采用分離變量法的載荷位置識別技術(shù)研究

張景 張方 姜金輝

摘要： 基于分離變量法提出了一種新的識別動載荷位置及時間歷程的方法，以提高載荷定位的效率。根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)建立響應與外部載荷之間的卷積關(guān)系式并離散化;采用分離變量法將載荷位置信息從脈沖響應函數(shù)矩陣中提取出來，根據(jù)響應信息選取合適的模態(tài);利用正則化技術(shù)對載荷識別過程中的不適定問題進行求解;結(jié)合簡支梁的仿真計算和實驗測試對該載荷定位方法進行驗證。研究結(jié)果表明，基于分離變量法的載荷識別方法能夠準確地定位結(jié)構(gòu)載荷位置并識別載荷時間歷程，總體誤差較小，相關(guān)性系數(shù)較大。相對于傳統(tǒng)載荷位置識別算法，分離變量法減少矩陣求逆次數(shù)，提高了載荷定位的效率。

關(guān)鍵詞： 載荷識別; 載荷定位; 載荷重構(gòu); 分離變量法; 模態(tài)截斷法

中圖分類號： TB123; O327? ? 文獻標志碼： A? ? 文章編號： 1004-4523（2021）03-0584-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.016

引? 言

載荷識別技術(shù)是一種在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)及響應已知的情況下，反向識別結(jié)構(gòu)外部載荷的技術(shù)。

近年來，大量學者參與了載荷識別技術(shù)的研究，使得各種動載荷識別方法得到了快速發(fā)展。目前，關(guān)于動載荷識別方法的研究主要分為兩大類：頻域識別方法和時域識別方法。Bartlett 和Flannelly[1]于1979年首次將頻域識別方法應用到了直升機槳轂力的識別。Hillary和Ewins[2]于1984年建立了較為系統(tǒng)的頻域動載荷識別方法。1993年，Doyle[3]提出了一種小波模型，并利用譜分析法來識別作用于復合梁上的動載荷。頻域載荷識別方法經(jīng)過多年的研究已經(jīng)較為成熟。在頻域法中，需要利用傅里葉變換等類似的諧波變換將足夠長的時域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到頻域下，這使得頻域法的應用范圍受到數(shù)據(jù)的長度限制。頻域法對于識別頻率成分較為簡單的載荷具有很好的準確性，而對于頻率成分比較復雜的載荷，例如沖擊載荷來說并不適用，由此發(fā)展了時域載荷識別方法。Desanghere等[4]建立了時域動載荷識別方法，并首次利用模態(tài)坐標變換的方法來識別結(jié)構(gòu)的外部動載荷。結(jié)構(gòu)動載荷識別問題是一個逆問題，且在大多數(shù)情況下是病態(tài)的。針對這一情況，學者們提出了幾種正則化方法來解決動載荷識別過程中的病態(tài)性問題。Jacquelin等[5]分別研究了Tikhonov正則化方法和截斷奇異值分解法兩種方法識別板上作用載荷的有效性。高偉等[6]采用范數(shù)擬合正則化方法識別載荷，并提出一種單調(diào)性檢驗方法用于最優(yōu)正則化參數(shù)的選取?？姳s等[7]基于Green核函數(shù)方法建立動力學方程，通過混合正則化算法對不適定問題進行求解，并比較了不同正則化參數(shù)選取方法對識別結(jié)果的影響。由于載荷識別模型的建立需要依賴于測點的分布信息和載荷作用位置信息，因此，大部分研究都是在載荷作用位置已知的前提下進行的。但在實際工程中，載荷作用位置通常情況下是未知的。為了解決這一問題，Gaul和Hurlebaus[8]利用小波變換得到?jīng)_擊波到達各個傳感器的時間差，從而識別出沖擊載荷的作用位置。Alajlouni等[9]利用波在傳遞過程中存在衰減這一原理來識別板上的沖擊載荷位置。顧慧芝等[10]采用了一種新的載荷識別方法，即等效點動標定法來識別在作用位置未知情況下的動載荷。周晚林等[11]采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與有限元逆分析相結(jié)合的方法來識別載荷的作用位置以及載荷的幅值大小。嚴剛和周麗[12]將響應計算值與實際測量值的差作為最小優(yōu)化目標函數(shù)，從而將動載荷識別問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，該方法能夠識別出沖擊載荷的作用位置并且近似地重建作用載荷的時間歷程。祝德春等[13?14]建立了一種識別動載荷作用位置的方法，即最小判定系數(shù)法，該方法利用不同測點的響應在虛擬載荷作用位置處識別得到相應的當量動載荷，令其差值作為最小優(yōu)化目標函數(shù)，通過識別最小優(yōu)化參數(shù)來確定載荷作用位置。趙銀燕等[15]基于奇異值分解和模態(tài)空間理論識別了梁上多點動載荷的位置和大小。文獻[16?17]將載荷識別問題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題，采用復合形法來定位載荷，并利用梯度投影法識別載荷時間歷程。前面介紹的一些算法各有優(yōu)點和缺點。在一些位置識別的算法中，對于每一個虛擬載荷位置，都需要進行兩次矩陣求逆，當虛擬載荷作用位置較多時，要識別出真實的載荷作用位置就需要進行大量的矩陣求逆，這會消耗大量的計算時間。

