側(cè)向載荷作用下的T型加筋板梁柱屈曲載荷-端縮曲線修正

陳雨哲，王德禹

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

0 引 言

船體梁極限強(qiáng)度是船體結(jié)構(gòu)抵抗整體崩潰的最大能力，準(zhǔn)確評(píng)估船體梁極限強(qiáng)度對(duì)于船體設(shè)計(jì)有著重要意義。目前，船體梁極限強(qiáng)度的計(jì)算方法主要有3 類(lèi)：非線性有限元法、逐步崩潰法以及理想結(jié)構(gòu)單元法。其中，逐步崩潰法（Smith 法）的核心思想是將船體艙段橫剖面分為板單元、加筋板單元和硬角單元，根據(jù)各類(lèi)單元的載荷-端縮曲線，通過(guò)力平衡準(zhǔn)則迭代找到每一曲率下的中和軸位置，計(jì)算得到整個(gè)艙段的彎矩-曲率曲線，從而得出船體梁的極限彎矩[1]。Smith 法具有操作簡(jiǎn)單、耗時(shí)短、準(zhǔn)確性較高的優(yōu)點(diǎn)，被多種規(guī)范采納，作為計(jì)算船體梁極限強(qiáng)度的重要方法之一。

符合實(shí)際情況的單元載荷-端縮曲線是確定剖面中和軸準(zhǔn)確位置的基礎(chǔ)，對(duì)Smith 法的計(jì)算精度有著重要的影響。確定載荷-端縮曲線的方式通常有3 種[2]：解析求解；數(shù)值計(jì)算；模型試驗(yàn)。目前的HCSR 規(guī)范中規(guī)定的載荷-端縮曲線并未考慮側(cè)向載荷的作用，而側(cè)向載荷是船體結(jié)構(gòu)所受的常見(jiàn)載荷之一，比如貨物、設(shè)備的重力以及水壓力，且側(cè)向載荷與軸向載荷的聯(lián)合作用，會(huì)對(duì)加筋板的載荷-端縮曲線產(chǎn)生明顯影響[3]，因此對(duì)載荷-端縮曲線進(jìn)行修正有著重要意義。

Paik 等[4]研究了加筋板在軸向載荷、面內(nèi)彎矩以及側(cè)向載荷聯(lián)合作用下的極限強(qiáng)度，并將計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，證實(shí)了提出公式的有效性。Shanmugam[5]對(duì)受單軸壓縮和側(cè)向載荷聯(lián)合作用下的加筋板極限強(qiáng)度進(jìn)行了模型試驗(yàn)研究和數(shù)值計(jì)算，得出對(duì)于此聯(lián)合作用下的加筋板，板柔度系數(shù) β的增大會(huì)引起加筋板極限承載能力下降的結(jié)論。

對(duì)于僅受軸向壓縮的加筋板的極限強(qiáng)度，Zhang和Khan[6]提出一種半解析的經(jīng)驗(yàn)公式形式（見(jiàn)式（1）），并給出了梁柱柔度系數(shù)λ<2時(shí)的鋼制加筋板軸向壓縮臨界應(yīng)力公式（見(jiàn)式（2））。

式中，r為梁柱慣性半徑，I為加筋板橫剖面的慣性矩，Z0為加筋板橫剖面的形心高度，定義式分別如下式：

對(duì)于受軸向壓縮和側(cè)向載荷的鋼制加筋板，Xu[7]提出一種經(jīng)驗(yàn)公式形式（見(jiàn)式（8）），設(shè)定3 種側(cè)向壓力，即0 MPa（對(duì)應(yīng)0 m 水壓），0.1 MPa（對(duì)應(yīng)10 m水壓）和0.2 MPa（對(duì)應(yīng)20 m 水壓），計(jì)算了1 296 個(gè)加筋板算例，擬合得到了不同種類(lèi)加筋板對(duì)應(yīng)的X0,X1,···,X10隨水深h變化的表達(dá)式。

目前學(xué)者采用的有限元模型大部分為加筋板板架，考慮了相鄰結(jié)構(gòu)對(duì)加筋板的影響，而Smith 法中基本假設(shè)之一是各單元無(wú)相互作用且變形獨(dú)立[8]，因此，本文采用單個(gè)加筋板作為研究對(duì)象，減少相鄰單元對(duì)加筋板載荷-端縮曲線的影響，使得到的載荷-端縮曲線修正公式更適用于Smith 法。另一方面，目前學(xué)者得到的載荷-端縮修正公式大多僅針對(duì)臨界應(yīng)力進(jìn)行修正，而側(cè)向載荷還會(huì)同時(shí)影響臨界應(yīng)變，本文將從臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)變2 個(gè)方面入手，對(duì)HCSR 規(guī)定的T型加筋板梁柱屈曲狀態(tài)下的載荷-端縮曲線進(jìn)行修正。

