鱷魚上顎的形貌曲面擬合及其偏差分析*

周祖鵬， 裴雨蒙， Josep Fortuny， Jordi Marcé Nogué，3， 蔣開云， 鐘雪波

(1. 桂林電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 廣西 桂林 541004； 2. 巴塞羅那自治大學(xué) 克魯薩芳古生物研究所， 巴塞羅那 75005； 3. 漢堡大學(xué) 自然歷史中心， 漢堡 20146)

隨著無人機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，在無人機(jī)上增加抓取裝置以實現(xiàn)抓取和運輸功能已成為行業(yè)趨勢，其抓取末端有多種夾取方式，但是數(shù)量的增加并沒有完全解決抓取穩(wěn)定性與可靠性等問題.穩(wěn)定牢固地抓取物體除了與控制機(jī)構(gòu)相關(guān)，也與其結(jié)構(gòu)密不可分，合理的抓取裝置結(jié)構(gòu)有助于減小空氣阻力，提升結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與剛度.

國內(nèi)外學(xué)者在此領(lǐng)域做了很多研究，如Doyle等[1]仿鳥類爪子進(jìn)行設(shè)計抓取裝置；Mellinger等[2]仿人類手指設(shè)計抓取裝置；權(quán)龍哲等[3]仿蜻蜓設(shè)計蜓爪式末端，上述文獻(xiàn)均是結(jié)合仿生學(xué)原理，采用工程技術(shù)進(jìn)行仿生機(jī)械抓取裝置的設(shè)計.有一些學(xué)者通過研究生物局部的非規(guī)則曲面形貌對結(jié)構(gòu)特性的影響進(jìn)行仿生設(shè)計，如張銳等[4]通過研究鴕鳥足底非規(guī)則曲面形貌設(shè)計仿生火星巡視器車輪；張伏等[5]通過研究山羊底部非規(guī)則曲面形貌設(shè)計仿生農(nóng)業(yè)四足行走機(jī)器人；周宏根等[6]通過研究河鲀背部形貌曲面設(shè)計仿生減阻構(gòu)件.

鱷魚是現(xiàn)存與恐龍同時代的一種爬行動物，頭部細(xì)長且扁平，具有強(qiáng)大的咬合力.它可以在水中潛伏慢慢靠近獵物而不被發(fā)現(xiàn)，捕獵時頭骨可多次承受巨大的反作用力，這些均與其頭部的特殊結(jié)構(gòu)有關(guān)，同時上顎曲面形貌的不同對其結(jié)構(gòu)本身的性能也具有一定的影響.因此，研究鱷魚上顎曲面形貌對研究鱷魚吻部的力學(xué)特性及其仿生設(shè)計有一定的意義.由于鱷魚上顎的曲面較為復(fù)雜，直接應(yīng)用于工程仿生難度較大，因此需將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再將其數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于仿生設(shè)計.

1 鱷魚上顎模型重構(gòu)

生物體結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，重構(gòu)模型較困難，不能直接畫出，因此需要對模型進(jìn)行掃描得到點云數(shù)據(jù)，再利用逆向工程技術(shù)進(jìn)行三維模型重構(gòu).離散點云數(shù)據(jù)三維重建方法有B-Spline(貝塞爾)、Bezier(B樣條)、NURBS(有理非均勻有理B樣條)擬合技術(shù)等.基于NURBS技術(shù)對處理變化幅度較大的數(shù)據(jù)效果較好，誤差較小[7].它與描述自由型曲線曲面的B樣條方法統(tǒng)一，但又能精確表示曲線曲面的數(shù)學(xué)方法，其控制參數(shù)較少又能控制曲線連續(xù)、平滑，可用于復(fù)雜曲線曲面的加工[8].NURBS曲面比B樣條曲面靈活性強(qiáng)、效率高，能精確地解析自由曲面，同時具有強(qiáng)大的局部調(diào)控性與優(yōu)良的光滑曲面擬合能力，因此被廣泛應(yīng)用，本模型基于NURBS曲面進(jìn)行三維重構(gòu).

1.1 模型獲取

菲律賓鱷頭骨較為珍貴，不能對實物進(jìn)行分析實驗.本次研究對象的斷層掃描數(shù)據(jù)由巴塞羅那自治大學(xué)克魯薩芳古生物研究所博物館的Josep教授與德國漢堡大學(xué)的Jordi教授提供.因鱷魚上顎需要托盤承載進(jìn)行掃描，所以掃描的三維點云數(shù)據(jù)中除了研究對象還會出現(xiàn)很多噪聲點需要進(jìn)一步手動分離，同時鱷魚頭骨的上顎較為復(fù)雜，掃描后的點云數(shù)據(jù)會有重疊、缺失等情況，因此需要使用逆向工程軟件Geomagic Studio對模型進(jìn)行修復(fù).

