自適應(yīng)模糊反演算法的雙關(guān)節(jié)機械手控制*

崔雅博， 羅清元

(1. 開封大學(xué) 信息工程學(xué)院， 河南 開封 475004； 2. 河南省水文水資源局 站網(wǎng)監(jiān)測處， 鄭州 450031)

現(xiàn)代控制理論的不斷進步及控制方法多樣化使得多關(guān)節(jié)機械手廣泛應(yīng)用于國民經(jīng)濟的各個領(lǐng)域，如生產(chǎn)線的裝配機械臂、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的水果采摘機械手和智能機器人手臂等，在惡劣的工業(yè)生產(chǎn)環(huán)境中，多關(guān)節(jié)機械手已經(jīng)取代人工操作，成為工業(yè)生產(chǎn)中必不可少的組成部分[1-3].由于多關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)存在各種不確定性和各關(guān)節(jié)間的非線性耦合，使得傳統(tǒng)基于精確數(shù)學(xué)模型而設(shè)計的機械手控制器應(yīng)用受限[4-5].

目前，國內(nèi)外應(yīng)用于不確定系統(tǒng)較為先進的控制策略主要有自適應(yīng)控制、魯棒控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和迭代學(xué)習(xí)控制等.唐慶順等[6]設(shè)計了一種自適應(yīng)的二階終端滑?？刂破?，通過實時修正控制參數(shù)來適應(yīng)受控對象和外部干擾動態(tài)改變，使系統(tǒng)始終保持在最優(yōu)或次優(yōu)狀態(tài).但該方法對于含非參數(shù)不確定性因素的系統(tǒng)難以保證穩(wěn)定性.劉益標(biāo)等[7]引入了徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法跟蹤雙關(guān)節(jié)機械臂的運動軌跡，表現(xiàn)出了非線性逼近映射特性，對于處理控制系統(tǒng)中各種不確定性和非線性問題具有顯著的優(yōu)勢.但是該方法對系統(tǒng)模型的精度要求較高，在實際應(yīng)用中存在一定的局限性.考慮到模糊控制系統(tǒng)不依賴于系統(tǒng)模型的精確度，且能夠有效抑制控制系統(tǒng)抖振特性，提出一種基于自適應(yīng)模糊反演算法的雙關(guān)節(jié)機械手控制系統(tǒng).首先將復(fù)雜系統(tǒng)分解成若干簡單系統(tǒng)，然后通過在虛擬控制中引入模糊系統(tǒng)，在不需要建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的情況下，實現(xiàn)了對雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)自適應(yīng)模糊反演控制，不僅保證了系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性，還有效提升了動態(tài)跟蹤精度.

1 反演控制及問題描述

1.1 反演控制算法

反演控制算法通過引入靜態(tài)補償，將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解為若干低階次的簡單子系統(tǒng)，然后分別對每個子系統(tǒng)設(shè)計相應(yīng)的控制律，再組合子系統(tǒng)控制律完成對整個系統(tǒng)的設(shè)計[8-9].自適應(yīng)反演控制算法已被用于解決各種高低速飛行器和無人機系統(tǒng)的姿態(tài)控制，解決復(fù)雜系統(tǒng)中的各種不確定性和非線性問題.Vaidyanathan等[10]將自適應(yīng)反演控制用于處理復(fù)雜的混沌動力學(xué)系統(tǒng)，獲得了表現(xiàn)出色的控制器.此外，反演控制算法還被普遍用于對輸入量化不確定非線性系統(tǒng)、未知時滯不確定非線性系統(tǒng)、未知負載及外部干擾懸浮系統(tǒng)和未知結(jié)構(gòu)參數(shù)及驅(qū)動故障系統(tǒng)，通過對反演控制算法中間虛擬控制量的設(shè)計，可衍生出具有不同特性的反演控制算法.如采用微分阻尼虛擬控制量的反演控制可有效提高系統(tǒng)的動態(tài)性能，而采用切換函數(shù)虛擬控制量的反演控制則具有與滑?？刂扑惴ㄏ嗨频膬?yōu)點[11-12].這些研究成果均表明反演算法對于不確定非線性系統(tǒng)控制具有非常理想的可行性及高效性.

