基于余弦速度場的厚板軋制力能參數(shù)建模

鄧 磊，章順虎

(蘇州大學(xué) 沙鋼鋼鐵學(xué)院，江蘇 蘇州 215021)

軋制力是進(jìn)行軋機(jī)強(qiáng)度校核與軋制工藝設(shè)定及優(yōu)化的依據(jù)。構(gòu)建預(yù)測精準(zhǔn)的軋制力模型對于提高板材的尺寸精度和質(zhì)量有重要的意義。其中，速度場的設(shè)定是進(jìn)行軋制過程軋件運動及變形分析的基礎(chǔ)，在軋制力模型的構(gòu)建中處于基礎(chǔ)性地位。關(guān)于軋制速度場的研究可以追溯到1975年Oh和Kobayashi[1]的工作。他們提出了流函數(shù)速度場，并基于該速度場建立了一個軋制力模型?？紤]到速度場設(shè)定對軋制力模型精度的影響，Kato等[2]隨后在1980年針對棒材軋制過程中不均勻變形的特點提出了一個加權(quán)速度場。這兩種速度場的提出很好地促進(jìn)了軋制力解析建模的發(fā)展。

數(shù)值模擬是求解軋制力的另一種有效方法。它能夠準(zhǔn)確地模擬出軋制過程中的力能參數(shù)及其變化規(guī)律。Kobayashi等[3]在1989年提出使用有限元法模擬金屬變形的設(shè)想，但礙于當(dāng)時的計算機(jī)水平，未能給出相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果。Hwang等[4]于1992年提出了一種用于分析熱軋帶鋼的剛塑性有限元法，并在板材的模擬中獲得了成功。Heislitz等[5]使用了有限元法對軋制的應(yīng)力分布以及成品的幾何形狀進(jìn)行了模擬，并用實驗結(jié)果對模擬結(jié)果的正確性進(jìn)行了驗證。Mei等[6-7]為了提高有限元模擬的精度并減少迭代次數(shù)，使用了多種函數(shù)對軋制初始速度場進(jìn)行了對比優(yōu)化，提出了設(shè)定速度場的GF-RM法。王寶明等[8-9]使用有限元模擬軟件MSC.MARC對全浮動芯棒連軋過程進(jìn)行了模擬。結(jié)果表明，開軋溫度和壓下量是調(diào)整軋制工藝時需要考慮的兩個主要因素，而張力變化對連軋機(jī)組軋制力的影響主要在第二機(jī)架上。孫建亮等[10]為了解決軋制力偏差過大的問題，使用有限元軟件ANSYS/LS-DANA對厚板軋制進(jìn)行了模擬。通過與現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)作對比，確定了軋輥交叉、非對稱彎輥和竄輥是造成軋機(jī)產(chǎn)生軋制力偏差的主要原因，并提出了降低偏差的相應(yīng)措施。彭林等[11]為了研究非線性塑性大變形過程，使用有限元軟件對H型鋼進(jìn)行了模擬研究。模擬結(jié)果直觀地體現(xiàn)出了金屬流動的演化過程，并且揭示了造成軋制后出現(xiàn)“舌頭”缺陷的原因。盡管數(shù)值模擬能夠明確模擬出軋制過程中各個參數(shù)的具體數(shù)值，但所需的計算量仍然較大。另一方面，數(shù)值模擬得到的結(jié)果是針對某一具體工藝的離散數(shù)值解，不能反映軋制過程中各個參數(shù)間的函數(shù)制約關(guān)系，不利于進(jìn)行現(xiàn)場的工藝設(shè)計與優(yōu)化。

