杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的振動(dòng)控制

李 晨, 陳國(guó)一, 方 勃, 臧 健, 張業(yè)偉

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，沈陽(yáng) 110136；2.天津航天瑞萊科技有限公司，天津 300462)

非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)是有別于傳統(tǒng)線性吸振器的新型減振裝置，具有附加質(zhì)量小，吸振頻帶寬等優(yōu)點(diǎn)。Gourc等[1]從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面研究了耦合了非線性型能量阱的線性振子在簡(jiǎn)諧受迫振動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Al-shudeifat等[2]提出了一種基于磁力的非線性能量阱，為在工程應(yīng)用中尋找非線性立方剛度提供了思路。楊凱等[3]提出了適用于空間環(huán)境的非線性消振器結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)模型，仿真結(jié)果表明，該被動(dòng)非線性消振器對(duì)系統(tǒng)的能量耗散率可以達(dá)到92%，可以實(shí)現(xiàn)非常好的振動(dòng)抑制效果，能夠適應(yīng)空間環(huán)境，并提高航天系統(tǒng)的可靠性。Li等[4]在一個(gè)夾層梁里耦合了非線性能量阱，通過研究發(fā)現(xiàn)非線性能量阱對(duì)抑制夾層梁的自由振動(dòng)有很好的效果。Chen等[5]將壓電能量采集與非線性能量阱結(jié)合起來(lái)，使得結(jié)構(gòu)既能進(jìn)行振動(dòng)抑制，也可以進(jìn)行振動(dòng)能量采集。Zhang等[6]研究了帶有非線性能量阱的軸向運(yùn)動(dòng)梁的受迫振動(dòng)控制，發(fā)現(xiàn)非線性能量阱有很好的控制過度振動(dòng)的潛力。Sun等[7]將非線性能量阱與飛輪系統(tǒng)結(jié)合進(jìn)行減振，研究表明該系統(tǒng)具有良好的減振效果。臧健等[8]研究了非線性能量阱的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)以及振動(dòng)抑制評(píng)價(jià)方法，首次針對(duì)非線性能量阱，提出了一種廣義振動(dòng)傳遞率的振動(dòng)抑制評(píng)價(jià)方法。劉海平等[9]采用單根歐拉梁成功構(gòu)建出可在工程中應(yīng)用的非線性能量阱，且給出了發(fā)生靶能量傳遞的初始條件。熊懷等[10]研究了阻尼對(duì)耦合非線性能量阱系統(tǒng)的影響，給出了非線性能量阱具有吸振能力時(shí)線性振子阻尼有效范圍。陳恒等[11]研究了非線性能量阱對(duì)帶控制截面機(jī)翼結(jié)構(gòu)的顫振抑制，通過分岔圖結(jié)合數(shù)值模擬的峰值圖，討論在不同風(fēng)速下的減振效果，結(jié)果表明機(jī)翼結(jié)構(gòu)顫振可以部分甚至全部抑制。楊凱等[12]基于非線性輸出頻響函數(shù)，對(duì)引入非線性能量阱的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了分析，對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)，其分析結(jié)果對(duì)于工程領(lǐng)域中NES的設(shè)計(jì)具有非常重要的指導(dǎo)意義。魯正等[13]對(duì)非線性能量阱的設(shè)計(jì)與應(yīng)用進(jìn)行了評(píng)述，指出了其在工程應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)與不足，并針對(duì)實(shí)際工程可能遇到的問題提出了建議,對(duì)非線性能量阱技術(shù)的后續(xù)研究進(jìn)行了展望。張也弛等[14]研究了兩自由度非線性耦合振子間的靶能量傳遞現(xiàn)象，經(jīng)數(shù)值仿真驗(yàn)證,所推導(dǎo)的方程可準(zhǔn)確計(jì)算兩振子間完全能量傳遞所需的初始能量,并適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)。