1.2 模型重構(gòu)

本文選用Avizo軟件對斷層掃描得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行重建.通過觀察Ortho slice(矯正片)、Inosurface(等值面)、Orthoviews(正交視圖)3個視圖中的圖像數(shù)據(jù)，分離研究對象與雜質(zhì)，并刪去由于掃描精度不高造成的重疊部分以及承載鱷魚頭骨上顎的載物托盤，減輕后期修復(fù)工作，避免影響分析.通過調(diào)整閾值，使用最佳閾值使呈現(xiàn)的上顎三視圖更加清晰平滑，最后生成三維立體模型.

2 鱷魚上顎模型修復(fù)

使用逆向工程技術(shù)可以提高模型的質(zhì)量，現(xiàn)在應(yīng)用比較成熟的軟件有Imageware，Geomagic Studio和Rapidform等，Geomagic Studio對模型重構(gòu)可以簡化工作流程，使曲面重構(gòu)的難度降低、偏差較小，同時還具有高效率、質(zhì)量高等特點[9-10]，在使用Geomagic Studio對模型進(jìn)行修復(fù)時，要針對其個別問題以恰當(dāng)?shù)男扪a(bǔ)方法進(jìn)行處理，才可以生成最優(yōu)化的曲面與最佳擬合的曲面外形[11].

2.1 原始模型修復(fù)

修復(fù)過程主要分為兩部分，由點轉(zhuǎn)化為面，再由面轉(zhuǎn)化為體.由于原模型數(shù)據(jù)量較大，首先進(jìn)行適當(dāng)簡化，減小封裝后三角形的數(shù)量；接著對簡化后的模型進(jìn)行降噪處理，再進(jìn)行局部手動補(bǔ)償，使其平滑無雜質(zhì)；通過不斷手動修復(fù)與網(wǎng)格醫(yī)生輔助檢測，直至各種缺陷均為0，最后進(jìn)行精確曲面、自動曲面化、擬合曲面等操作.

由于鱷魚頭骨較復(fù)雜、數(shù)據(jù)較大，直接使用網(wǎng)格醫(yī)生自動修復(fù)會造成電腦運算量過大且修復(fù)效果不好，因此先將模型整體簡化70%，再進(jìn)行修復(fù).修復(fù)過程中通過移動點來補(bǔ)償掃描儀的錯誤，使其點的排列更加均勻，從而實現(xiàn)降噪.由于內(nèi)部雜質(zhì)較多，直接進(jìn)行網(wǎng)格醫(yī)生修復(fù)會造成模型的缺失，因此進(jìn)行手動補(bǔ)償.修復(fù)前的整體與局部圖如圖1所示，原始三角形數(shù)為7 048 981，計算機(jī)處理數(shù)據(jù)難度較大，因此在不改變曲面形貌的前提下降低數(shù)據(jù)數(shù)量，減少計算機(jī)運算時間.

圖1 修復(fù)前整體圖與局部圖Fig.1 Overall and local images before repair

通過不斷手動修復(fù)消除雜質(zhì)，使內(nèi)部光滑，再調(diào)節(jié)多邊形網(wǎng)格與單個多邊形之間的角度，減少誤差和人為噪聲，最后再使用網(wǎng)格醫(yī)生功能對手動修復(fù)后的模型進(jìn)行檢查，使非流形邊、自相交、高度折射邊等都減為0，達(dá)到零缺陷.修復(fù)后的模型整體圖與局部圖如圖2所示.

圖2 修復(fù)后整體圖與局部圖Fig.2 Overall and local images after repair

2.2 特征模型修復(fù)

由于原始模型有較多孔洞，不利于實際分析，現(xiàn)將修復(fù)后的鱷魚頭骨模型保留其眶前骨、鼻骨、縱向支撐脊等結(jié)構(gòu)，填補(bǔ)孔洞生成特征模型.由于Geomagic Studio中的標(biāo)準(zhǔn)偏差即是擬合殘差計算中的誤差，因此將特征模型與修復(fù)后的原始模型進(jìn)行偏差分析[12].通過分析計算結(jié)果可以得出，偏差主要在填補(bǔ)的孔洞部分，其余位置均未發(fā)生較大偏差，其特征模型的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.016 4 mm，平均偏差為-0.006 4/0.000 7 mm，3D偏差的最大范圍是-0.118 4/3.227 1 mm，滿足工程設(shè)計上的允許誤差范圍±5%[13]，因此其特征模型可用于后續(xù)分析.