理論解析作為另一種常用的軋制力求解方法彌補(bǔ)了這一不足。它能明確給出各個參數(shù)之間的關(guān)系，且具有物理意義明確的特點。Sims[12]較早基于工程法對軋制過程進(jìn)行了一定的簡化，得到了軋制力與軋制力矩的解析解。Alexander等[13]則使用了滑移線法描述了金屬軋制變形過程，并建立了相應(yīng)的模型。Moon等[14]則考慮了軋制過程中幾何因子與形狀參數(shù)的影響，建立了一個預(yù)測軋制力的近似模型。Pan等[15]對傳統(tǒng)的三角形速度場進(jìn)行了分析。他們發(fā)現(xiàn)，在多三角形速度場中，可以通過描述三角形的數(shù)量來預(yù)估變形功率的上下限。趙德文等[16]基于柱坐標(biāo)系速度場對孔型軋制進(jìn)行了理論解析。結(jié)果證明，初始速度場設(shè)定的合理性將會對后續(xù)的軋制力預(yù)測精度有較大影響。近些年來不少研究者們也對軋制速度場的設(shè)定進(jìn)行了相關(guān)研究，如雙曲正弦速度場[17]、拋物線速度場[18]以及整體加權(quán)速度場[19]等。這些研究為提高軋制力模型的精度做出了許多貢獻(xiàn)。但是，這些速度場還不能較好地反應(yīng)厚板軋制變形的特點。實際應(yīng)用中，已有模型由于作了較多簡化，因此預(yù)測精度有限。另一方面，已有模型多對非線性Mises比塑性功率進(jìn)行近似替代處理，也不可避免地帶來了一定的計算誤差。

針對以上問題，根據(jù)軋件變形時金屬流動的特點提出一個余弦速度場，并基于該速度場進(jìn)行相應(yīng)的能量分析。提出使用分矢量內(nèi)積加和法對Mises非線性軋制功率進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，解決了非線性軋制功率積分困難的問題。同時，基于提出的速度場得到了摩擦功率和剪切功率表達(dá)式，并基于剛塑性變分原理導(dǎo)出了軋制力的解析模型。最后，將得到的軋制力理論結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比，驗證了該軋制力模型的精度，并分析了各軋制參數(shù)與軋制力之間的關(guān)系。

1 軋制參數(shù)描述

1.1 變形參數(shù)

考慮到變形區(qū)的對稱性，只取整體變形區(qū)的1/4進(jìn)行分析，見圖1。

圖1 厚板軋制變形示意Fig.1 Schematic of deformation of thick plate

圖中，h0為軋件入口厚度，h1為出口厚度，R為軋輥半徑，O點位于軋件變形區(qū)入口位置，v0為入口速度，v1為出口速度。θ為接觸角，α為中性角，x為變形區(qū)任意處到變形區(qū)入口的水平距離，hx為變形區(qū)內(nèi)任意處軋件厚度。中性點處軋件切向速度與此處軋輥的切向速度相等，切向速度不連續(xù)量與摩擦功均為零。根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，接觸弧方程、參數(shù)方程以及其一階、二階導(dǎo)數(shù)可表示為

(1)

由圖(1)可知邊界條件

(2)

軋件在變形過程中不僅存在著垂直方向的變形，在寬度方向同樣存在著變形。但是軋件的寬厚比遠(yuǎn)大于10，寬展量很小[20]。圖2為軋件的寬展俯視圖，其中的寬展假定為拋物線形式，其數(shù)學(xué)表達(dá)式、一階導(dǎo)數(shù)以及平均寬度表達(dá)見式(3)～(5)。

圖2 軋制寬度方向變形示意Fig.2 Schematic of deformation along width direction of rolling

(3)

(4)

(5)

1.2 余弦速度場

本文假定軋制時從入口到出口處發(fā)生的金屬流動符合余弦函數(shù)變化規(guī)律，寫作vx=a-bcoscx的形式，其表達(dá)式以及一、二階導(dǎo)數(shù)為：

(6)

(7)

(8)

式中r=(h0b0)/(h1b1)稱為截面壓縮比。

根據(jù)速度協(xié)調(diào)條件，可以導(dǎo)出vy、vz如下：

(9)

(10)

于是，可得到本文的余弦速度場：

(11)

式中vx、vy、vz分別是軋制方向、寬度方向以及壓下方向的速度分量。根據(jù)幾何方程[21]，速度場對應(yīng)的應(yīng)變速率場為：

(12)

該速度場能夠嚴(yán)格滿足體積不變條件、出入口速度邊界條件和幾何方程，因而可以充分滿足運動許可條件。以下部分將以該速度場為基礎(chǔ)進(jìn)行軋制力的能量分析。

2 軋制力的能量解析

2.1 內(nèi)部變形功率

內(nèi)部變形功率Nd可由變形材料的等效應(yīng)力和等效應(yīng)變速率確定，其計算式為

(13)

由于式(13)基于的是非線性的Mises屈服準(zhǔn)則，會給后續(xù)的積分計算帶來困難，因此使用分矢量內(nèi)積加和法進(jìn)行計算，轉(zhuǎn)化過程如下:

(14)

以下為軋制過程中各個方向的矢量模長以及它們與主軸的夾角余弦。

(15)

(16)

注意到式(15)為x的單值函數(shù)，使用積分中值定理后可得

(17)

根據(jù)變形區(qū)幾何關(guān)系可以確定：

(18)

由此可將各方向的應(yīng)變速率與主軸的余弦值表示成

(19)

將式(15)～(17)以及積分中值得到的各參數(shù)簡化關(guān)系代入式(14)后可得到:

(20)

(21)

(22)

將逐項積分結(jié)果Ix、Iy、Iz代入式(14)后整理得

(23)

2.2 摩擦功率

摩擦功率Nf可由摩擦剪應(yīng)力與速度不連續(xù)量的乘積求得，計算式為

(24)

式中Δvf為速度不連續(xù)量，τf為摩擦剪應(yīng)力，其中Δvf和dS的計算式為

(25)

同樣，將軋件表面速度不連續(xù)量與摩擦剪應(yīng)力表示為矢量的形式

(26)

將上式代入式(24)后，即可把摩擦功率寫成矢量內(nèi)積的形式

(27)

根據(jù)圖1，軋輥表面各方向的余弦值如下

(28)

將式(28)代入式(27)后進(jìn)行積分計算，并注意以中性點位置為分界點，中性點兩側(cè)的積分上下限要交換，分段進(jìn)行積分后可得到摩擦功率的表達(dá)式

(29)

2.3 剪切功率

軋制時在變形區(qū)入口與出口處的剪切功耗記為Ns0與Ns1，以下分別進(jìn)行計算:

(30)

式中存在著如下關(guān)系:

(31)

(32)

(33)

(34)

因此，在軋制出口處剪切功率Ns1=0，入口處的剪切功率消耗為軋制過程中的總剪切功率，可表示為

(35)

2.4 總功泛函最小化

根據(jù)式(23)、(29)和(35)可將軋制的總功率泛函Φ表達(dá)成

(36)

式中U為軋制變形區(qū)內(nèi)任意變形區(qū)的秒體積流量。其表達(dá)式與一階偏導(dǎo)式可寫為:

(37)

(38)

式(23)、(29)和(35)分別對中性角αn求導(dǎo)可得:

(39)

(40)

(41)

對總功率泛函變分有

(42)

基于式(42)可得到摩擦因子m的表達(dá)式

(43)

因此，軋制力矩、軋制力以及應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)的解析模型可以根據(jù)以下關(guān)系進(jìn)行計算:

(44)

3 實驗驗證

以下用國內(nèi)某廠實測軋制數(shù)據(jù)來驗證軋制力模型的預(yù)測精度。其中，軋件的尺寸為250 mm×2 100 mm×3 500 mm(高×長×寬)，軋輥直徑為1 200 mm。在本文中，每道次的實際力臂系數(shù)χ分別為0.54、0.54、0.53、0.52和0.51。經(jīng)過第一道次的整形軋制后進(jìn)入展寬軋制階段，此時軋件的初始厚度為235.47 mm。材料為Q345R鋼，其變形抗力模型為[22]:

(45)

T=t+273

(46)

各道次的解析軋制力可由式(44)計算得到，相關(guān)的參數(shù)以及對比結(jié)果見表1、2。

表1 相關(guān)軋制參數(shù)介紹Tab.1 Summary of relevant rolling parameters

由表2易見，軋制力矩計算值與實測值的最大誤差均小于6.83%，解析軋制力與實測軋制力的最大誤差為7.55%，平均誤差為4.77%。各個道次的解析軋制力、軋制力矩與實測值之間的誤差均滿足工程應(yīng)用上最大預(yù)測誤差小于15%的要求，說明本文建立的軋制力模型具有較好預(yù)測精度。

表2 解析軋制力、力矩與實測結(jié)果的比較Tab.2 Comparison between analytical results of rolling force and torque with the measured results

將本文所建立的軋制力預(yù)測結(jié)果與Sims模型[12]、Tselikov模型[20]以及實測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖3所示。由圖可見，Sims模型的預(yù)測結(jié)果偏大，而Tselikov模型的預(yù)測結(jié)果偏小，兩個經(jīng)典模型的最大預(yù)測誤差均超過15%。而本文所建立的模型的預(yù)測結(jié)果與實測軋制力吻合較好，最大誤差為6.83%。

