(shù)值振蕩，但是由于沒有考慮靜水壓力項的非線性分布，因此底坡源項和通量項的誤差不可避免，只要水位不為零就會出現(xiàn)虛假流動。

Leveque[25]提出了一種水波傳播算法，在每個計算單元內部人為地引入一個不連續(xù)量來處理源項。該方法適用于準穩(wěn)態(tài)條件，但在預測含有沖擊的跨臨界流動時無法帶來穩(wěn)定的數(shù)值結果。Kurganov等[26]將中心迎風格式（CU）推廣到淺水方程組，提出了一種適用于復雜地形的自適應算法。但是這些方法在處理循環(huán)流時會出現(xiàn)巨大的數(shù)值耗散。

Zhou等[27]先推導了適用于均質無黏方程的深度梯度法（DGM），為解決這種方法受地形影響很大的問題，又通過水位重構的方法得到了水面梯度法（SGM），這種分段線性重建的方法在沒有底坡源項的時候與DGM相同，最后用HLL-Riemann解算器進行了驗證。水面梯度法（SGM）更適合在結構網格下的水流計算，原因是在非結構網格上Bermudez提出的C-property守恒概念并不成立。類似的，Wang等[28]采用通量分裂修正技術分解源項，以滿足C-property守恒，在光滑區(qū)域保持其原始高階精度，并在強間斷附近保持基本上無振蕩的性質。

潘存鴻等提出了水位方程法（WLF），該方法將淺水流動方程中水深變量替換為水位，處理后用經典方法求Riemann解，這在本質上與Zhou等提出的SGM方法是相同的，只是WLF法更易理解，更能說明理論上SGM法的誤差性質和誤差大小的由來。其中底坡源項在Riemann問題中的離散形式必須與壓力梯度項的離散形式保持一致，且水深也要采用Riemann解，不然解的和諧性將無法保證。潘存鴻用WLF法建立Godunov格式求解一維淺水方程的Riemann問題，并推廣到求解二維淺水方程的Riemann問題[29]，該方法保持了計算的通用性、和諧性和高分辨率。

Mohammadian等[30]提出用修正水流對底坡源項進行相容離散化，由于在所提出的方法中，不需要對源項進行額外的迎風求解或Riemann求解，而是直接對源項離散，因此不光能采用Roe方法，還可以采用已有的激波捕捉方法，如CU方法、HLL方法、HLLC方法[31]等。與現(xiàn)有的許多格式不同，該方法易于在非結構網格上實現(xiàn)，并能靈活處理不規(guī)則邊界和局部網格重構問題。作者通過一系列算例證明提出的方法能夠準確地模擬復雜地形下的各種臨界流和跨臨界流動。

Smolarkiewicz等[32]采用MPDATA法（multidimensional positive definite advection transport algorithm）處理帶有底坡源項的方程。MPDATA法原本是一種處理大氣平流的方法，經過很多學者的不懈努力，其已經有能力解決復雜的流體問題。Jenny等[33]提出一種改進的解算器Rankine-Hugoniot-Riemannsolver（簡稱RHR解算器），它的基本思想是將源項視為不連續(xù)項，得到單元內的雙曲條件，就可以應用Riemann不變量的思想來特征處理源項。RHR解算器所得結果比傳統(tǒng)的Riemann解算器得到的結果更精確，在處理更高維度的情況時也具有較好表現(xiàn)。

王志力等[34]提出了特征分解底坡源項來平衡界面通量的方法。相比于簡單處理源項，該方法可以保證格式的和諧性。王昆等[10]把底坡源項表示成某個矩陣的散度形式，計算量小，概念也簡單，為了保證格式的和諧性，還對兩個相鄰單元水深使用均方根形式以抵消數(shù)值通量項。周浩瀾等[1]用靜水重構法重構后的水深替換原水深，也保證了計算格式的和諧性。魏紅艷等[35]也采用了類似的方法。于守兵[36]提出的靜水壓力項和底坡項的積分平衡法，可以準確計算兩者的值并保持嚴格的平衡，不產生虛假流動。

求解這種雙曲問題常用基于有限體積法的數(shù)值格式，其目的是將區(qū)域預先離散成體積單元并在這些單元內集成信息和控制方程來提供問題的數(shù)值解[37]。用有限體積法處理淺水方程，把方程中水位梯度項分解成靜水壓力梯度項和底坡源項，靜水壓力隨著水深的增大是非線性變化的，因此在靜水中底坡源項和靜水壓力梯度項往往難以相互抵消，這就是產生虛假流動的原因。為了避免出現(xiàn)這種情況，學術界主要存在兩種方法：一種是通過對模型的修正消去底坡源項，比如譚維炎等[19]提出的平底模型;另一種是對底坡源項進行分解或者改造，使它能夠與靜水壓力梯度項相互抵消，比如Mohammadian等[30]、潘存鴻等[38]、王志力等[34]提出的方法。