本文提出一種基于分離變量法的載荷位置識別方法，該方法將載荷位置信息從脈沖響應函數(shù)矩陣中分離出來，使得整個位置識別過程中只需進行一次矩陣求逆，極大地縮短了計算時間。通過簡支梁的仿真計算和實驗測試，驗證了該載荷定位方法的準確性和實用性。

1 動載荷識別的基本理論

對于一般的線性系統(tǒng)，外激勵引起的系統(tǒng)響應等于時間區(qū)間上所有脈沖激發(fā)起的系統(tǒng)響應總和，即

式中? 表示系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)。上式稱作Duhamel積分或卷積積分。

對于一個自由度數(shù)為N的系統(tǒng)，假定載荷的作用位置為，則系統(tǒng)點的響應可由下式得到

式中? 為在點作用單位脈沖載荷，系統(tǒng)點的單位脈沖響應函數(shù)。中包含了系統(tǒng)的響應點位置信息以及系統(tǒng)的加載點位置信息。

為了重構(gòu)動載荷，通常將式（2）中的卷積積分離散化。對于初始條件為零的系統(tǒng)，設(shè)采樣間隔為，采樣點數(shù)為，時間刻度，則式（2）可以離散化為以下矩陣形式

對于一個載荷未知的系統(tǒng)，式（4）中的未知量只有載荷的加載位置以及載荷向量。當載荷的加載位置確定以后，只需要對式（4）進行求逆，就可以得到載荷的時間歷程。為了定位該載荷的加載位置，至少需要兩個測量點的響應數(shù)據(jù)。

假設(shè)已知點1和點2的響應，指定系統(tǒng)中任一點作為可能的載荷激勵點，將該點稱之為虛擬載荷位置，分別利用點1和點2的響應對式（4）進行求逆，得到兩個當量動載荷和。理論上，若此時的虛擬載荷位置恰好與真實的載荷作用位置相一致，那么求得的兩個當量動載荷應該相等。但由于響應測量過程中的誤差難以避免，因此求得的兩組當量動載荷可能存在較小的差異。此時，可以將識別動載荷位置的問題轉(zhuǎn)化為最小優(yōu)化問題，引入優(yōu)化參數(shù)表示當量動載荷和的差值，則優(yōu)化參數(shù)為位置變量的函數(shù)。當位置變量恰好為真實的載荷作用位置時，優(yōu)化參數(shù)取得最小值。因此，動載荷位置識別就轉(zhuǎn)化為尋找優(yōu)化參數(shù)的最小值所對應的位置變量。的表達式如下

通過尋找優(yōu)化參數(shù)的最小值來確定真實的載荷加載位置。在此過程中，每假定一次虛擬載荷位置，就需要進行兩次矩陣求逆。若系統(tǒng)的自由度數(shù)為N，為了確定動載荷的位置，則通常需要進行2N次矩陣求逆。由于矩陣求逆過程較為耗時，因此當N較大時，整個識別過程需要耗費大量的計算時間，這將給動載荷識別研究和實際工程應用帶來極大的不便。

2 基于分離變量法的動載荷定位

為了提高動載荷位置識別的效率，提出一種基于分離變量法的動載荷位置識別方法，該方法將位置變量從脈沖響應函數(shù)矩陣中分離出來，以減少式（4）的求逆次數(shù)。

從式（10）可以看出，動載荷的位置信息包含在向量中，而矩陣中只含有系統(tǒng)的固有參數(shù)以及測點信息，因此當測點位置確定后，矩陣就可以確定下來。由于式（10）是一個欠定的方程組，所以無法通過該方程組直接得到未知向量的唯一解。為了確定向量的唯一解，這里采用模態(tài)截斷法，通過響應分析選取對響應貢獻較大的幾階模態(tài)，此外聯(lián)合多個測點的響應數(shù)據(jù)。假設(shè)測點個數(shù)和選取的模態(tài)個數(shù)都為，可以得到以下方程組。

