準(zhǔn)晶材料斷裂力學(xué)復(fù)變函數(shù)方法的發(fā)展及其應(yīng)用

劉昉昉, 李聯(lián)和,2

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022;2.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)中心,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

1 準(zhǔn)晶材料斷裂力學(xué)復(fù)變函數(shù)方法的發(fā)展歷程

20世紀(jì)初,經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家柯西、德國數(shù)學(xué)家黎曼、魏爾斯特拉斯等人的發(fā)展,復(fù)變函數(shù)理論內(nèi)容體系已經(jīng)比較完善。彈性力學(xué)的研究希望獲得同時滿足全部彈性力學(xué)方程和邊界條件的解析解,而復(fù)變函數(shù)理論正是可以滿足這一要求的工具。1909年,俄國力學(xué)家科洛索夫(G.V.Kolosov)首次運用復(fù)應(yīng)力函數(shù)法解決了二維彈性靜力學(xué)問題[1],從此打開了用復(fù)變函數(shù)方法研究彈性力學(xué)的大門。隨后他的學(xué)生穆斯海利什維利(Muskhelishvili)在1933年出版的專著《數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的幾個基本問題》[2]中,全面系統(tǒng)闡述了平面彈性理論中的復(fù)變函數(shù)方法,使得一般的平面問題都可以利用復(fù)變函數(shù)方法求解,并解決了許多復(fù)雜的實際問題。1957年,歐文(G.R.Irwin)提出了能量釋放率,標(biāo)志著線彈性斷裂力學(xué)的建立。復(fù)變方法很自然地被應(yīng)用到了斷裂力學(xué)領(lǐng)域,發(fā)揮了其不可替代的作用。列赫尼茨基(Lekhnitskii)方法是解決各向異性材料平面彈性理論問題的有效方法之一,專著《各向異性板》[3]給出了許多重要問題的有效解。

Stroh方法形式簡單,使用方便,是求解各向異性彈性體二維變形問題的有效工具,其推廣形式在求解混合邊值問題、熱電材料、壓電材料、三維各向異性彈性體、多自由度系統(tǒng)振動等方面應(yīng)用廣泛。隨后Stroh[4-5]又發(fā)現(xiàn)六維本征理論,得到的應(yīng)力和位移的表達(dá)式近乎一致。之后又由Barnett和Lothe[6]、Chadwick和Smith[7]、Ting[8]將這一公式進一步完善.

準(zhǔn)晶體是1984年發(fā)現(xiàn)的一種無平移周期性但有位置序的介于晶體和非晶體之間的固體[9]。準(zhǔn)晶材料具有獨特的物理結(jié)構(gòu)和優(yōu)越的力學(xué)性能。由于準(zhǔn)晶中相位子場的存在,導(dǎo)致準(zhǔn)晶材料力學(xué)性能的研究比傳統(tǒng)晶體復(fù)雜。近年來,學(xué)者對于準(zhǔn)晶體的力學(xué)性能和電學(xué)性能展開了一系列研究,將經(jīng)典的Muskhelishvili方法、Lekhnitskii方法、Stroh方法運用到準(zhǔn)晶的彈性及缺陷問題(例如孔洞、位錯、裂紋等)的研究中。Ding等[10-11]建立了準(zhǔn)晶線性基本彈性理論。范天佑[12]通過引入復(fù)變量或廣義復(fù)變量,研究了若干準(zhǔn)晶斷裂力學(xué)問題。王旭等[13-14]利用復(fù)變函數(shù)方法解決了二維十次準(zhǔn)晶體中半無限裂紋和位錯的相互作用以及任意形狀夾雜的Eshelby問題。劉官廳等[15]用復(fù)變函數(shù)法推導(dǎo)了彈性場的控制方程及其通解,系統(tǒng)地研究了一維準(zhǔn)晶體中所有點群的平面彈性理論。李聯(lián)和等[16-17]提出了解決點群10 mm準(zhǔn)晶體平面彈性和位錯問題的一般復(fù)變函數(shù)方法,并獲得了準(zhǔn)晶位錯問題位移的解析解。高陽等[18-19]運用Stroh公式求解了一維準(zhǔn)晶體中含橢圓孔和線性夾雜問題。皮建東[20]推導(dǎo)了三方準(zhǔn)晶系的一般方程,并將復(fù)變方法與實際問題相結(jié)合,獲得一定邊值條件下缺陷問題的一般解。郭俊宏等[21]構(gòu)造保角映射,解決了一維六方準(zhǔn)晶體中含雙裂紋的橢圓孔口反平面剪切問題。Enrico等[22]利用Stroh方法研究了二維十次對稱準(zhǔn)晶中的直線裂紋問題。李翔宇等[23]利用復(fù)變函數(shù)方法引入了兩個位移勢函數(shù),得出便于求解關(guān)于裂紋、位錯和非均勻性的邊值問題的通用解。于靜等[24]嚴(yán)格推導(dǎo)了一維準(zhǔn)晶壓電各晶系的控制方程,利用復(fù)變方法和算子方法給出控制方程的一般解。周彥斌等[25]考慮了含螺型位錯一維六方準(zhǔn)晶壓電材料的斷裂力學(xué)問題。采用Stroh公式,樊世旺等[26]研究了含正三角形孔邊裂紋一維六方準(zhǔn)晶壓電材料彈性場。崔曉微等[27]研究了在反平面載荷作用下含螺型位錯一維六方準(zhǔn)晶壓電楔形體的斷裂問題。楊娟等[28]運用復(fù)變函數(shù)方法獲得了含圓孔邊周期裂紋一維六方準(zhǔn)晶壓電材料彈性場的解析表達(dá)式。高媛媛等[29]求解了反平面剪切作用下一維六方準(zhǔn)晶壓電材料中三角形孔邊裂紋快速傳播的問題。白巧梅等[30]利用復(fù)變函數(shù)方法得到了一維六方準(zhǔn)晶壓電體裂紋尖端的應(yīng)力分布和場強度因子解析表達(dá)式。