1 計(jì)算模型介紹

1.1 模型參數(shù)

本文選擇T 型加筋板作為研究對(duì)象，共建立192個(gè)T 型加筋板模型，材料采用理想彈塑性模型，加強(qiáng)筋建立在短邊中心處，加筋板參數(shù)如表1 所示（若無(wú)特別說(shuō)明，其余章節(jié)中參數(shù)符號(hào)含義均與表1 相同）。

表1 加筋板模型各參數(shù)含義以及算例參數(shù)值匯總Tab.1 Parameter meaning and value of stiffened plate model

等效屈服強(qiáng)度σYeq定義式如下式：

Do[9]統(tǒng)計(jì)出船體加筋板的長(zhǎng)寬比通常在5～6 之間，因此在設(shè)計(jì)模型參數(shù)時(shí)，取加筋板長(zhǎng)寬比為5。Zhang[6]統(tǒng)計(jì)了12 個(gè)油船和10 個(gè)散貨船的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，總結(jié)出典型船體板柔度系數(shù)及梁柱柔度系數(shù)的分布范圍，其中板柔度系數(shù)多分布在1～2.5 之間，而梁柱柔度系數(shù)多分布在0.25～0.95 之間。本文通過(guò)調(diào)整加筋板幾何參數(shù)，得到4 種不同的板柔度系數(shù)：1.173 1，1.466 4，1.955 2，2.323 4，以及分布在[0.306 7，1.024 0]之間的一系列梁柱柔度系數(shù)，與船體加筋板統(tǒng)計(jì)得到的分布范圍基本一致。

1.2 載荷與邊界條件

邊界條件是影響加筋板載荷-端縮曲線的重要因素，實(shí)際情況中，加筋板的邊界條件介于簡(jiǎn)支與固支之間，類(lèi)似彈性支座，計(jì)算時(shí)采用簡(jiǎn)支邊界更為保守[10]。

綜合考慮Smith 法的基本假設(shè)和船體板的實(shí)際情況，對(duì)加筋板施加邊界條件（見(jiàn)表2），加筋板各點(diǎn)編號(hào)如圖1 所示。其中Ui代表沿i方向的平動(dòng)自由度，Ri代表繞i軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，‘0’代表對(duì)應(yīng)自由度被約束。

表2 加筋板邊界條件Tab.2 The boundary condition of stiffened plate model

圖1 加筋板節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖Fig.1 Diagram of stiffened plate node number

考慮Smith 法中各單元應(yīng)保持相互獨(dú)立，以及船體加筋板具有連續(xù)性，在加筋板的A1-B1，A2-B2邊上應(yīng)保持Rx=Rz=0。由于加筋板為軸向壓縮，應(yīng)約束y方向上的位移，因此在A1-B1，A2-B2邊施加對(duì)稱邊界條件（Uy=0，Rx=Rz=0）。在短邊（A1-A2，A3-A4，A5-A6，B1-B2，B3-B4，B5-B6）上施加軸向壓縮位移載荷，并約束y方向與z方向的位移，以及x方向的轉(zhuǎn)角。

為對(duì)比不同側(cè)向載荷對(duì)加筋板載荷-端縮規(guī)律的影響，對(duì)每一個(gè)模型，依次施加大小為0，0.05 MPa，0.1 MPa，0.15 MPa，0.2 MPa 的均布側(cè)向載荷，分別對(duì)應(yīng)0 m，5 m，10 m，15 m，20 m 深度的水壓，側(cè)向載荷方向由無(wú)加強(qiáng)筋一側(cè)指向有加強(qiáng)筋一側(cè)，施加范圍為整個(gè)帶板面。

1.3 初始缺陷

初始缺陷會(huì)對(duì)加筋板的破壞模式和臨界載荷產(chǎn)生顯著影響，在梁柱屈曲破壞模式中，通常采用3 種初始缺陷[4]：對(duì)帶板單元節(jié)點(diǎn)施加式（10）所示的帶板屈曲和梁柱屈曲型初始變形，對(duì)加強(qiáng)筋單元節(jié)點(diǎn)施加式（11）所示的梁柱屈曲型初始變形，以及如式（12）所示的側(cè)傾初始變形。