通過方程組（11）可以得到向量的唯一解，然后利用向量的各個分量可以得到個載荷向量

而對于真實的載荷作用位置，個載荷向量應該近似相等，因此，引入優(yōu)化參數(shù)

將載荷定位問題轉(zhuǎn)化為最小參數(shù)優(yōu)化問題。當優(yōu)化參數(shù)取得最小值時，所對應的即為真實載荷位置。

在此載荷位置識別方法中，只進行了一次矩陣求逆的步驟，這極大地縮短了識別計算時間。通常情況下，對于一個維的矩陣，在采用初等行變換法對其進行求逆的過程中，需要進行次加法運算和次乘法運算。而對維的矩陣進行求逆，需要進行次加法運算和次乘法運算。在傳統(tǒng)載荷位置識別方法的過程中需要進行2N次維矩陣的求逆，而基于分離變量法的載荷位置識別方法，只需要進行一次維矩陣的求逆。由于加法運算比乘法運算時間短，僅以乘法運算來比較兩種算法的時間，下式為兩種算法運算時間的比值

若取，則當系統(tǒng)的自由度數(shù)N和模態(tài)個數(shù)分別取不同值時，兩種算法的時間比值如表1所示。

通過以上比值可以看出，當系統(tǒng)的自由度數(shù)N較大以及選取的模態(tài)數(shù)較少時，基于分離變量法的載荷位置識別方法將極大地縮短運算時間。

在實際應用中，由于測量誤差以及模態(tài)截斷的影響，直接對式（11）求逆可能不會得到較為理想的結(jié)果，因此可以利用正則化算法來減小誤差的影響，以確保結(jié)果的準確性。此外，由于模態(tài)截斷的影響，通過此方法得到的載荷時間歷程可能并不十分精確。因此，在識別得到載荷位置之后，可以利用式（4）進行載荷時間歷程的識別。

3 仿真驗證

以兩端簡支的梁模型為例，在其上作用集中載荷，通過有限元仿真計算，分別研究了分離變量法對于簡諧載荷和沖擊載荷位置識別的有效性。其中，簡支梁的長度 m，寬 cm，高 cm，泊松比，彈性模量 GPa，密度 kg/m3。將簡支梁的有限單元模型劃分為1000個單元，共1001個節(jié)點。

3.1 簡諧載荷的識別

在距離簡支梁一端0.31 m處施加一個正弦載荷，該正弦載荷的頻率為60 Hz，幅值為100 N，如圖1所示。

距離一端 m和 m兩點為測量點，測點的響應通過仿真計算得到，并加入5%的高斯白噪聲（最大響應值的5%）。測點的響應如圖2和3所示。

為了識別簡諧載荷的作用位置，選擇截取簡支梁的前兩階模態(tài)。在識別計算的過程中，為了減小噪聲誤差及模態(tài)截斷對識別計算結(jié)果的影響，采用了Tikhonov正則化方法，并通過L曲線法來確定正則化參數(shù)的大小。為確定真實的載荷加載位置，分別假設(shè)除去兩個端點外的999個節(jié)點為虛擬載荷位置，計算相應的優(yōu)化函數(shù)值。簡支梁各個位置的優(yōu)化函數(shù)值如圖4所示，其中優(yōu)化函數(shù)在0.311 m處取得最小值。因此識別出的簡諧載荷加載位置為0.311 m，與真實載荷位置較為接近，可以認為識別結(jié)果較為準確。

在識別載荷過程中，計算得到的兩個載荷向量和如圖5所示。圖5已經(jīng)可以近似表示真實的載荷時間歷程。此外，分別利用兩個測點的響應，通過式（4）直接識別得到載荷向量，如圖6所示。

識別載荷與真實載荷之間的相對誤差及相關(guān)系數(shù)計算公式為：

式中? 和分別表示識別載荷與真實載荷，為求平均值。

4組載荷向量與真實載荷向量的相對誤差和相關(guān)系數(shù)如表2所示?？梢钥闯?組載荷向量都有較高的精度，其中，通過測點的響應識別得到的載荷向量相關(guān)系數(shù)最高，誤差最小，最為接近真實載荷，這是由于測點的響應幅值相對于測點的響應幅值較大，因此測點的響應信噪比較好。

當響應中加入10%的高斯白噪聲后，根據(jù)分離變量法識別得到的載荷加載位置為0.313 m，與真實載荷位置較為接近。另外識別得到的4組載荷向量與真實載荷向量的相對誤差和相關(guān)系數(shù)如表3所示。可以看出，當響應中的噪聲水平增加時，根據(jù)分離變量法識別得到的載荷位置以及載荷時間歷程的誤差會有一定的增大，但是與真實載荷依然較為接近。