1.2 問題描述

雙關(guān)節(jié)機械手在精確數(shù)學(xué)建模的過程中存在諸多不確定性：1)參數(shù)不確定性，包括各個結(jié)構(gòu)部件質(zhì)量和尺寸等物理參數(shù)的未知或部分已知；2)非參數(shù)不確定性，包括高頻或低頻未建模動態(tài)等；3)由工作環(huán)境引入的干擾、驅(qū)動器飽和、采樣時滯及關(guān)節(jié)耦合等問題.這些諸多不確定性或非線性因素都會導(dǎo)致機械手控制系統(tǒng)發(fā)生質(zhì)的改變，嚴(yán)重時甚至可能造成控制系統(tǒng)喪失穩(wěn)定性.在虛擬控制中引入模糊系統(tǒng)，可演化為無需精確數(shù)學(xué)模型的自適應(yīng)模糊反演控制，能夠有效提高上述雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)的控制精度.

2 雙關(guān)節(jié)機械手動力學(xué)建模

在建模過程中對某些不確定性因素進行了合理的忽略，以達到簡化機器人數(shù)學(xué)模型的目的.雙關(guān)節(jié)剛性機械手結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示.

圖1 雙關(guān)節(jié)機械手結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structural sketch of two-joint manipulator

圖1中，m1和m2為機械手兩個關(guān)節(jié)的質(zhì)量；l1和l2為兩個關(guān)節(jié)的長度；θ1和θ2為這兩個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角度；g為重力加速度.動態(tài)性能可由二階非線性微分方程描述為

M(x1)x3+C(x1，x2)x2+G(x1)+F(x2)+d=τ

(1)

式中：x1=[θ1，θ2]為機器人的關(guān)節(jié)角位移量；x2和x3分別為機械手的角速度和角加速度；M(x1)為雙關(guān)節(jié)機械手的慣性矩陣；C(x1，x2)為哥氏力；G(x1)為重力項；F(x2)為摩擦力矩；τ為控制力矩；d為外加擾動[13].一般來說，需要將雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)參數(shù)假設(shè)為未知但有界的參數(shù)，并且該系統(tǒng)還應(yīng)具有以下性質(zhì)：1)慣性矩陣M(x1)為正定對稱矩陣，且M(x1)有界；2)慣性矩陣

τ=[τ1，τ2]T.

3 反演控制器設(shè)計

反演控制算法通過逐步遞推，利用后一個子系統(tǒng)來虛擬控制前一個子系統(tǒng)，最終使整個系統(tǒng)趨于正定穩(wěn)定，特別適合于設(shè)計不確定非線性系統(tǒng)的控制器.通過與李雅普諾夫型自適應(yīng)模糊規(guī)律的結(jié)合運用，可使整個被控系統(tǒng)獲得所需的動靜態(tài)性能指標(biāo)[14].針對本文的雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)，利用反演控制的基本思想將其分解為兩個子系統(tǒng)，再分別為每一個子系統(tǒng)設(shè)計李雅普諾夫函數(shù)和中間虛擬控制項，最后來完成整個系統(tǒng)控制律的設(shè)計.

3.1 自適應(yīng)模糊反演控制律的設(shè)計

設(shè)x0為雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)理想的輸出轉(zhuǎn)角，且x0具有二階導(dǎo)數(shù)，則系統(tǒng)的跟蹤誤差可定義為e1=x1-x0.同理，定義速度誤差e2=x2-α1，若選擇合適的虛擬控制量α1讓e2趨于0，則有

(4)

根據(jù)式(4)，中間虛擬控制項可表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

考慮到式(9)中的f包含雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)的建模信息，因此，需要采用模糊系統(tǒng)逼近f以實現(xiàn)無需模型信息的反演控制.

3.2 自適應(yīng)模糊控制律的設(shè)計

若定義φ為用于逼近非線性函數(shù)f的模糊系統(tǒng)，則可運用單值模糊化或重心平均反模糊化等方法對其進行模糊處理[17].設(shè)模糊系統(tǒng)由N個模糊規(guī)則組成，第i個規(guī)則表示為

(10)

關(guān)于f的模糊逼近，利用分別逼近f(1)和f(2)的形式，則模糊系統(tǒng)可設(shè)計為

(11)

(12)

(13)

式中，γ和κ為控制系數(shù)，且γ>0.