式中，A0=0.1β2t，B0=0.001 5a，C0=0.001 5a，m為板屈曲半波數(shù)，定義為滿足a/b≤的最小正整數(shù)。

采用MSC Patran 軟件對(duì)加筋板模型添加初始缺陷，初始變形示意圖如圖2 所示。

圖2 加筋板初始變形示意圖（變形放大10 倍）Fig.2 Diagram of initial distortion of stiffened plate model（Deformation magnified 10 times）

2 載荷-端縮曲線修正

2.1 有限元法計(jì)算結(jié)果

采用參數(shù)化建模方法，利用MSC Patran 建立加筋板模型，施加初始變形場(chǎng)；利用Abaqus 設(shè)置邊界條件，計(jì)算模型在不同側(cè)向載荷作用下的支反力-位移曲線，從而得到不同側(cè)向載荷作用下模型的載荷-端縮曲線。將非線性有限元法計(jì)算得到的臨界載荷和臨界端縮量換算為臨界應(yīng)力和臨界相對(duì)應(yīng)變，并以無(wú)側(cè)向載荷時(shí)的臨界應(yīng)力和臨界相對(duì)應(yīng)變作為標(biāo)準(zhǔn)值，進(jìn)行無(wú)因次化處理，計(jì)算結(jié)果如圖3 和圖4 所示。

圖4 不同側(cè)向載荷作用下無(wú)因次化臨界應(yīng)變有限元法計(jì)算結(jié)果Fig.4 Dimensionless critical strain results of stiffened plate model under different lateral loads by finite element method

2.2 擬合公式

固定板柔度系數(shù) β和側(cè)向載荷LP 后，各加筋板模型無(wú)因次化臨界應(yīng)力σu/σu0和無(wú)因次化臨界相對(duì)應(yīng)變?chǔ)舥/εu0與梁柱柔度系數(shù)λ呈現(xiàn)高度相關(guān)性，以β=2.323 4的48 個(gè)模型的無(wú)因次化臨界應(yīng)力為例，選用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖5 和圖6 所示。

圖5 σu/σu0 關(guān)于λ 擬合公式示意圖Fig.5 Diagram of the fitting formula about σu/σu0 and λ

圖6 εu/εu0 關(guān)于λ 擬合公式示意圖Fig.6 Diagram of the fitting formula about εu/εu0 and λ

對(duì)臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)變分別采用式（13）和式（14）進(jìn)行擬合。不同 β和LP 對(duì)應(yīng)的擬合修正公式系數(shù)如表3 和表4 所示。其中，表3 數(shù)據(jù)為臨界應(yīng)力修正公式系數(shù)p1?p4，表4 對(duì)應(yīng)臨界應(yīng)變修正公式系數(shù)p5～p8，R2為各擬合公式與數(shù)據(jù)點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)?？梢钥闯觯咏畎宓呐R界應(yīng)力及臨界應(yīng)變與梁柱柔度系數(shù)呈高度相關(guān)性。

表3 不同板柔度系數(shù)和側(cè)向載荷對(duì)應(yīng)的臨界應(yīng)力擬合修正公式系數(shù)Tab.3 Coefficients of critical stress fitting correction formula corresponding to different plate slenderness ratio and lateral loads

表4 不同板柔度系數(shù)和側(cè)向載荷對(duì)應(yīng)的臨界應(yīng)變擬合修正公式系數(shù)Tab.4 Coefficients of critical strain fitting correction formula corresponding to different plate slenderness ratio and lateral loads

將板柔度系數(shù) β和側(cè)向載荷LP 視為自變量，系數(shù)p1～p8視為因變量，采用式（15）所示的擬合公式形式對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行擬合，擬合示意圖如圖7 和圖8 所示。擬合公式的參數(shù)p00,p10,p01,···,p03數(shù)值如表5 所示，表中R2為擬合公式與數(shù)據(jù)點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)。

圖7 臨界應(yīng)力修正公式系數(shù)p1～p4 關(guān)于β 和LP 擬合結(jié)果Fig.7 The fitting results of coefficients of the critical stress correction formula about β and LP

圖8 臨界應(yīng)變修正公式系數(shù)p5～p8 關(guān)于β 和LP 擬合結(jié)果Fig.8 The fitting results of coefficients of the critical strain correction formula about β and LP

2.3 T 型加筋板梁柱屈曲載荷-端縮曲線修正公式

對(duì)于組成船體梁橫剖面的普通加筋板單元的梁柱屈曲，HCSR 中描述其的載荷-端縮曲線方程如下式[2]：

εE為單元應(yīng)變，根據(jù)單元自身中和軸位置、船體橫剖面中和軸位置和曲率計(jì)算得到；εY為單元達(dá)到屈服應(yīng)力時(shí)的應(yīng)變：