3.2 沖擊載荷的識別

本節(jié)對識別沖擊載荷進行仿真驗證，在距離梁一端0.28 m處加載一個沖擊載荷，的真實載荷曲線如圖7所示。同樣以距離一端 m和 m兩點為測量點，測點的響應通過仿真計算得到，并加入5%的高斯白噪聲（最大響應值的5%）。

為了識別沖擊載荷的作用位置，同樣選擇截取簡支梁的前兩階模態(tài)。圖8顯示了簡支梁上各位置的優(yōu)化函數(shù)值，在圖上顯示出最小優(yōu)化函數(shù)值對應的位置為0.283 m，與真實載荷加載位置0.28 m較為接近，滿足識別精度要求。

此外，圖9和10分別顯示了由分離變量法和常規(guī)算法識別出的載荷曲線。4組識別得到的沖擊載荷曲線的相對誤差和相關(guān)系數(shù)如表4所示。由表4可以看出，利用測點響應采用常規(guī)算法得到的載荷曲線精度更高，同樣，通過測點的響應識別得到的沖擊載荷向量最為接近真實載荷。

同樣在響應中加入10%的高斯白噪聲，根據(jù)分離變量法識別得到的沖擊載荷加載位置為0.288 m，識別得到的載荷向量與真實載荷向量的相對誤差和相關(guān)系數(shù)如表5所示?？梢钥闯?，根據(jù)分離變量法識別得到的載荷位置及載荷曲線較為接近真實載荷。

4 實驗驗證

為了進一步驗證基于分離變量法的載荷定位方法的準確性以及工程實用性，利用一簡支梁模型建立了動載荷識別實驗，如圖11所示。該梁長 m，寬 m，高 m，泊松比，彈性模量 GPa，密度 kg/m3。

通過有限元建模，將該簡支梁模型均勻地劃分為695個單元，共有696個節(jié)點。通過仿真計算得到該梁的前3階固有頻率，將其與實驗測量得到的數(shù)據(jù)進行比較（如表6所示）。從表6可以看出，建立的有限單元模型與實際簡支梁模型較為一致。

在梁上距離右端 m處利用力錘作用沖擊載荷。通過傳感器采集得到 m和 m兩處的加速度響應信號，并通過兩次積分得到兩個測量點的位移響應數(shù)據(jù)。通過對位移響應信號進行FRF分析（如圖12所示）?？梢钥闯鑫灰祈憫盘栔饕辛耗Ｐ偷脑谇皟呻A模態(tài)中，因此，選擇截取前兩階模態(tài)來識別沖擊載荷的作用位置。

通過分離變量法識別計算，得到?jīng)_擊載荷的優(yōu)化函數(shù)曲線（如圖13所示）。從圖中可以看出，識別的載荷位置為0.251 m處，與沖擊載荷真實加載位置基本一致。詳細的識別位置信息如表7所示。

對于簡諧載荷的識別驗證，在梁上距離右端 m處利用激振器施加一個頻率為60 Hz的簡諧載荷。測量點選擇 m和 m兩處，同樣通過兩次積分得到兩個測量點的位移響應數(shù)據(jù)。截取前兩階模態(tài)，通過分離變量法識別計算的結(jié)果為0.148 m，與真實載荷加載位置基本吻合。簡諧載荷的優(yōu)化函數(shù)曲線如圖14所示。詳細的識別位置信息如表7所示。

從上述實驗識別結(jié)果可以看出，沖擊載荷位置和簡諧載荷位置的識別結(jié)果都較為接近真實位置，因此認為該方法具有較高的準確性以及工程實用性。在確定載荷作用位置之后，為了更為準確地識別出載荷時間歷程，可以直接利用式（4）來計算出載荷時間歷程，為消除噪聲誤差及模態(tài)截斷的影響，可以采用正則化算法來得到穩(wěn)定的載荷曲線。

5 結(jié)? 論

本文提出的基于分離變量法的動載荷位置識別方法，通過將載荷位置變量從脈沖響應函數(shù)矩陣中提取出來，并采用模態(tài)截斷的方法來識別動載荷位置。在利用該方法識別計算的過程中，僅需進行一次矩陣求逆的運算，這極大地提高了動載荷位置識別的運算效率。仿真和實驗的結(jié)果驗證了該方法的可行性及準確性。

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作者簡介： 張? 景（1993-），男，博士研究生。電話：18014850293; E-mail： 609356721@qq.com

通訊作者： 張? 方（1962-），男，教授，博士生導師。電話：（025）84892227; E-mail： zhangfangyy@163.com