對(duì)常規(guī)的非線性能量阱進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)，可以提高非線性能量阱的吸振性能，進(jìn)一步減輕附加質(zhì)量。陳建恩等[15]采用并聯(lián)非線性能量阱的方法來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振，研究了在溫度變化時(shí)，非線性能量阱吸振效能的變化。Savadkoohi 等[16]實(shí)驗(yàn)研究了連接并聯(lián)非線性能量阱的四自由度主振子的響應(yīng)，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)并聯(lián)非線性能量阱具有良好的減振效果。Nguyen等[17]對(duì)常規(guī)的并聯(lián)非線性能量阱進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高了并聯(lián)非線性能量阱的吸振效能。Gendelman 等[18]對(duì)比研究了串聯(lián)非線性能量阱與常規(guī)非線性能量阱的吸振效能，發(fā)現(xiàn)在相同附加質(zhì)量條件下，串聯(lián)非線性能量阱的吸振效能要優(yōu)于常規(guī)非線性能量阱。Grinberg 等[19]分析了連接串聯(lián)非線性能量阱的線性主振子的周期、準(zhǔn)周期和混沌響應(yīng)，同樣肯定了串聯(lián)非線性能量阱吸振效能。李繼偉等[20]建立了沖擊減振器與非線性能量阱耦合系統(tǒng)的新型吸振模型,數(shù)值模擬的結(jié)果驗(yàn)證了該吸振裝置的高效性。鐘銳等[21]研究了單自由度非線性能量阱和兩自由度串聯(lián)非線性能量阱的吸振效能，重點(diǎn)分析了串聯(lián)非線性能量阱對(duì)高分支響應(yīng)的抑制作用。結(jié)果表明，串聯(lián)NES能夠在較大幅值激勵(lì)范圍內(nèi)保持較高吸振效能。Zang等[22]提出了一種新型杠桿型非線性能量阱(LNES)，研究發(fā)現(xiàn)杠桿型非線性能量阱比傳統(tǒng)非線性能量的吸振性能更好而且附加質(zhì)量更小。Zhang等[23]將非線性能量阱和鎳鈦合金鋼絲繩結(jié)合應(yīng)用于整星系統(tǒng)，研究發(fā)現(xiàn)在不改變系統(tǒng)固有頻率的情況下，加入鎳鈦合金鋼絲繩的非線性能量阱可以有效減小整星系統(tǒng)的過度振動(dòng)。姚紅良等[24]研發(fā)了一種可調(diào)的雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱(BNES)，研究表明該BNES對(duì)懸臂梁的瞬態(tài)時(shí)域響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)頻域響應(yīng)都有很好的振動(dòng)抑制能力。劉艮等[25]研究了非線性能量阱在懸臂薄板振動(dòng)抑制中的應(yīng)用，為懸臂結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中提供了理論上的支持。王菁菁等[26]將調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)與非線性能量阱(NES)相結(jié)合，提出非線性-線性聯(lián)合控制方法，通過數(shù)值模擬結(jié)果表明，相較于完全非線性和完全線性的方法，非線性-線性聯(lián)合控制方法具有更強(qiáng)的減震魯棒性。劉中坡等[27]設(shè)計(jì)了NES振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)并進(jìn)行了振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明NES有較好的寬頻控制效果,即使其剛度偏離優(yōu)化值或被控對(duì)象動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生一定改變,NES依然能發(fā)揮較好的振動(dòng)控制作用。劉海平等[28]將歐拉屈曲梁和線性彈簧并聯(lián)使用,構(gòu)建非線性動(dòng)力吸振器，并研究了歐拉屈曲梁的初始撓度、初始傾角和阻尼系數(shù)對(duì)其振動(dòng)抑制性能的影響。

本文基于傳統(tǒng)杠桿型非線性能量阱，應(yīng)用并聯(lián)非線性能量阱的方法，構(gòu)成一個(gè)杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)。對(duì)采用并聯(lián)非線性能量阱后的杠桿非線性能量阱系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)控制研究，對(duì)杠桿型并聯(lián)非線性能量阱與杠桿型單個(gè)非線性能量阱的吸振性能進(jìn)行對(duì)比研究。

1 帶有杠桿式并聯(lián)非線性能量阱的單自由度系統(tǒng)

