注重意義建構(gòu)，促進(jìn)思維進(jìn)階

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)進(jìn)階從一個(gè)較大的時(shí)間跨度研究學(xué)習(xí)者連貫且逐漸深入的思維路徑，倡導(dǎo)核心概念學(xué)習(xí)進(jìn)階和關(guān)鍵能力學(xué)習(xí)進(jìn)階的整合。學(xué)習(xí)進(jìn)階的過程是學(xué)生松散的生活經(jīng)驗(yàn)與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念長(zhǎng)期博弈的過程，進(jìn)階成功的標(biāo)志是知識(shí)的轉(zhuǎn)化和思維品質(zhì)的提升。對(duì)于小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，最重要的是發(fā)展其數(shù)學(xué)思維。因此，注重意義構(gòu)建，促進(jìn)思維進(jìn)階，尤顯重要。

一、數(shù)形結(jié)合，抽象本質(zhì)

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合既可以借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，也可以借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)與數(shù)之間的某種關(guān)系。從蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排來看，學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)除法后，接下來將學(xué)習(xí)小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，許多知識(shí)都關(guān)乎算理和算法的理解與掌握，這些規(guī)定性的知識(shí)學(xué)習(xí)，如果教師關(guān)注意義建構(gòu)，采取數(shù)形結(jié)合進(jìn)行教學(xué)，有助于學(xué)生真正理解概念，進(jìn)而掌握算理算法。學(xué)生就會(huì)逐步脫離教師所創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)情境、單位名稱等非本質(zhì)屬性，抽象出小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法等數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)回歸。

一位教師在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)除法”時(shí)，創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)情境：每片口罩0.7元，共3.5元，能買多少片口罩？在師生列出算式3.5÷0.7之后，教師組織學(xué)生開展小組討論，說一說，你是怎么想的？怎樣計(jì)算3.5÷0.7？為了幫助學(xué)生理解，教師提供了方格圖（圖略）。

學(xué)生動(dòng)手操作，在視覺、觸覺、運(yùn)動(dòng)覺協(xié)同感知事物的同時(shí)，以內(nèi)部語言展開思維。有的學(xué)生從元角分的意義來思考，想35角錢里有幾個(gè)7角錢;有的學(xué)生把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，想35個(gè)0.1里有幾個(gè)7個(gè)0.1;有的學(xué)生在方格紙上涂涂畫畫，結(jié)合小數(shù)的意義來理解……這些可以幫助學(xué)生較好地理解了3.5÷0.7的意義，算理直觀明了;另一方面，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法悄然無聲地進(jìn)入學(xué)生的心中。學(xué)生很快從3.5÷0.7自覺遷移到0.35÷0.07……教師站在思維發(fā)展的高度處理教材，突破了教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，較好地建立了整數(shù)除法、小數(shù)除法以及除數(shù)是一位小數(shù)、除數(shù)是兩位小數(shù)的除法計(jì)算之間的聯(lián)系，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法提供了更加有力的支持。

同理，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“解決問題的策略——一一列舉”時(shí)，教師可先出示例題：“王大叔用22根1米長(zhǎng)的木條圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，怎樣圍面積最大？”教師要求學(xué)生在弄清題意后，利用已有的解決問題的策略來嘗試解決問題。很多學(xué)生會(huì)想到采用列舉的策略直接列式（此時(shí)列舉沒有順序，是零亂的），也有的學(xué)生想到畫圖的策略、列表整理的策略等，教師組織學(xué)生上臺(tái)展示，不難發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生就采用了一一列舉的策略，通過畫圖，將這個(gè)長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)與寬一一對(duì)應(yīng)，面積也就一一對(duì)應(yīng)起來，學(xué)生直觀地看到，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6米、寬是5米時(shí)，花圃的面積最大。此時(shí)，教師利用課件出示了采用列表整理的策略，并要求學(xué)生結(jié)合左右兩幅圖認(rèn)真思考：從整體來看，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬越接近時(shí)，長(zhǎng)方形的面積越大。有的學(xué)生甚至猜想：如果修改長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，有可能得到一個(gè)正方形，而正方形的面積是最大的……

