雙約束條件的時域MVDR 自適應波束形成方法

董 晉，胡 鵬，馮金鹿

(中國船舶集團有限公司第七一五研究所，浙江 杭州 310023)

0 引 言

波束形成技術是陣列信號處理的關鍵技術之一，在雷達、聲吶信號處理領域有著廣泛的應用。在主動聲吶陣列信號處理中，常規(guī)波束形成方法（CBF）主瓣較寬、旁瓣較高，空間分辨力的不足導致CBF 對多目標、弱目標的檢測性能不足。自適應波束形成方法擁有較高的空間分辨力，在多目標和弱目標檢測上體現(xiàn)了良好的性能，因此研究自適應檢測方法具有重要的意義[1]。

MVDR[2]是已經(jīng)較為成熟的一種自適應波束形成方法，傳統(tǒng)MVDR 方法為頻域MVDR，其缺陷是需要較長的數(shù)據(jù)長度進行累積來保證最優(yōu)權向量[2]的穩(wěn)定估計。文獻[3]提到時域MVDR 方法TMVDR，該方法在構造時域解析信號的基礎上，對每一路時域解析信號引入復權，提高了MVDR 最優(yōu)權向量估計的穩(wěn)定性。但在大孔徑主動聲吶信號處理的應用環(huán)境中，回波信號脈寬較短、有效快拍次數(shù)較少以及陣列可能存在的陣型失配等問題，必然會使MVDR 濾波器的最優(yōu)權向量估計存在誤差，最終導致其輸出功率失真，降低了MVDR 的工程實用價值。本文在TMVDR 的基礎上加入了誤差恒定和功率恒定2 個約束條件[4–5]，實現(xiàn)了一種雙約束條件的時域MVDR 自適應波束形成方法DCTMVDR（Double constraint Time-domain MVDR），本方法對原本MVDR 無約束的最優(yōu)權輸出進行了誤差恒定和功率恒定的約束補償，在保證較高空間分辨率的同時有效解決了MVDR 在惡劣環(huán)境下性能下降的問題，提高了算法魯棒性。同時本方法的協(xié)方差矩陣估計采用對角加載法[6]，增加了協(xié)方差矩陣的穩(wěn)定性，進一步減少誤差。本方法可以在單個快拍下實現(xiàn)最優(yōu)權向量的穩(wěn)定估計，在實際工程中也能體現(xiàn)出較好的性能。

1 TMVDR 原理及主動處理的應用

假設主動聲吶M個陣元接受到的時域數(shù)據(jù)為：

其中，n=1,2,···,N表示時間采樣點，N表示一個處理拍快的數(shù)據(jù)長度。

m=1,2,···,M

假設為陣元序號，第m路陣元時域數(shù)據(jù)可以表示為：

其中，A表示信號幅值，n0表示回波信號到達時間點，Na表示發(fā)射信號脈寬長度，a表示發(fā)射信號：

其中，*表示共軛，⊙表示Hadamard 積。

則可得到陣列相關檢測輸出：

計算本次快拍下相關檢測輸出的協(xié)方差矩陣：

其中，R為M×M矩陣。

假設TMVDR 濾波器的權矢量為w，則其輸出可表示為：

其中，H 表示共軛轉置。

TMVDR 的約束問題表達式[3]如下：

其中，I表示M×1維單位向量。

用拉格朗日乘數(shù)法求解式（11）可解得TMVDR 濾波器的最優(yōu)權矢量：

代入式（10）則可得到TMVDR 濾波器的最優(yōu)權向量：

需要注意的是由于協(xié)方差矩陣的估計很難得到滿秩且穩(wěn)定的M×M維矩陣，采用對角加載方法可以緩解這一問題。

2 DCTMVDR 原理

假設式（12）中的期望值為單位向量I，當協(xié)防差矩陣R的估計產(chǎn)生誤差時則必然使得輸出的權矢量不是最優(yōu)值，導致性能下降。

假設存在一個補償權向量b，對R進行誤差補償后可以使wopt的輸出達到最優(yōu)。以bˉ=I作為期望值，則以‖b?I‖2≤ε視為誤差上限為 ε的誤差恒定約束條件，以‖b‖2=M視為能量恒定約束條件，因此DCTMVDR的優(yōu)化問題可歸納為如下表達式：

其中：ε代表b與I之間誤差范圍。我們將給定誤差范圍的b的值域視為一個以I為圓心、半徑為的球體，DCTMVDR 的原理可以表示為搜索該球體以尋找一個同時滿足2 個約束條件的理想值b?使得算法輸出權向量wopt的值為最優(yōu)。

在不考慮第二約束條件‖b‖2=M的前提下，利用拉格朗日算法求解式（14），可以得到單約束條件下的解：

其中：IM×M為單位對角陣。則結合約束條件一‖b?I‖2≤ε，可得到λ的函數(shù)g(λ)：

對R進行特征值分解，可以得到：

其中 Λ表示由特征值構建的對角矩陣，其中特征值按從大到小排序，即γ1>γ2···>γM，U表示對應各個特征值的特征向量矩陣。令z=UHI，則式（16）可化簡為：

利用式（18）可求得 λ。需要注意的是，因為‖I‖2>ε，所以由式（16）可得到g(λ)是λ的單調遞減函數(shù)，且g(0)>ε，故λ≠0。由式（18）得到0<ε，可知對于式（18）存在 λ的唯一解（λ>0）。由排列方式可知 γM，γ1分別為特征值 γ的最小值和最大值，由式（18）可解得 λ取值范圍的上下界。去掉式（18）分母中的1，可以得到 λ的另一個上界，故λ取值范圍為：