傳統(tǒng)單個(gè)杠桿型非線性能量阱模型如圖1所示，本文所研究系統(tǒng)模型如圖2所示，質(zhì)量m1、線性彈簧k1以及線性阻尼c1組成了單自由度系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量m1受到一個(gè)外部的諧波激勵(lì)F=Acos(ωt)。杠桿式并聯(lián)非線性能量阱由質(zhì)量m2、m3阻尼c2、c3以及非線性剛度k2、k3組成的兩個(gè)非線性能量阱并聯(lián)組成，與一根忽略質(zhì)量的剛性桿相連。剛性桿的A點(diǎn)與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量相連，C點(diǎn)通過彈簧k2、阻尼c2與m2相連，D點(diǎn)通過彈簧k3、阻尼c3與m3相連。

圖1 帶有杠桿式單個(gè)非線性能量阱的單自由度系統(tǒng)

圖2 帶有杠桿式并聯(lián)非線性能量阱的單自由度系統(tǒng)

由牛頓第二定律得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

k3[(1-α2)x1-x3]3+(1-α2)c3[(1-

(1)

式中：xi表示結(jié)構(gòu)mi(i=1，2，3)的位移，x0是D點(diǎn)的位移，A點(diǎn)的位移與結(jié)構(gòu)m1相同，并聯(lián)非線性能量阱在C點(diǎn)位置懸掛的為內(nèi)懸掛位置，用α1表示，α1是長(zhǎng)度AC與AB的比值；在D點(diǎn)懸掛的為外懸掛位置，用α2表示，α2是長(zhǎng)度AD與AB的比值。

無(wú)量綱參數(shù)如下

(2)

把方程(1)進(jìn)行無(wú)量綱處理得

(3)

式中:l為線性彈簧k1在100 N作用下的伸長(zhǎng)。

基于諧波平衡法，方程(1)的振動(dòng)響應(yīng)可以近似為一組有限諧波的疊加。因?yàn)橄到y(tǒng)僅含立方非線性，設(shè)解響應(yīng)為1次諧波與3次諧波的疊加。

u1(τ)=a11cos(γτ)+b11sin(γτ)+a31cos(3γτ)+

b31sin(3γτ),

u2(τ)=a12cos(γτ)+b12sin(γτ)+a32cos(3γτ)+

u3(τ)=a13cos(γτ)+b13sin(γτ)+a33cos(3γτ)+

b33sin(3γτ),

(4)

式中：aij和bij(i=1，2，3)，(j=1，2，3)為待確定的諧波系數(shù)。

將方程(4)代入方程(3)中，平衡sin(iγτ)與cos(iγτ)(i=1,3)的系數(shù)，得到一組非線性代數(shù)方程。

b32sin(3τγ))3+ζ2(1-α1)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ))+

b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)-a13cos(τγ)-b13sin(τγ)-a33cos(3τγ)-b33sin(3τγ))3+

(1-α2)ζ3((1-α2)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ))+a13γsin(τγ)-

在Al-Si鋁合金成分的基礎(chǔ)上添加Cu元素，Cu元素可以和Al形成二元共晶體(α-Al2Cu)，其起到強(qiáng)化作用．合金中加入Cu元素后發(fā)達(dá)的樹枝晶會(huì)發(fā)生破碎，使粗大樹枝晶端部發(fā)生鈍化且變?yōu)榧?xì)小的花朵狀晶粒，使合金晶粒形態(tài)發(fā)生改變，從而減輕合金的微觀偏析．由于α-Al2Cu金屬間化合物在凝固前期彌散析出，阻礙了晶界遷移而降低晶粒的長(zhǎng)大速度，在快速冷卻的條件下典型的樹枝晶會(huì)發(fā)生細(xì)化，使晶粒分布更加均勻，從而提高了合金的致密性．Cu元素的加入能夠顯著降低合金的液相線溫度，且Cu元素溶解度很小，因此可以形成較大的濃度過冷而促進(jìn)生核，還能使晶體的分枝形成細(xì)的縮頸，易于產(chǎn)生晶體增殖，因而能使晶粒顯著細(xì)化．

b13γcos(τγ)+3a33γsin(3τγ)-3b33γcos(3τγ))+fcos(τγ)=0,

a32cos(3τγ)+b32sin(3τγ)-(1-α1)(a11cos(τγ)+b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)))3+