由此可見，教師創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，可以幫助學(xué)生聯(lián)系已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決問題。但真正的學(xué)習(xí)從學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題開始，不斷產(chǎn)生問題也成為學(xué)習(xí)的動(dòng)力。設(shè)計(jì)螺旋上升式的問題鏈，從橫向上看，可以讓不同層次的學(xué)生都能參與思考。盡管最初的列舉沒有順序，有的學(xué)生甚至寫不完整，但在比較中就有了發(fā)現(xiàn)，在修正中就產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的需要，明白一一列舉了才能不重復(fù)、不遺漏的道理。從縱向上看，教師可以讓學(xué)生的思維不斷爬坡，對(duì)問題的理解不斷加深，對(duì)其策略才有較為深刻的印象。當(dāng)學(xué)生自覺脫離問題情境，領(lǐng)悟其實(shí)質(zhì)，抽象其本質(zhì)，在形成了大量表象的基礎(chǔ)上，展開理性想象，在具有一定結(jié)構(gòu)的問題鏈中思考，問題鏈就成為思維發(fā)展的臺(tái)階，學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力得以螺旋上升，數(shù)學(xué)思維得以進(jìn)階。

二、多元表征，感知意義

所謂的數(shù)學(xué)多元表征，是指將同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象可以有敘述性（言語化表征）和描繪性（視覺化表征）兩種本質(zhì)不同的表征形式。在日常數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，如果教師運(yùn)用實(shí)物、模型、符號(hào)、語言、操作、情境、圖形等多種表征形式來支持?jǐn)?shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)過程進(jìn)行科學(xué)表述，那無疑有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，促進(jìn)思維進(jìn)階。

在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)“用字母表示數(shù)”時(shí)，學(xué)生親歷由數(shù)字表示數(shù)到用字母表示數(shù)、由日常語言表示數(shù)量關(guān)系到同符號(hào)語言來表示數(shù)量關(guān)系的抽象過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一次跨越。如何理解“用字母既可以表示不變的數(shù)量，又可以用來表示變化的數(shù)量，既可以表示已知的數(shù)量，還可以表示未知的數(shù)量”是教學(xué)難點(diǎn)，學(xué)生只有正確理解這個(gè)難點(diǎn)，才能感受用字母表示數(shù)的意義和價(jià)值。為此，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)操作活動(dòng)：請(qǐng)你畫圖表示出a×4，并在小組里交流，說說它表示什么意思？學(xué)生通過獨(dú)立思考，有了自己的想法。

生1：一支鉛筆的價(jià)格為a元，4支鉛筆的總價(jià)為a×4元。

生2：一塊餅干的質(zhì)量為a千克，4塊餅干的總質(zhì)量為a×4千克。

生3：一本數(shù)學(xué)書的價(jià)格為a元，4本數(shù)學(xué)書的總價(jià)為a×4元。

生4：一條線段長(zhǎng)a厘米，4條線段的總長(zhǎng)為a×4厘米。

從學(xué)生的想法中不難發(fā)現(xiàn)：有的學(xué)生用a表示一支鉛筆的單價(jià)，那么4a就表示4支鉛筆的總價(jià)。有的學(xué)生用a表示一塊餅干的質(zhì)量，那么4a就表示4塊餅干的總質(zhì)量。也有的學(xué)生用a表示一條線段的長(zhǎng)度，那么4a就表示4條線段的總長(zhǎng)度……從數(shù)量、單價(jià)、總價(jià)或者速度、時(shí)間、路程等數(shù)量關(guān)系分析入手，學(xué)生通過多元表征，初步感知了“用字母表示數(shù)”的意義，對(duì)數(shù)的理解自然上升到了更高的水平。

在日常數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的多元表征是包括了數(shù)學(xué)文字、公式、概念、性質(zhì)的“數(shù)”，以及涵蓋了模型、圖形、圖像的“形”。在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，多元表征非常重要。在探索“和與積的奇偶性”這一規(guī)律時(shí)，教師可以先出示課前導(dǎo)學(xué)單（如圖1），要求學(xué)生自主探索：任意寫兩個(gè)不是0的自然數(shù)，看看它們的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？同時(shí)，采用畫一畫的方式來說明其中的道理，通過觀察加數(shù)的奇偶性以及和的奇偶性，你有什么發(fā)現(xiàn)？

在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生通過舉例（如圖2），初步猜想：偶數(shù)+偶數(shù)一定等于偶數(shù)嗎？奇數(shù)+奇數(shù)一定等于偶數(shù)嗎？有了猜想后，如何來解釋其中的要義呢？

有的學(xué)生用圖形來表征，有的學(xué)生用文字來解釋，還有的學(xué)生用小棒、用符號(hào)來解釋（如圖3），結(jié)合學(xué)生原生態(tài)的作品，教師采用課件演示，讓學(xué)生明白其中的道理：為什么“偶數(shù)+偶數(shù)一定是偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)一定是偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)一定是奇數(shù)”？

