彈性約束充液管道的振動模態(tài)試驗與預(yù)報研究

張子祥，王檢耀，王鴻東，易 宏

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 海洋智能裝備與系統(tǒng)教育部重點實驗室，上海 200240)

充液管道在艦船內(nèi)部分布廣泛，其振動所產(chǎn)生的噪聲對艦船戰(zhàn)斗力有重大的影響：① 管道振動經(jīng)艦船通?？谙蛲獠枯椛湓肼?，是除了螺旋槳噪聲、水動力噪聲和設(shè)備基座噪聲以外主要的輻射噪聲源[1]；② 管道振動誘發(fā)的頻率與聲納設(shè)備的工作頻率相近，降低艦船的探測能力，是艦船自噪聲的主要來源[2]。因此對充液管道開展振動特性的研究具有重要意義。

如果管道內(nèi)沒有充滿液體而完全被空氣包圍，空氣對結(jié)構(gòu)的作用通?？梢院雎浴＿@類不考慮外部流體對結(jié)構(gòu)振動特性影響，求解結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)的問題稱為干模態(tài)問題。對充液管道而言，壁面上流體(如水、油等)與固體結(jié)構(gòu)的耦合現(xiàn)象通常不可忽略，耦合形式主要包括摩擦耦合、泊松耦合和連接耦合等[3-4]，一般表現(xiàn)為管道固有頻率相對干模態(tài)的下降。這類考慮流固耦合效應(yīng)求解結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)的問題稱為濕模態(tài)問題[5]。對流固耦合的處理方式包括附加質(zhì)量法、單向流固耦合和雙向流固耦合等。附加質(zhì)量法[6]一般直接將流體在單位長度上的質(zhì)量等價為管道在單位長度上的附加質(zhì)量，周名德等[7]考慮流固耦合作用給出了兩端簡支單管附加質(zhì)量的解析解。單向流固耦合[8]忽略管壁上的位移協(xié)調(diào)，首先計算流體對靜止管道內(nèi)壁的作用力，再將充液管道視為有預(yù)應(yīng)力作用的未充液管道進(jìn)行仿真計算。由于忽略了位移協(xié)調(diào)條件，當(dāng)管道剛度較低或激勵幅值較大造成管道發(fā)生較大位移時，計算與試驗結(jié)果的誤差較大[9]。雙向流固耦合同時考慮管壁上的位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件，通過直接求解流固耦合方程組或流體與固體計算迭代收斂的方法[10]進(jìn)行求解，是最符合實際情況的流固耦合處理方式。充液管道濕模態(tài)的雙向流固耦合數(shù)值計算方法主要包括傳遞矩陣法和有限元法。傳遞矩陣法[11-17]將充液管道離散為若干管段，在聯(lián)立管道和流體在橫向、軸向和周向運動微分方程組的基礎(chǔ)上建立相鄰管段的傳遞矩陣，計算效率相對直接有限元法高，但對彎管、變截面管和復(fù)雜管系等的處理比較困難。有限元法對分析對象的要求較傳遞矩陣法低，可以適應(yīng)各種形狀的管道和各種形式的管系，因此無論在理論研究還是工程應(yīng)用上都更具現(xiàn)實意義。類似于傳遞矩陣法，一些學(xué)者提出了專用于管道分析研究的有限元模型，在計算結(jié)果基本相同的條件下，比直接離散化的有限元模型仿真計算成本更低。Hansson等[18]將軸對稱的管道殼單元和一維可壓無黏流體單元相結(jié)合，建立了專用于研究充液管道的有限元模型單元，并與ABAQUS的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較。Seo等[19]建立了與理想流體雙向耦合的薄圓柱殼單元，用于進(jìn)行無流速管道和有流速管道的模態(tài)分析，并與試驗結(jié)果和NASTRAN的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較。另一些學(xué)者將充液管道按固體單元和流體單元分別直接離散，基于有限元法進(jìn)行復(fù)雜管道或管系的雙向流固耦合濕模態(tài)分析。Li等[20]對飛機(jī)液壓管道中的充液直管和充液彎管進(jìn)行了有限元仿真和試驗，仿真與試驗得到的固有頻率吻合良好。黃益民等[21]基于對充液直角彎管的有限元仿真，進(jìn)行了結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的靈敏度分析和防共振可靠性計算。Makaryants等[22]對整個沖床液壓管系的振動特性進(jìn)行了有限元仿真，指出了管系結(jié)構(gòu)失效的原因和相應(yīng)改進(jìn)措施。姜峰等[23]對浸沒在海水中且內(nèi)部充滿石油的海洋立管的振動特性進(jìn)行有限元仿真，并在此基礎(chǔ)上開展了結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)化。