ζ2(-a12γsin(τγ)+b12γcos(τγ)-3a32γsin(3τγ)+3b32γcos(3τγ)-(1-α1)(-a11γsin(τγ)+

b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ)))=0，

a33cos(3τγ)+b33sin(3τγ)-(1-α2)(a11cos(τγ)+b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)))3+

ζ3(-a13γsin(τγ)+b13γcos(τγ)-3a33γsin(3τγ)+3b33γcos(3τγ)-(1-α2)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ)))=0

(5)

通過結(jié)合偽弧長(zhǎng)延伸法我們可以得到各階諧波系數(shù)，進(jìn)而確定幅頻特性曲線。為了有效的描述帶有高階系數(shù)的幅頻特性曲線，在這里我們用均方根值來(lái)處理系統(tǒng)的響應(yīng)。

(6)

下面對(duì)由諧波平衡法得到的幅頻響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

通過比較諧波解析解與數(shù)值解發(fā)現(xiàn)，總體上，三階諧波解與數(shù)值解已經(jīng)很吻合了，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)解析解與數(shù)值解的對(duì)比

2 杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、剛度以及懸掛位置對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

2.1 質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量λ2和λ3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。

圖4展示了質(zhì)量λ3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中我們可以看出，從圖中我們可以看出，當(dāng)λ3質(zhì)量較小時(shí)，質(zhì)量參數(shù)由0.006 94變化至0.013 89，幅頻響應(yīng)曲線的峰值僅由237.98降至229.03，下降幅度很小，但曲線的形狀趨于穩(wěn)定。伴隨著λ3質(zhì)量的增大，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線向右彎曲，彎曲的范圍在頻率0.87和0.89附近；繼續(xù)增大λ3質(zhì)量，在共振頻率附近出現(xiàn)了一個(gè)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)；接著，伴隨著λ3質(zhì)量的逐漸增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸遠(yuǎn)離系統(tǒng)原本的幅頻特性曲線，并逐漸減?。焕^續(xù)增大λ3質(zhì)量，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失；最后伴隨著λ3質(zhì)量的繼續(xù)增大，幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸增大。

(a)λ3=0.006 94

圖5展示了質(zhì)量λ2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，在質(zhì)量λ2參數(shù)較小時(shí)，隨著質(zhì)量λ2的增大，幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸降低。在參數(shù)為0.034 03時(shí)，在共振頻率附近出現(xiàn)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。伴隨質(zhì)量λ2的增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸變小，并遠(yuǎn)離系統(tǒng)原本的幅頻響應(yīng)曲線。在參數(shù)為0.058 33時(shí)，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失，幅頻響應(yīng)曲線的峰值由135.65降至122.83。繼續(xù)增大質(zhì)量λ2，幅頻響應(yīng)曲線的峰值又開始逐漸增大。

(a)λ2= 0.004 17

綜上，我們可以看出伴隨著非線性能量阱的質(zhì)量λ2和λ3參數(shù)的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值先逐漸減小至最小值然后再逐漸增大，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會(huì)逐漸減小并遠(yuǎn)離原幅頻響應(yīng)曲線直至消失。所以，適當(dāng)質(zhì)量的λ2和λ3可以有效降低系統(tǒng)的振幅。

2.2 非線性剛度對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的非線性剛度β2和β3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。

圖6展示了非線性剛度β3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，伴隨著非線性剛度β3的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸降低，這種下降的趨勢(shì)一直保持到大約在β3=5.277 74時(shí)停止；繼續(xù)增大非線性剛度β3，在共振頻率附近出現(xiàn)了一個(gè)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。從圖中可以看出，這個(gè)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸向原來(lái)的幅頻響應(yīng)曲線靠近，并逐漸變大。繼續(xù)增大剛度，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)與原來(lái)的幅頻響應(yīng)曲線相連。最終，環(huán)狀孤立響應(yīng)與原幅頻響應(yīng)曲線相融合。