3 鱷魚上顎曲面模型的建立

為探究其曲面形貌對其結(jié)構(gòu)性能的影響，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于仿生設(shè)計，因此保留特征模型的上表面進(jìn)行特征參數(shù)提取及分析.但其曲面為非規(guī)則曲面，直接轉(zhuǎn)換為三維數(shù)學(xué)模型階數(shù)較高且擬合不夠精確，因此需對提取的曲面進(jìn)行劃分.

3.1 曲面模型提取

根據(jù)鱷魚抓取特點選擇其眼眶前骨到鼻部區(qū)域進(jìn)行曲面形貌分析，首先運用Geomagic Studio軟件中的裁剪功能提取特征模型的上表面，觀察其表面的曲面形貌，可將其曲面劃分為三部分，如圖3所示.圖3b中鼻部前端呈凸起狀，類似于一個橢球面，其曲率變化明顯，將此部分曲面命名為第Ⅰ曲面；中間部分曲面呈凹陷狀，凹陷曲率較小趨于平緩，將此部分曲面命名為第Ⅱ曲面，如圖3c所示；圖3d中這部分呈上升的緩曲面命名為第Ⅲ曲面.

圖3 鱷魚上顎表面圖Fig.3 Upper jaw surface of crocodile

3.2 曲面點云處理

將劃分的三個曲面模型轉(zhuǎn)化為點云模型，由于其點云數(shù)據(jù)較多，影響曲面擬合的運算速度，因此需要對點云數(shù)據(jù)進(jìn)行過濾處理.將點云導(dǎo)入Imageware進(jìn)行過濾處理，有助于創(chuàng)建較高精度的曲面[14].本文采用距離采樣方法，對點云數(shù)據(jù)進(jìn)行過濾處理，操作前3個典型曲面的點數(shù)量分別為3 151、4 357、5 653，將距離公差設(shè)置為1.5，過濾后點數(shù)量分別為901、1 229、1 584，經(jīng)過濾后點數(shù)據(jù)大量減少，但并未改變其曲面的曲率與形貌.

4 鱷魚上顎數(shù)學(xué)模型的建立

鱷魚上顎表面的3個曲面從外觀上看不符合某個固定的數(shù)學(xué)模型，因此需要采用多項式擬合的方法對其分別進(jìn)行擬合.MATLAB 2017B工具箱中的曲面擬合功能可以對三個曲面的點云數(shù)據(jù)分別進(jìn)行多項式擬合.

4.1 第Ⅰ曲面數(shù)學(xué)模型

將x、y設(shè)置為自變量，z設(shè)置為因變量，選擇多項式方法擬合該曲面特征點云，通過調(diào)整x、y的次冪數(shù)，觀察擬合后的曲面與決定系數(shù)R2確定擬合的最終方程.由于建立的數(shù)學(xué)模型后續(xù)應(yīng)用于仿生設(shè)計，所以擬合曲面時不僅精度要達(dá)到要求，還要考慮其復(fù)雜程度；既要保留原有形貌特征，又要使其加工成本降低，符合經(jīng)濟(jì)效益.綜合考慮兩方面因素，x、y不同指數(shù)的擬合結(jié)果如表1所示.

表1 不同指數(shù)自變量曲面Ⅰ的擬合結(jié)果Tab.1 Fitting results of independent surface Ⅰ with different indexes

通過觀察分析表1可以發(fā)現(xiàn)，隨著x、y指數(shù)的不斷增加，決定系數(shù)R2的值越來越大，這說明隨著x、y指數(shù)的增加，其曲面擬合的精度逐漸變高，更加接近實際的曲面形貌.當(dāng)x、y的指數(shù)由x3y3增加到x3y4時，殘差平方和SSE由6 005減小到2 294，均方差RMSE由1.383減小到0.855 1，決定系數(shù)由0.940 8增加到0.977 4.繼續(xù)增加次冪數(shù)，結(jié)果參數(shù)變化會更小，但曲面會更加復(fù)雜.綜上所述，選取自變量x的指數(shù)為3，自變量y的指數(shù)為4，殘差平方和SSE=2 294，均方差RMSE=0.855 1，決定系數(shù)R2=0.977 4，因此可得曲面Ⅰ的擬合方程為z1=f(x，y)=-77.22-5.008x-1.557y-0.080 14x2-0.078 2xy-0.067 06y2-0.000 399x3-0.001 29x2y-0.001 752xy2-0.000 680 3y3-6.859×10-6x3y-1.138×105x2y2-7.763×10-6xy3-3.058×10-5y4，鱷魚上顎表面第Ⅰ曲面MATLAB擬合曲面如圖4所示.