4 仿真實驗與分析

在雙關(guān)節(jié)機械手動力學(xué)建?；A(chǔ)上，針對動力學(xué)模型設(shè)計了反演控制器，通過對機械手的反演控制使其能夠在工業(yè)生產(chǎn)現(xiàn)場操作中實現(xiàn)精確的位移軌跡跟蹤.為了驗證設(shè)計的反演自適應(yīng)模糊控制器的性能，對雙關(guān)節(jié)機械手連桿1和連桿2的位置跟蹤軌跡及跟蹤誤差進行仿真實驗.

雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)的參數(shù)選?。簃1=m2=1.0，l1=l2=0.5；雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)定為x(0)=[1，0]T，系統(tǒng)輸出的理想軌跡為y=sin(2πt)，采用高斯函數(shù)作為控制器的隸屬度函數(shù)，數(shù)學(xué)定義可表示為

(14)

式中：均值cj分別選為-1.5、0和1.5；方差σj取為0.5.獲得的控制器隸屬度函數(shù)如圖2所示.

圖2 模糊系統(tǒng)隸屬度函數(shù)Fig.2 Membership function of fuzzy system

為了對設(shè)計的自適應(yīng)模糊反演控制器進行模擬仿真，將控制器的控制系數(shù)分別設(shè)為：λ1=8，λ2=12，γ=1.5，κ=2.5和λ1=2，λ2=2.5，γ=1.5，κ=2.5.為了更好地與實際情況進行匹配，同時也能對控制系統(tǒng)的有效性進行驗證，系統(tǒng)設(shè)定外部干擾d=[0.25sint，0.25cost]為隨機干擾量；采樣周期取Ts=0.005 s.利用MATLAB Simulink模塊仿真得到雙關(guān)節(jié)機械手連桿1和連桿2的位置跟蹤軌跡及跟蹤誤差的仿真結(jié)果如圖3～4所示.

由圖3～4的仿真結(jié)果可知，設(shè)計的控制器能夠保證雙關(guān)節(jié)機械手的兩個連桿都具有較高的跟蹤精度，其跟蹤誤差均小于0.87%，完全能夠滿足該控制器的設(shè)計性能要求.在連桿初始運動階段，存在較大的跟蹤誤差，但當(dāng)機械手處于穩(wěn)定運動階段后其連桿的運動軌跡與預(yù)期理想軌跡基本重合，從而很好地驗證了自適應(yīng)模糊反演算法對于雙關(guān)節(jié)機械手控制的有效性和可行性.此外，通過對連桿1和連桿2跟蹤誤差的對比分析可知，連桿2在穩(wěn)定狀態(tài)的最大跟蹤誤差要小于連桿1的跟蹤誤差.

圖3 連桿1位置跟蹤軌跡及跟蹤誤差Fig.3 Location tracking trajectory and tracking error of connecting rod 1

圖4 連桿2位置跟蹤軌跡及跟蹤誤差Fig.4 Location tracking trajectory and tracking error of connecting rod 2

綜上所述，將設(shè)計的自適應(yīng)模糊反演算法用于雙關(guān)節(jié)機械手的跟蹤控制，無需對被控對象建立精確數(shù)學(xué)模型，可以消除非線性系統(tǒng)中不確定性因素的影響，最終實現(xiàn)對機械手的高精度跟蹤控制.

5 結(jié) 論

由于雙關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)中的不確定性和非線性，使其精確數(shù)學(xué)模型難以獲得.本文提出了自適應(yīng)模糊反演控制算法，設(shè)計了高精度反演控制器，并對兩個關(guān)節(jié)的動態(tài)軌跡進行跟蹤，通過Simulink對建立的模型和控制算法進行了仿真分析.結(jié)果表明：提出的自適應(yīng)模糊反演控制算法能夠在很大程度上提高雙關(guān)節(jié)機械手位置軌跡跟蹤的暫態(tài)性能，且其對應(yīng)的跟蹤誤差均小于0.87%，保證了位置跟蹤控制過程的穩(wěn)定性及準(zhǔn)確性.自適應(yīng)模糊反演控制能夠保證控制精度，同時簡化了建模過程以及控制參數(shù)選擇問題，從而使本文提出的自適應(yīng)模糊反演控制應(yīng)用領(lǐng)域更加廣闊.