為更好地說明復(fù)變方法在準(zhǔn)晶斷裂力學(xué)中的廣泛應(yīng)用,本文研究含螺型位錯的立方準(zhǔn)晶壓電材料的斷裂力學(xué)問題。

2 含螺型位錯的立方準(zhǔn)晶壓電材料的斷裂問題

立方準(zhǔn)晶壓電材料反平面問題的本構(gòu)方程為[9]

(1)

其中:σi j和εi j分別表示聲子場的應(yīng)力和應(yīng)變;Hi j和ωi j分別表示相位子場的應(yīng)力和應(yīng)變;Di表示電位移;Ei表示電場;C44為聲子場彈性系數(shù);K44為相位子場彈性系數(shù);R3為聲子場與相位子場耦合系數(shù);e14和d123為壓電常數(shù),λ11為介電常數(shù)。

平衡方程為(不考慮體力情況)

σi3,i=0,Hi3,i=0,Di,i=0 (i=1,2)。

(2)

幾何方程為

(3)

其中:uz表示聲子場位移;wz表示相位子場位移;Φ表示電勢。

由方程(1)(2)(3)可以獲得位移和電勢的控制方程

(4)

這樣,立方準(zhǔn)晶的反平面彈性問題就歸結(jié)為在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下求解偏微分方程組(4)。把方程組(4)改寫為矩陣方程[24]

AU=0,

(5)

其中U=(uz,wz,Φ)T,A是微分算子矩陣,

(6)

由方程(6)可知,A的行列式為

(7)

下面引入位移函數(shù)F,滿足方程

(8)

根據(jù)算子理論,方程(5)的一般解可表示為

uz=Ai1F,wz=Ai2F,Φ=Ai3F(i=1,2,3)。

(9)

取i=2,由方程(6)可知,A的代數(shù)余子式為

(10)

把方程(10)代入方程(9)得

(11)

(12)

(13)

假設(shè)位移函數(shù)F(x,y)的形式為F(x,μy),則μ必須滿足特征方程[31]

aμ6+bμ4+bμ2+a=0。

(14)

方程(14)有6個純虛數(shù)根,

根據(jù)解析函數(shù)的性質(zhì)和方程(8),可以獲得位移函數(shù)F的復(fù)表示為

(15)

其中Re表示實部,Fk(zk)為含參數(shù)zk=x+μky(k=1,2,3)的三個任意解析函數(shù)。結(jié)合方程(1)(3)(11)(12)(13)可知

(16)

假設(shè)立方準(zhǔn)晶壓電材料含螺型位錯的Burgers矢量為(b1,b2,d),沿位錯線方向均勻分布著載荷(p1,p2,q),其中b1是聲子場位移跳躍值,b2是相位子場位移跳躍值,d為電勢跳躍值,p1、p2為線力,q為線電荷。

根據(jù)位錯的邊界條件有

(17)

(18)

由方程(16)和(18),可以給出含螺型位錯的立方準(zhǔn)晶壓電材料反平面問題的應(yīng)力和電場的解析解。

綜上所述,本文簡要回顧了準(zhǔn)晶材料斷裂力學(xué)復(fù)變函數(shù)方法的發(fā)展歷程,致力于促進斷裂力學(xué)復(fù)變方法的發(fā)展。運用復(fù)變函數(shù)方法,考慮了含螺型位錯立方準(zhǔn)晶壓電材料斷裂力學(xué)問題,獲得了聲子場、相位子場應(yīng)力、位移和電場的解析表達(dá)式,再一次說明了復(fù)變函數(shù)方法在準(zhǔn)晶材料斷裂力學(xué)研究中應(yīng)用的廣泛性。