利用拉格朗日算法求解式（14），可以得到雙約束條件下的最優(yōu)解：

將式（18）得到的 λ代入得到DCTMVDR 的理想補償值。

則DCTMVDR 濾波器的最優(yōu)權矢量可以表示為：

DCTMVDR 濾波器的最優(yōu)輸出可以表示為：

3 數(shù)值仿真驗證

通過數(shù)值仿真進行陣列輸出數(shù)據(jù)模擬，分別在理想條件和陣型失配條件下，對CBF，TMVDR 和DCTMVDR 三種方法進行比較，驗證DCTMVDR 的有效性。

1）理想條件下的波束響應

仿真條件：進行32 元等間距線陣數(shù)據(jù)模擬，發(fā)射信號模擬頻率為1.2 kHz 的調頻信號，帶寬為500 Hz，脈寬為0.2 s，采樣率為15 kHz，仿真單個目標回波，目標方位81°，輸入信噪比30 dB。

圖1 仿真結果表明，在理想條件下，相比較與CBF，TMVDR 和DCTMVDR 擁有更好的空間分辨力和較低的旁瓣級。而TMVDR 和DCTMVDR 體現(xiàn)的性能基本相同，其中DCTMVDR 的旁瓣級略低于TMVDR。

圖1 理想條件下CBF，TMVDR，DCTMVDR 的波束輸出Fig.1 Beam output of CBF，TMVDR and DCTMVDR under ideal condition

2）陣型失配條件下的波束響應

仿真條件：進行80 元等間距線陣數(shù)據(jù)模擬，發(fā)射信號模擬頻率為2.5 kHz 的調頻信號，帶寬為500 Hz，脈寬為0.2 s，采樣率為15 kHz，仿真2 個目標回波，目標1 方位81°，輸入信噪比10 dB，目標2 方位86°，輸入信噪比15 dB。進行陣型失配模擬，在每個通道加入隨機的相位擾動。

圖2 仿真結果表明，在條件惡劣的情況下，TMVDR 會發(fā)生輸出功率失真的現(xiàn)象，相比之下DCTMVDR 輸出功率穩(wěn)定，在保證輸出能量不失真的前提下提高了時間分辨率，體現(xiàn)了最優(yōu)的性能。

圖2 陣型失配條件下TMVDR，DCTMVDR 的波束輸出Fig.2 Beam output of TMVDR and DCTMVDR under the condition of array mismatch

4 實驗數(shù)據(jù)分析

選取某型號大型拖線陣聲吶實驗數(shù)據(jù)中的1 個數(shù)據(jù)段作為數(shù)據(jù)分析樣本。通過對CBF，TMVDR 和DCTMVDR 三種方法進行性能比較，驗證DCTMVDR 的有效性。

實驗數(shù)據(jù)說明，選用實驗數(shù)據(jù)中某一周期數(shù)據(jù)，該段數(shù)據(jù)處于陣型輕微失配環(huán)境，截取包括寬帶信號目標回波在內的數(shù)據(jù)段，數(shù)據(jù)段長度為2 s，發(fā)射信號為寬帶調頻信號。

圖3～圖5 為3 種方法的方位歷程圖。由圖可見，回波目標位于方位39°、距離0.85 s 的位置（圖中已標注），位于80°左右有1 個強干擾目標。CBF 檢測目標較為模糊，TMVDR 檢測目標失敗，DCTMVDR 檢測目標清晰可見。

圖3 CBF 方位歷程圖Fig.3 Azimuth history chart of CBF

圖4 TMVDR 方位歷程圖Fig.4 Azimuth history chart of TMVDR

圖5 DCTMVDR 方位歷程圖Fig.5 Azimuth history chart of DCTMVDR

分析結果可以表明，CBF 的空間分辨率較低，受到強干擾影響，檢測出的目標較為模糊。由于環(huán)境惡劣，TMVDR 性能下降，沒有能夠檢測出目標。相比較之下，DCTMVDR 不僅擁有更好的空間分辨率，有效地抑制了強干擾的旁瓣，也體現(xiàn)了穩(wěn)健良好的目標檢測性能。

5 結 語

TMVDR 方法可以有效地提高聲吶波束輸出的空間分辨率、降低旁瓣級，在大孔徑主動聲吶的應用環(huán)境下，由于單次快拍協(xié)方差矩陣估計的不穩(wěn)定性以及可能存在的陣型失配等不確定因素，其存在輸出功率失真的問題，導致其性能下降。相對于TMVDR，DCTMVDR 在一定程度上能夠有效地避免由于最優(yōu)權向量估計誤差導致的性能下降問題，在估計最優(yōu)輸出的同時擁有更好的魯棒性。數(shù)值仿真和實驗數(shù)據(jù)驗證了DCTMVDR 方法的有效性。