式中：σC1為臨界應(yīng)力，N/mm2，計(jì)算式如下式：

式中：σE1為歐拉柱子應(yīng)力，N/mm2，計(jì)算式如下式：

式中：IE和AE分別為帶板寬度為bE1的扶強(qiáng)材慣性矩和凈剖面積，cm4/cm2；bE1為根據(jù)相對(duì)應(yīng)變修正后的有效帶板寬度，m，計(jì)算式如下式：

式中：bE為扶強(qiáng)材連接的有效帶板寬度，m；b為扶強(qiáng)材間距（本文中與板寬相同），m；bE1計(jì)算式如下式：

根據(jù)此載荷-端縮曲線方程，可以通過(guò)相對(duì)應(yīng)變?chǔ)徘蟮脤?duì)應(yīng)的應(yīng)力σCR1，從而求出加筋板單元在梁柱屈曲狀態(tài)下的載荷-端縮曲線。

按照給出的修正公式形式和修正公式系數(shù)，對(duì)HCSR 規(guī)定的加筋板梁柱屈曲載荷-端縮曲線進(jìn)行修正，修正公式如下式：

式中：f1(LP,β,λ)=p1λ3+p2λ2+p3λ+p4；將加筋板載荷-端縮曲線各計(jì)算公式中的相對(duì)應(yīng)變?chǔ)啪鎿Q為ε′，ε′=ε/(p5λ3+p6λ2+p7λ+p8)。其中p1～p8為β和LP的函數(shù)，計(jì)算式如式（25），對(duì)應(yīng)的參數(shù)p00,p10,p01,···,p03按照表5 選取。

表5 p1～p8 關(guān)于β 和LP 的擬合公式參數(shù)表Tab.5 Coefficients of fitting formula about p1～p8 corresponding to β and LP

2.4 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證修正公式的有效性，分別采用修正公式和非線性有限元法計(jì)算8 個(gè)加筋板模型，加筋板幾何參數(shù)如表6 所示。材料采用理想彈塑性模型，屈服極限為315 MPa，彈性模量為206 000 MPa，加強(qiáng)筋設(shè)立在短邊中心處，初始缺陷、邊界條件和載荷按照2.2 節(jié)與2.3 節(jié)設(shè)置。

表6 加筋板算例幾何參數(shù)（mm）Tab.6 Geometric parameter values of stiffened plate model

將修正公式和非線性有限元法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如表7 所示。表中數(shù)據(jù)為無(wú)因次化臨界應(yīng)力和無(wú)因次化臨界應(yīng)變，LP1～LP4依次代表施加0.05 MPa，0.1 MPa，0.15 MPa，0.2 MPa 的側(cè)向載荷。從表中可以看出，按照修正公式得到的計(jì)算結(jié)果與按照非線性有限元法計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差在10%以內(nèi)，說(shuō)明本文得到 的修正公式有效。

表7 修正公式與有限元法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.7 Comparison of the results by the modified formula and the finite element method

3 結(jié) 語(yǔ)

為計(jì)入側(cè)向載荷對(duì)Smith 法中加筋板單元載荷-端縮規(guī)律的影響，采用數(shù)值仿真方法，計(jì)算192 塊T 型加筋板模型在不同側(cè)向載荷和縱向壓縮載荷作用下的載荷-端縮曲線，根據(jù)計(jì)算結(jié)果擬合得到臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)變的修正公式，對(duì)HCSR 規(guī)定的T 型加筋板梁柱屈曲狀態(tài)下的載荷-端縮曲線進(jìn)行了修正，得到以下結(jié)論：

1）側(cè)向載荷對(duì)T 型加筋板梁柱屈曲狀態(tài)下的載荷-端縮曲線具有顯著影響，較大的側(cè)向載荷（LP<0.15 MPa）可使柔度系數(shù)較大（β>1.95,λ>0.6）的加筋板極限承載能力下降40%以上。

2）對(duì)于柔度系數(shù)較小（β<1.45,λ<0.5）的T 型加筋板，由于無(wú)側(cè)向載荷時(shí)加筋板的彎曲方向和側(cè)向載荷的方向相反，加筋板的臨界端縮量隨側(cè)向載荷的增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，拐點(diǎn)通常出現(xiàn)在LP=0.05 MPa～0.1 MPa 范圍內(nèi)；當(dāng)β與λ增大時(shí)，拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的側(cè)向載荷值減小。

3）當(dāng)β≤1.45,λ≤0.4,LP≤0.1MPa時(shí)，側(cè)向載荷對(duì)T 型加筋板梁柱屈曲狀態(tài)下的臨界應(yīng)力影響較小，在5%以內(nèi)。