為了進(jìn)一步實現(xiàn)充液管道的減振降噪，常常通過調(diào)整管道支承的剛度，實現(xiàn)避免結(jié)構(gòu)共振和減少振動傳遞到船體的能量[24]。然而這類管道支承的實際裝配效果與理論設(shè)計可能存在偏差，根據(jù)理論設(shè)計建立的有限元模型并不能反映實際情況。因此在對充液管道的振動特性進(jìn)行分析前，需要對這類彈性約束進(jìn)行修正。目前這類問題的研究對象主要集中于橋梁結(jié)構(gòu)，以充液管道為對象的研究較少，但利用優(yōu)化法修正有限元模型的思想是基本相同的。以仿真與試驗的誤差為目標(biāo)函數(shù)，以彈性約束的值作為決策變量，彈性約束的修正就轉(zhuǎn)換為了一般的優(yōu)化問題[25]。通過仿真與試驗分別能得到多階模態(tài)參數(shù)，因此仿真與試驗之間的各階誤差可以組成一個誤差向量。一般或是出于實際工程需要，或是受限于優(yōu)化手段，通常將該誤差向量各分量的平方和作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，于是原問題簡化為一個單目標(biāo)優(yōu)化問題。Cao等[26]為了區(qū)分對不同階數(shù)的誤差要求，在誤差向量中引入權(quán)重系數(shù)，使用優(yōu)化方法得到了橋梁邊界的連接剛度。施洲等[27]在最小二乘優(yōu)化的基礎(chǔ)上，為提升計算效率引入矩陣攝動，對橋梁的附加支撐剛度進(jìn)行了修正。鄒向農(nóng)等[28]為得到橋梁有限元模型的縱向約束剛度等參數(shù)，采用逐步回歸法得到橋梁固有頻率的響應(yīng)面代理模型，再通過基于遺傳算法的單目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行模型修正。一般而言，單目標(biāo)優(yōu)化較多目標(biāo)優(yōu)化的操作更簡單，但存在難以確定合適的權(quán)重，當(dāng)誤差中有多種物理量時目標(biāo)函數(shù)的物理意義不清晰等問題。因此也有部分研究者采取各種手段直接求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，力圖使誤差向量的各個分量盡可能最小化，如Ntotsios等[29]通過將求解原多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解大量權(quán)重分布不同的單目標(biāo)規(guī)劃問題，實現(xiàn)橋臺、橋墩等位置約束條件的修正。Jaishi等[30]采用目標(biāo)規(guī)劃法，通過為各個優(yōu)化目標(biāo)指定目標(biāo)值和權(quán)重，將原多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題并實現(xiàn)對各個目標(biāo)的同時優(yōu)化，進(jìn)行橋臺剛度、橋墩剛度等參數(shù)的修正?？傮w而言，使用多目標(biāo)優(yōu)化方法對充液管道未知約束進(jìn)行修正的研究較少，有待發(fā)掘更多的方法進(jìn)行探索。

本文開展了彈性約束充液管道的干濕模態(tài)試驗研究，并基于雙向流固耦合的有限元法和多目標(biāo)遺傳算法NSGA-Ⅱ提出了對未知彈性約束充液管道頻域特性的預(yù)報方法，分析流程如圖1所示。首先進(jìn)行管道干模態(tài)試驗獲得管道的固有頻率和振型，并建立相應(yīng)的有限元模型。然后以未知的彈性約束為決策變量，以仿真與試驗固有頻率的誤差向量為目標(biāo)函數(shù)，建立多目標(biāo)優(yōu)化問題，并基于NSGA-Ⅱ進(jìn)行求解并修正彈性約束。最后將該彈性約束代入充液管道的濕模態(tài)有限元模型求解，比較濕模態(tài)仿真與試驗的固有頻率和振型，驗證上述預(yù)報方法的可行性并分析管道充液前后的振動特性變化。