圖3 不同軋制力模型預(yù)測效果對比Fig.3 Comparison of prediction results of different rolling models

4 分析與討論

圖4為不同壓下率下各軋制功率的變化關(guān)系圖。由圖可知，在各壓下率下，內(nèi)部變形功率總是軋制過程中消耗能量的最主要部分，且它在總軋制功率中的占比隨著壓下率的增加而增加，摩擦功率和剪切功率幾乎在同一個數(shù)量級且摩擦功率數(shù)值最小。摩擦功率和剪切功率雖然都與壓下率成正相關(guān)，但其數(shù)值均小于內(nèi)部變形功率。當(dāng)摩擦因子為0.6時，剪切功率與摩擦功率在壓下率為0.35時相等，而當(dāng)摩擦因子為0.8時，二者在壓下率為0.3時相等。此外，隨著摩擦因子的增加，摩擦功率的增長速率大于剪切功率的增長速率。因此，隨著摩擦因子的增加，摩擦功率等于剪切功率時的所需的壓下率會下降。

圖4 不同壓下率下各軋制功率的變化關(guān)系Fig.4 Variation of rolling power with different reductions

圖5為不同壓下率下變形區(qū)長度l與中性點位置xn/l的關(guān)系。隨著壓下率的增大，變形區(qū)的總長度雖然變長了，但中性點在變形區(qū)內(nèi)的相對位置并未向出口移動，反而是向變形區(qū)中點(圖中的中點線)發(fā)生了偏移。

圖5 不同壓下率下變形區(qū)長度與中性點位置的關(guān)系Fig.5 Relation between lengths of deformation zone and positions of neutral point under different reductions

圖6為摩擦因子m、壓下率ε與軋制力F之間的關(guān)系。由圖可見，軋制力與摩擦因子以及壓下率都成線性正相關(guān)。但在壓下率較小時，摩擦因子對軋制力變化的影響較小，而在壓下率較大時，摩擦因子對軋制力的影響更明顯。

圖6 摩擦因子、壓下率與軋制力之間的關(guān)系Fig.6 Relation among friction factor,reduction,and rolling force

圖7為壓下率ε、摩擦因子m與中性點位置xn/l的關(guān)系。圖中,摩擦因子對中性點的影響較為顯著,而壓下率的影響不顯著?？梢钥闯?隨著摩擦因子的增加,中性點向入口移動。

圖7 壓下率、摩擦因子對中性點位置的影響Fig.7 Influence of reduction and friction factor on positions of neutral point

圖8為形狀因子l/2hm、徑厚比R/2h0與應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)nσ的關(guān)系。圖中，應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)與軋件徑厚比成負(fù)相關(guān)關(guān)系，而與形狀因子成正相關(guān)關(guān)系。當(dāng)徑厚比較大且形狀因子較小時，所需的軋制力較小。

圖8 形狀因子、徑厚比與應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)的關(guān)系Fig.8 Relation among shape factor,radius-thickness ratio,and stress state coefficient

5 結(jié) 論

1)本文根據(jù)軋件變形區(qū)的金屬流動特點提出了一個余弦速度場。經(jīng)證明，該速度場能夠嚴(yán)格滿足體積不變條件、出入口速度邊界條件以及幾何方程，這對擬建立的軋制力模型具有一定的精度保障。

2)針對Mises比塑性功率積分困難的問題，提出了一個新的解決方法，即分矢量內(nèi)積加和法。經(jīng)此方法得到了軋制的內(nèi)部變形功率。同時，也基于提出的速度場得到了摩擦功率和剪切功率的表達(dá)式，并建立了軋制力的解析模型。本文的理論軋制力矩、軋制力與各道次實測值的誤差均在6.83%和7.55%以內(nèi)，具有較高精度，表明本文提出的速度場與解析方法是可行的。

3)參數(shù)規(guī)律分析表明：在各個壓下率下，內(nèi)部變形功率的消耗都遠(yuǎn)大于其他兩種功率的消耗；隨著摩擦因子的增加，摩擦功率的增長速率大于剪切功率的增長速率；軋制中性點的位置并不在變形區(qū)中點，而是在中點偏向出口方向的位置上，但隨著壓下率的增大，中性點會向變形區(qū)中點位置移動。