(a)β3=1.759 01

當(dāng)環(huán)狀孤立響應(yīng)出現(xiàn)時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值會(huì)逐漸增大。這說(shuō)明孤立環(huán)狀共振響應(yīng)的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的振幅增大。所以，當(dāng)利用非線性進(jìn)行振動(dòng)抑制的同時(shí)，我們要關(guān)注到額外引入非線性對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的危害。

圖7展示了非線性剛度β2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，在非線性剛度β2較小時(shí)，隨著β2參數(shù)的增大系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸降低；當(dāng)非線性剛度β2達(dá)到8.707 12時(shí)，在共振頻率附近出現(xiàn)了孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。接著伴隨著非線性剛度β2的增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸遠(yuǎn)離系統(tǒng)原本的幅頻響應(yīng)曲線，并逐漸減??；繼續(xù)增大非線性剛度β2，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值降低。接著增大非線性剛度β2，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸增大。

(a)β2=1.759 01

綜上，我們可以看出伴隨著非線性能量阱的非線性剛度β2,和β3的逐漸增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值先逐漸減小至最小值然后再逐漸增大。不同的是，隨著非線性剛度β2的增大，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會(huì)逐漸減小并遠(yuǎn)離原幅頻響應(yīng)曲線直至消失。而隨著非線性剛度β3的增大，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會(huì)逐漸增大并與原幅頻響應(yīng)曲線融合。所以，適當(dāng)?shù)姆蔷€性剛度β2和β3可以有效降低系統(tǒng)的振幅。

2.3 懸掛位置對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的內(nèi)懸掛位置α1和外懸掛位置α2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。

在調(diào)節(jié)參數(shù)α1時(shí)，通過保證AB與BD的長(zhǎng)度不變，改變C點(diǎn)的位置來(lái)調(diào)節(jié)參數(shù)α1。在調(diào)節(jié)參數(shù)α2時(shí)，通過保證AB與BC的長(zhǎng)度不變，改變BD的長(zhǎng)度來(lái)調(diào)節(jié)參數(shù)α2。

圖8展示了外懸掛位置α2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，在α2較小時(shí)，隨著α2的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸降低。當(dāng)α2=3.05時(shí)，系統(tǒng)在原幅頻響應(yīng)曲線上方出現(xiàn)了一個(gè)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)，由于孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)的產(chǎn)生，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值升高。繼續(xù)增大α2，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)也隨著增大。當(dāng)α2=4.05時(shí)，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)與原幅頻響應(yīng)曲線融合。由此我們可以看出，利用杠桿型非線性能量阱對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)抑制時(shí)，單純的應(yīng)用杠桿原理對(duì)杠桿型非線性能量阱進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化是不合適的。當(dāng)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)繼續(xù)增大時(shí)，系統(tǒng)原幅頻響應(yīng)是一直降低的，說(shuō)明孤立的共振響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)的影響是不能忽略的，即使原結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)逐漸降低。

(a)α2=2.30

圖9展示了內(nèi)懸掛位置α1對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，在α1較小時(shí)，隨著α1的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸降低；當(dāng)α1=2.05時(shí)，在共振頻率附近出現(xiàn)了孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。接著伴隨著α1增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸遠(yuǎn)離系統(tǒng)原本的幅頻響應(yīng)曲線，并逐漸減??；繼續(xù)增大α1，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值降低。接著增大α1，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸下降。

(a)α1 =1.10

綜上，我們可以看出伴隨著非線性能量阱的內(nèi)懸掛位置參數(shù)α1逐漸增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值會(huì)逐漸減小，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會(huì)逐漸減小并遠(yuǎn)離原幅頻響應(yīng)曲線直至消失。而隨著外懸掛位置參數(shù)α2的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值先逐漸減小至最小值再逐漸增大，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會(huì)逐漸增大并與原幅頻響應(yīng)曲線融合。所以，非線性能量阱適當(dāng)?shù)膽覓煳恢每梢杂行Ы档拖到y(tǒng)的振幅。