圖1 分析流程

1 有限元建模理論

1.1 干模態(tài)理論

結(jié)構(gòu)振動的有限元方程可以表達(dá)為[31]：

(1)

對干模態(tài)問題，求解激勵力向量{FS}為零時結(jié)構(gòu)的運動微分方程，即結(jié)構(gòu)的自由振動方程。一般情況下結(jié)構(gòu)的阻尼較小，對固有頻率和固有振型影響不大，所以常常略去總體阻尼矩陣，干模態(tài)問題轉(zhuǎn)化為求解：

(2)

1.2 濕模態(tài)理論

對濕模態(tài)問題，本文假設(shè)周圍流場中的流體滿足以下要求：① 流體為理想流體；② 流場無旋；③ 流場沒有宏觀流動；④ 流場中無體積力；⑤ 流場中的振動幅度非常小。

此時流體單元內(nèi)的等效積分方程表達(dá)式為

(3)

式中：c為聲波在流體介質(zhì)中的速度；p為聲壓；ρF為流體密度；ΓFSI為流固耦合面；nFSI為ΓFSI上某點的法向量。

將計算域離散化，各個單元的聲壓和位移都可以用其節(jié)點的聲壓與位移插值表示：

p=[N]{p}(e)

(4)

u=[N′]{u}(e)

(5)

式中：{p}(e)、{u}(e)分別為各個單元每一個節(jié)點的聲壓和位移組成的向量；[N]、[N′]分別為聲壓和位移的形函數(shù)陣。

將式(4)和式(5)代入式(3)，可以得到流場單元的波動方程：

(6)

其中:

將式(6)中的單元矩陣疊加，形成流體的總體波動方程：

(7)

流固耦合面ΓFSI上的結(jié)構(gòu)單元受到流體聲壓的作用，單元節(jié)點上作用力的大小為：

[R(e)]{p}(e)

(8)

將式(8)中的單元矩陣疊加，形成結(jié)構(gòu)的總體聲壓作用力的表達(dá)式：

{Fpr}=∑[R(e)]{p}(e)=[R]{p}

(9)

則結(jié)構(gòu)的總體雙向流固耦合振動方程可以表達(dá)為：

(10)

綜上所述，濕模態(tài)問題即求解式(7)和式(10)聯(lián)立的雙向流固耦合方程組[32]：

(11)

1.3 彈性約束的處理

為了簡化問題，本文假設(shè)約束的主要成分是徑向的、作用在管道與約束接觸面上的、均勻的彈性支承約束，忽略其它約束作用。

管道與約束接觸面ΓES上的結(jié)構(gòu)單元受到彈性支承約束的作用，單元節(jié)點上作用力的大小為：

(12)

式中，k為管道與約束接觸面ΓES單位面積上產(chǎn)生單位長度位移所形成的彈性支承約束力。

將式(12)中的單元矩陣疊加，形成結(jié)構(gòu)的總體彈性約束作用力的表達(dá)式：

(13)

在這里，將干燥管道與彈性約束的綜合稱為干模態(tài)系統(tǒng)，將充液管道與彈性約束的綜合稱為濕模態(tài)系統(tǒng)。本文假設(shè)無論是干模態(tài)系統(tǒng)還是濕模態(tài)系統(tǒng)，兩種系統(tǒng)中對應(yīng)的彈性約束都沒有發(fā)生變化。這是因為：① 沒有對彈性約束進(jìn)行替換或調(diào)整松緊程度，彈性約束的剛度作為其固有屬性沒有發(fā)生變化；② 沒有對彈性約束的位置進(jìn)行調(diào)整，彈性約束對管道的作用位置沒有發(fā)生變化。所以，干模態(tài)系統(tǒng)和濕模態(tài)系統(tǒng)中總體彈性約束作用力的表達(dá)式是完全相同的。將式(13)分別代入式(2)和式(11)，得到干模態(tài)問題和濕模態(tài)問題的完整表達(dá)：

(14)

(15)

2 試驗方案與裝置

由振動理論，頻響函數(shù)矩陣[H(jω)]第p行的各個元素分別為p號測點對各個對應(yīng)測點處激勵的頻響函數(shù)，表達(dá)式為

(16)