網格的選擇也對源項處理有著直接影響，比如在非結構三角形網格上就比四邊形網格更難滿足和諧性要求。王昆等[10]、宋利祥等[39]在三角形網格下建立了和諧性離散格式，并用算例驗證了其適用性。

使用有限體積法時，兩個單元的界面處為一個局部間斷，底坡源項此時就變成階梯間斷，有限體積法在這里需要求解階梯Riemann問題（Step Riemann Problem，SRP）。盡管這不是一個新問題，也有很多研究成果，但仍然是有爭議的，其研究的方法大致可分為兩類：一類是使用質量守恒和能量守恒的方法，Alcrudo等[40]和Bukreev等[41]認為必須采用這種方法，因為在SRP中間斷處的河床底坡趨向于無窮大，所以此時依據動量守恒推導出的SWE沒有意義，然而眾所周知的是在階梯處發(fā)生流動的過程中能量其實并不守恒，由于湍流的存在會導致能量耗散，因此這兩人的理論基礎存在瑕疵。Gallouet等[42]、Seguin等[43]和Andrianov[44]認為既然間斷處的接觸間斷是駐波，那么在特征空間里Riemann不變量守恒，這必然使得質量和能量守恒，然而這也是從數(shù)學觀點去分析這個問題，在物理上或者說在實際工況中并不是這樣。還有一類是使用質量守恒和動量守恒的方法，比如Bernetti等[45]在其研究成果中把能量守恒僅僅作為一個約束條件來檢驗所得的結果是否正確。Rosatti等[46]通過研究得出，當上游河床高于下游河床時，目前所得出的研究成果都是錯誤的，這個問題至今未得到解決。

4.2 摩阻源項的處理

對于不規(guī)則地形的淺水模擬，在局部陡峭的底坡可能會出現(xiàn)水深過小而流速很大的情況，這時會引起摩阻源項的剛性問題[47]。很多基于無結構網格的數(shù)值方法都采用顯式，顯式在程序的編寫上相對簡單，但是局限性也很大[48]。若采用顯式數(shù)值方法離散摩阻源項，可能會出現(xiàn)明顯的物理錯誤，比如出現(xiàn)虛假流動、負水深等[1]，或是影響時間步長、降低計算效率[39]。隱式在計算穩(wěn)定性上要優(yōu)于顯式，且不受Courant的限制，可以與自適應網格技術結合。Michel等[49]在幾個潰壩數(shù)值模擬中對比了顯式處理和隱式處理的差異，總體來說，隱式處理更接近真實情況，比如在模擬干濕邊界時顯式處理易出現(xiàn)偽振蕩，而隱式處理并未出現(xiàn)。因此，一般采用隱式或者半隱式處理摩阻源項。

王黨偉等[50]、王鑫等[51]用三階龍格-庫塔法處理源項，并對摩阻項采用自適應步長法進行處理。Yoon等[52]通過算子分裂法完全隱式處理摩阻項，以防止干燥區(qū)附近小水深引起的數(shù)值不穩(wěn)定性。Martinez[53]采用半隱式離散方法，Hou等[54]提出了一種基于隱式概念的方法，并且能夠集成到常用的顯式方法中，避免了冗余迭代，并能夠使用更大的計算時間步長，從而提高了編程和計算的效率。Cea等[55]、Singh等[56]將摩阻源項用速度的乘積表示以獲得顯式格式，雖然可以有效避免由剛性問題引起的數(shù)值不穩(wěn)定，但是流動通常無法維持穩(wěn)態(tài)，導致模擬結果失真。Xia等[57]提出一種在有限體積法下的新的隱式解法，可以同時保證數(shù)值穩(wěn)定性和模擬的準確性，該解法可以不使用迭代法直接計算摩擦項，而且理論上還可以用于其他數(shù)值方法，如有限差分法和有限元法。

5 總結與展望

淺水方程的源項處理問題在經過國內外學者的潛心研究下取得了豐碩的成果，未來繼續(xù)改進和開發(fā)更簡單有效且具有更好收斂性的格式將會是一個趨勢。應該注意到有些源項問題至今沒有得到解決，比如當上游河床高于下游河床時，目前所有的局部階梯Riemann問題的求解方法都是錯誤的，需要通過數(shù)值試驗和物理試驗的方法深入研究才能找到準確的答案，這也會是將來淺水方程源項問題研究的方向。對于新的數(shù)值格式，比如大時間步長格式，傳統(tǒng)的源項處理方法不再適用，新格式的源項處理方法也是一個值得探索的研究方向。

淺水方程作為非線性的偏微分方程組，現(xiàn)在并沒有解析解，所有解決的方法都是數(shù)值近似解，目前所有研究都是讓數(shù)值解盡可能地逼近實際情況，而任何方法都不是完美的，每一種數(shù)值方法的改進都會帶來一定的負效應，需要權衡這種改進與負效應在實際工程中的應用。因此，源項的數(shù)值處理方法還有很大的發(fā)展空間。

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【責任編輯 張 帥】