4.2 第Ⅱ曲面數(shù)學(xué)模型

以同種方法對鱷魚上顎表面第Ⅱ曲面點云進(jìn)行曲面擬合，同樣考慮精度與實際加工難易程度后，x、y不同指數(shù)的擬合結(jié)果如表2所示.

通過分析表2可知，隨著x、y指數(shù)的不斷增加，當(dāng)x的指數(shù)選取3，y的指數(shù)選取4時，殘差平方和SSE=1 001，均方差RMSE=0.480 2，決定系數(shù)R2=0.955 4，因此曲面Ⅱ的擬合方程為z2=f(x，y)=32.35+0.083 8x-1.612y-0.002 963x2-0.040 58xy-0.082 27y2-1.71×10-5x3-0.000 326 4x2y-0.001 227xy2-0.000 339y3-8.416×10-7x3y-4.155×10-6x2y2-2.111×10-6xy3-1.055×10-5y4，鱷魚上顎表面第Ⅱ曲面MATLAB擬合曲面如圖5所示.

圖4 上顎表面第Ⅰ部分?jǐn)M合曲面圖Fig.4 Fitted surface of part Ⅰ of upper jaw surface

表2 不同指數(shù)自變量曲面Ⅱ的擬合結(jié)果Tab.2 Fitting results of independent surface Ⅱ with different indexes

圖5 上顎表面第Ⅱ部分?jǐn)M合曲面圖Fig.5 Fitted surface of part Ⅱ of upper jaw surface

4.3 第Ⅲ曲面數(shù)學(xué)模型

以同種方法在MATLAB軟件中對菲律賓鱷魚上顎表面第Ⅲ曲面點云進(jìn)行曲面擬合，同樣考慮精度與實際加工難易程度后，x、y不同指數(shù)的擬合結(jié)果如表3所示.

表3 不同指數(shù)自變量曲面Ⅲ的擬合結(jié)果Tab.3 Fitting results of independent surface Ⅲ with different indexes

通過分析表3可知，隨著x、y指數(shù)的不斷增加，當(dāng)自變量x、y的指數(shù)均選取3時，殘差平方和SSE=2 872，均方差RMSE=0.713 4，決定系數(shù)R2=0.995 4，因此曲面Ⅲ的擬合方程為z3=f(x，y)=39.18+1.058x-0.462 9y-0.007 816x2-0.004 383xy-0.000 625 4y2+1.341×10-5x3-1.095×105x2y+2.756×10-5xy2+2.422×10-5y3，鱷魚上顎表面第Ⅲ曲面MATLAB擬合曲面如圖6所示.

圖6 上顎表面第Ⅲ部分?jǐn)M合曲面圖Fig.6 Fitted surface of part Ⅲ of upper jaw surface

5 曲面合成

提取擬合后3個數(shù)學(xué)模型的數(shù)據(jù)，將其在Imageware中濾后合成，再將合成的點云數(shù)據(jù)在Geomagic Studio軟件中進(jìn)行封裝，經(jīng)平滑、降噪等處理后，得到的合并曲面如圖7所示.將擬合后的模型與原模型進(jìn)行偏差對比分析，結(jié)果表明：數(shù)字曲面模型的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.581 3 mm，平均偏差為-0.478 4/0.435 4 mm，擬合后的數(shù)字曲面模型較原生物曲面形貌相近，滿足工程設(shè)計上的允許誤差，可用于后續(xù)分析及其仿生設(shè)計.

圖7 數(shù)學(xué)模型合并曲面圖Fig.7 Merged surface by mathematical model

6 結(jié) 論

通過上述分析，可以得到如下結(jié)論：

1) 通過將逆向工程技術(shù)與計算機(jī)技術(shù)結(jié)合，完成了對原始模型與特征模型的重構(gòu)及修復(fù).為校驗特征較原始模型的改變，將兩個模型進(jìn)行偏差分析，結(jié)果表示，最大偏差在孔洞填補(bǔ)位置，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.016 4 mm，滿足工程設(shè)計上的允許誤差，因此特征模型可用于后續(xù)分析.

2) 運用多項式擬合的方法分別建立按照生物形貌特征劃分3個曲面的數(shù)學(xué)模型，綜合考慮擬合精度與后續(xù)仿生設(shè)計等方面因素，最終得到3個擬合后數(shù)學(xué)模型的方程表達(dá)式，且它們的決定系數(shù)R2均接近于1.

3) 將3個數(shù)學(xué)模型的數(shù)據(jù)進(jìn)行合并，得到完整的曲面模型，并將其與原生物曲面進(jìn)行偏差對比分析，其結(jié)果表明，擬合后的曲面模型較原生物曲面形貌相近，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.581 3 mm，滿足工程設(shè)計要求.