式中：ω為輸入的激勵頻率；N為測點數(shù)；ζr為模態(tài)阻尼比；ωr為第r階模態(tài)的固有頻率；{U}r={u1r,u2r,…,uNr}T為質(zhì)量歸一化后的第r階模態(tài)振型。顯然，只要獲得[H(jω)]某一行的所有元素，就可以將整個頻響函數(shù)矩陣確定下來。

本文為了獲得管道試件在干模態(tài)和濕模態(tài)下的固有振型和頻率，使用錘擊法進(jìn)行模態(tài)試驗，采用移動敲擊力錘，固定加速度傳感器的方式進(jìn)行：敲擊力錘依次激勵管道外表面上布置的測點，動態(tài)信號采集分析系統(tǒng)同時采集敲擊力錘的輸入信號與加速度傳感器的輸出信號，可以得到所有錘擊測點與傳感器測點間的頻響曲線。各階固有頻率ωr和模態(tài)阻尼比ζr通過對頻響曲線進(jìn)行擬合獲得，代入式(16)即可得到各階振型{U}r。

用于試驗的管道試件為316L鋼質(zhì)直管。直管的外徑為22 mm，內(nèi)徑為18 mm，長度為1 150 mm。316L鋼的密度為8 027 kg/m3，楊氏模量為206 GPa，泊松比為0.3。管道內(nèi)部的流體為水，密度為998.2 kg/m3，聲速為1 482.1 m/s。

試驗系統(tǒng)由計算機(jī)、LMS 動態(tài)信號采集分析系統(tǒng)、三向加速度傳感器、敲擊力錘、流體循環(huán)系統(tǒng)以及試件工裝等組成。試驗系統(tǒng)簡圖見圖2。試驗現(xiàn)場見圖3。其中：約束的基座固定在桌面上，使用可調(diào)節(jié)松緊的箍套實現(xiàn)對管道試件的約束。進(jìn)行濕模態(tài)試驗時，關(guān)閉水閥并將水槽灌滿水，穩(wěn)定后即可實現(xiàn)流體靜止的充液管道。

圖2 試驗系統(tǒng)簡圖

圖3 試驗現(xiàn)場

試件上每間隔50 mm在上、下、前、后各布置一個測點，總計設(shè)置84個測點：沿軸向從右向左編號依次加1，沿周向按前、上、后、下的順時針順序編號依次加21。測點布置情況示意見圖4。三向加速度傳感器布置在23號測點的位置，約束A和B分別以20號測點和11號測點所在管道截面為中橫剖面布置。

圖4 測點的布置

3 干模態(tài)仿真計算

3.1 干模態(tài)仿真物理模型

建立管道試件的物理模型，見圖5。管道試件的模型由7段組成。管道左右端部的2段為連接軟管，字母A和B處為約束管道的箍套。忽略管道兩端的連接軟管對振動的影響，將箍套對管道的約束簡化為徑向均勻的彈性約束。約束A的左端距管道左端75 mm，約束B的左端距管道左端570 mm。兩處彈性約束的長度均為10 mm，剛度未知。使用殼單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)為1 870，節(jié)點數(shù)為1 880。頻率分析范圍為0～1 600 Hz。

圖5 干模態(tài)的物理模型

3.2 多目標(biāo)優(yōu)化理論

為了找到最接近真實彈性約束的彈性約束剛度，以管道試件固有頻率的仿真結(jié)果和試驗結(jié)果的誤差最小化為導(dǎo)向，建立最優(yōu)化問題：

(17)

式中：k為A和B處的彈性約束剛度組成的向量；K為定義域；ffem(k)和fexp(k)分別為管道試件通過仿真和試驗得到的固有頻率組成的向量；E(k)為誤差向量。

對多目標(biāo)優(yōu)化問題，一般難以找到令所有目標(biāo)同時最優(yōu)的可行解。因此需要引入非支配解的概念。

對優(yōu)化問題的可行解k*∈K,若不存在k′∈K且k′≠k*，使目標(biāo)函數(shù)E(k′)滿足[33]：

E(k′)≤E(k*)

(18)