3 杠桿型并聯(lián)非線性能量阱與杠桿型單個(gè)非線性能量阱性能的比較

下面我們對(duì)杠桿型并聯(lián)非線性能量阱與杠桿型單個(gè)非線性能量阱的吸振性能進(jìn)行系統(tǒng)比較，將幅頻響應(yīng)的峰值以及總體附加質(zhì)量作為評(píng)價(jià)非線性能量阱吸振性能的指標(biāo)。為了便于比較，我們將主結(jié)構(gòu)分別耦合杠桿型并聯(lián)非線性能量阱以及杠桿型單個(gè)非線性能量阱。

在總體附加質(zhì)量較小時(shí)，帶有杠桿型非線性能量阱的系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)都會(huì)出現(xiàn)孤立的共振響應(yīng)。所以如果要比較兩個(gè)系統(tǒng)的吸振性能，首先我們要找出孤立的共振響應(yīng)消失時(shí)的附加質(zhì)量參數(shù)。以帶有杠桿型單個(gè)非線性能量阱的單自由度系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)參數(shù)如表格1所示。質(zhì)量參數(shù)λ對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響如圖10所示。

(a)λ=0.016 67

從圖10中可以看出，當(dāng)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失時(shí)，質(zhì)量參數(shù)為λ=0.030 56。所以，我們?nèi)「軛U型并聯(lián)NES系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)λ3=0.030 56不變，通過改變質(zhì)量參數(shù)λ與λ2，保持參數(shù)λ與λ2和λ3之和相等來(lái)比較兩個(gè)系統(tǒng)的吸振性能。

如圖11所示，當(dāng)總體附加質(zhì)量較小時(shí)(圖11(a)λ=0.033 33)，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)與杠桿型單個(gè)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別為127.69和131.01。當(dāng)總體附加質(zhì)量適中時(shí)(圖11(b)λ=0.041 67)，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)與杠桿型單個(gè)NES系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別為127.31和141.01。當(dāng)總體附加質(zhì)量較大時(shí)(圖11(c)λ=0.055 56)，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)與杠桿型單個(gè)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別為127.21和157.22。綜上可以看出，隨著總體附加質(zhì)量的增加，杠桿型單個(gè)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸增大，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值是逐漸減小的。在總體附加質(zhì)量參數(shù)的變化過程中，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值是一直低于杠桿型單個(gè)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值的。這說(shuō)明，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振性能是要優(yōu)于杠桿型單個(gè)非線性能量阱的。

(a)λ=0.033 33

4 結(jié) 論

本文研究了諧波激勵(lì)下帶有杠桿式并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。通過應(yīng)用諧波平衡法確定了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，通過調(diào)節(jié)并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、非線性剛度以及懸掛位置等參數(shù)，研究這些參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。對(duì)比研究了杠桿式并聯(lián)非線性能量阱與杠桿式單個(gè)非線性能量阱的吸振性能。具體結(jié)論如下：

(1)隨著杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、非線性剛度和外懸掛位置的逐漸增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值會(huì)逐漸降低至最小值然后再逐漸增大。而內(nèi)懸掛位置的參數(shù)變化范圍有限，隨著其參數(shù)逐漸增大，幅頻響應(yīng)的峰值會(huì)逐漸減小。

(2)杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、非線性剛度和懸掛位置參數(shù)逐漸增大的過程中，會(huì)使系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)孤立的共振響應(yīng)。這種孤立的共振響應(yīng)在杠桿型單個(gè)非線性能量阱中同樣會(huì)出現(xiàn)，孤立的共振響應(yīng)的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值增大。

(3)在孤立的共振響應(yīng)消失后，對(duì)比杠桿型單個(gè)非線性能量阱與杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振性能，發(fā)現(xiàn)在附加質(zhì)量相同的情況下，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振性能要優(yōu)于杠桿型單個(gè)非線性能量阱。