且至少有一個嚴(yán)格不等式成立，則稱k*為該多目標(biāo)優(yōu)化的非支配解。若干非支配解k*形成的曲面稱為非支配前沿面，要找的彈性約束剛度就在該前沿面上。

利用多目標(biāo)遺傳算法NSGA-Ⅱ求解上述多目標(biāo)優(yōu)化問題。遺傳算法的基本原理為通過選擇、交叉和變異等手段生成和保留適應(yīng)度高的個體。對多目標(biāo)優(yōu)化問題，適應(yīng)度的定義方法是在所有個體中尋找所有非支配解，形成第一層非支配前沿面，再尋找剩下個體中的所有非支配解并形成下一層非支配前沿面，直到所有個體被分類完畢。層級越低的個體被分配到越高的適應(yīng)度。NSGA-Ⅱ的特點包括[34]：① 相比NSGA算法，NSGA-Ⅱ采用的快速非劣排序算法速度更快；② 采用精英策略將父代個體組合入子代，避免損失優(yōu)秀個體，加速算法收斂；③ 依據(jù)擁擠度對同一前沿面上的個體進(jìn)行排序，無需額外指定參數(shù)即可確保個體的分散和多樣性。NSGA-Ⅱ的算法流程圖見圖6。

圖6 多目標(biāo)遺傳算法NSGA-Ⅱ流程圖

經(jīng)過多目標(biāo)遺傳算法NSGA-Ⅱ得到非支配前沿面后，根據(jù)實際工程經(jīng)驗選擇合適的非支配解作為優(yōu)化結(jié)果，修正彈性約束。

3.3 彈性約束剛度優(yōu)化

干模態(tài)振動試驗得到的管道試件固有頻率見表1的序號A0。當(dāng)彈性約束剛度無限大時，即直接在約束面上加載理想約束，使約束面不發(fā)生位移和變形時，固有頻率的有限元仿真結(jié)果見序號B0。聯(lián)合干模態(tài)有限元仿真與NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的彈性約束剛度的部分方案見序號C1到C6。

表1 彈性約束剛度部分優(yōu)化結(jié)果

如果直接使用理想約束進(jìn)行仿真，干模態(tài)固有頻率的誤差最多可以超過100%，且階數(shù)越低誤差越大。而經(jīng)過NSGA-Ⅱ優(yōu)化后，非支配前沿面上的剛度方案有效地降低了各階固有頻率的誤差水平。其中，C2方案的平均誤差δmean為3.06%，是所有方案中較小的。

干模態(tài)試驗與仿真得到的固有頻率對比見圖7。

圖7 干模態(tài)試驗與仿真固有頻率對比

對比結(jié)果顯示，C2方案的固有頻率誤差最高為6.19%，出現(xiàn)在第2階；最低為0，出現(xiàn)在第4階。

比較干模態(tài)振動試驗與C2方案仿真得到的固有振型見表2，可以觀察到兩者各階固有振型的形狀均相似。綜合考慮固有頻率和固有振型的吻合程度，采用C2的彈性約束剛度方案，作為修正后的彈性約束開展后續(xù)的濕模態(tài)分析。

表2 干模態(tài)試驗與仿真的固有振型

4 濕模態(tài)仿真計算

4.1 濕模態(tài)仿真物理模型

濕模態(tài)計算基于干模態(tài)的物理模型與多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA-Ⅱ得到的彈性約束剛度，在管道內(nèi)部建立流場域并生成流固耦合面。濕模態(tài)的物理模型見圖8。

圖8 濕模態(tài)的物理模型

使用流體單元對流場域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)為39 116，節(jié)點數(shù)為181 006。頻率分析范圍為0～1 600 Hz。

4.2 仿真與試驗結(jié)果分析

濕模態(tài)振動試驗的試驗與仿真結(jié)果見表3和表4。

表3 濕模態(tài)試驗與仿真的固有頻率

表4 濕模態(tài)試驗與仿真的固有振型

濕模態(tài)試驗與仿真得到的固有頻率對比見圖9。對比結(jié)果顯示：采用C2的彈性約束剛度方案，固有頻率誤差最高為5.30%，出現(xiàn)在第4階；最低為0.09%，出現(xiàn)在第3階。

圖9 濕模態(tài)試驗與仿真固有頻率對比

干模態(tài)與濕模態(tài)仿真結(jié)果的固有頻率與試驗結(jié)果的平均誤差分別為3.06%和2.47%，最大誤差分別不超過6.19%和5.30%，可以基本滿足實際要求，驗證了本文提出方法的可行性。造成誤差的主要原因包括：① 忽略了箍套的非線性彈性和阻尼作用；② 彈性支承對管道的作用被簡化為是沿管道周向和軸向均勻分布的，忽略了彈性作用的不均勻性。

干模態(tài)和濕模態(tài)試驗得到的固有頻率對比見圖10。試驗結(jié)果顯示，相同階的濕模態(tài)固有頻率均低于干模態(tài)固有頻率，頻率漂移比例的平均值為-6.68%。同時，不同階數(shù)頻率偏移的波動非常小，沒有明顯的增加或減少趨勢，基本可以認(rèn)為在一定范圍內(nèi)頻率偏移基本不變。因此，在選擇彈性約束方案時，若存在重點關(guān)注的階數(shù)或固有頻率范圍，應(yīng)該優(yōu)先選擇該階數(shù)下干模態(tài)仿真誤差小的彈性約束方案，有利于在該階數(shù)上得到更符合實際的濕模態(tài)固有頻率。

圖10 試驗固有頻率對比

4.3 本文方法的合理性驗證

濕模態(tài)與干模態(tài)的各階模態(tài)存在著對應(yīng)關(guān)系：在相似的固有振型下，濕模態(tài)的固有頻率相對于干模態(tài)發(fā)生漂移。所以如果忽略試驗誤差和仿真誤差等因素，同一剛度方案在干模態(tài)下對不同階固有頻率誤差的相對差別，不同剛度方案在干模態(tài)下對同一階固有頻率誤差的相對差別都可以通過這種對應(yīng)關(guān)系傳遞到濕模態(tài)上。

觀察干模態(tài)與濕模態(tài)各階頻率平均誤差的相關(guān)性，從實際計算結(jié)果驗證本文提出方法的合理性：選取在彈性約束剛度優(yōu)化過程中計算過的剛度方案，對這些剛度方案下的干濕模態(tài)固有頻率進(jìn)行仿真。以干模態(tài)固有頻率平均誤差為橫坐標(biāo)，濕模態(tài)固有頻率平均誤差為縱坐標(biāo)如圖11所示。

圖11 干濕模態(tài)固有頻率平均誤差的關(guān)系

圖11顯示干模態(tài)固有頻率平均誤差與濕模態(tài)固有頻率平均誤差近似呈正比例的線性關(guān)系：干模態(tài)固有頻率平均誤差越低的剛度方案，其濕模態(tài)固有頻率的誤差水平也越低。從該圖可以推論C2方案應(yīng)用于濕模態(tài)預(yù)報的可靠性，也驗證了本文方法的合理性。

5 結(jié) 論

本文開展了彈性約束充液管道的干濕模態(tài)試驗研究，并提出了對未知彈性約束充液管道頻域特性的預(yù)報方法?；谖闹械募僭O(shè)，該方法總體適用于管道結(jié)構(gòu)的阻尼較小，管內(nèi)流體無流速或流速較低且約束的主要成分為彈性約束的情況。仿真與試驗結(jié)果表明：

(1)彈性約束經(jīng)過多目標(biāo)遺傳算法NSGA-Ⅱ修正后，干模態(tài)有限元仿真結(jié)果與試驗結(jié)果的固有頻率平均誤差為3.06%，最大誤差在6.19%以內(nèi)，振型基本相同。

(2)基于經(jīng)過修正的彈性約束，濕模態(tài)有限元仿真結(jié)果與試驗結(jié)果的固有頻率平均誤差為2.47%，最大誤差在5.30%以內(nèi)，振型基本相同，驗證了本文預(yù)報方法的可行性與合理性。

(3)濕模態(tài)的固有頻率較干模態(tài)有明顯降低，且各階頻率漂移比例基本相同，約為-6.68%。若存在重點關(guān)注的階數(shù)或固有頻率范圍，應(yīng)該優(yōu)先選擇該階數(shù)下干模態(tài)仿真誤差小的彈性約束方案，以獲得更加準(zhǔn)確的濕模態(tài)固有頻率和振型。