課至此，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考、小組自主探究與合作交流，了解了兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)的和的奇偶性，有了自己的猜想，再經(jīng)歷舉例、觀察、猜想、多元表征后的驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，得出自己的結(jié)論，感受由具體到抽象、由特殊到一般的探索發(fā)現(xiàn)方法，從一個(gè)新的角度豐富了對(duì)奇數(shù)和偶數(shù)意義的認(rèn)識(shí)，感受了數(shù)學(xué)規(guī)律的多樣性和趣味性，進(jìn)一步發(fā)展了符號(hào)意識(shí)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思考。

三、自主勾連，促進(jìn)思維

史寧中教授指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，特別是創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，是“悟”出來的，而不是“教”出來的。因?yàn)閿?shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的。要培育學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力，日常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)以問題導(dǎo)學(xué)為有效路徑，巧妙設(shè)計(jì)變式問題，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較中，加深對(duì)概念的理解、對(duì)公式的掌握，打破知識(shí)之間的壁壘，把握知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)思維發(fā)展。

例如，在蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元整理與復(fù)習(xí)課中，筆者真正站在學(xué)習(xí)者的角度，從結(jié)構(gòu)化的視角設(shè)計(jì)教學(xué)，先組織學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)：想象一下，上底和下底的和為8、高為3的梯形，它的上底和下底可能是多少？請(qǐng)你畫一畫。進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生思考：能否用梯形的面積公式推導(dǎo)出其他圖形的面積公式來呢？

開放題推動(dòng)了學(xué)生對(duì)問題的深層次理解，學(xué)生對(duì)這些平面圖形面積公式推導(dǎo)過程有了深層次思考。學(xué)生觀察：當(dāng)梯形的上底從3變?yōu)?，下底不變，高不變，那么，梯形就變成了一個(gè)三角形，而面積公式是同樣適用的。同理，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)梯形逐漸變?yōu)槠叫兴倪呅?、長(zhǎng)方形、正方形（特殊的長(zhǎng)方形）時(shí)，梯形的面積計(jì)算公式同樣適用。

至此，筆者并不滿足于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，出示了圖4，讓學(xué)生從左往右觀察，再從右往左觀察，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。

從左往右看，根據(jù)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式可以推導(dǎo)出其他圖形的面積公式。而從右往左看，我們?cè)谔骄恳环N新的圖形面積計(jì)算時(shí)，都是把它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形來進(jìn)行探究的，復(fù)雜的梯形面積公式同樣也適用于其他多邊形的面積計(jì)算……通過引領(lǐng)學(xué)生整體分析，讓學(xué)生既見樹木，又見森林。從梯形面積計(jì)算的推導(dǎo)過程，自覺勾連其他多邊形的面積計(jì)算公式，完善了平面圖形面積之間的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法也深入學(xué)生心中，培育學(xué)生的高階思維能力也落到了實(shí)處。

還有一位教師在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)“百分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，采用了先學(xué)后教、順學(xué)而導(dǎo)的形式，要求學(xué)生預(yù)習(xí)后自主提問：百分?jǐn)?shù)可能與原來學(xué)的哪些知識(shí)有聯(lián)系，有怎樣的聯(lián)系呢？學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，有了自己的想法。

有的學(xué)生認(rèn)為，分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)都表示了兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系。有的學(xué)生認(rèn)為，百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。有的學(xué)生認(rèn)為，百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)聯(lián)系非常多，兩者是有不同的。

學(xué)生有了之前“認(rèn)識(shí)整數(shù)、認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、認(rèn)識(shí)小數(shù)”等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合豐富的生活學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，自覺地勾連知識(shí)，遷移方法。有的學(xué)生提出了“生活中有沒有十分?jǐn)?shù)？”“還有沒有千分?jǐn)?shù)、萬分?jǐn)?shù)”等問題。有的學(xué)生提出了“百分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，百分?jǐn)?shù)問題的計(jì)算”等問題。最后，師生一起總結(jié)全課，形成如下板書（如圖5）。

弗賴登塔爾曾反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是“再創(chuàng)造”。因而，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生自覺勾連知識(shí)，適當(dāng)進(jìn)行“再創(chuàng)造”。而數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，不能僅依靠事實(shí)材料，更需要有適切的問題去引領(lǐng)，使學(xué)生能夠逐漸逼近知識(shí)的本質(zhì)，進(jìn)而提高探索能力，提升他們的學(xué)科關(guān)鍵能力。學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)有著天然的疑問，簡(jiǎn)單問題通過自學(xué)或者小組內(nèi)討論便能解決，課堂展示的是梳理出來的主要問題、核心問題。比如百分?jǐn)?shù)的意義、百分?jǐn)?shù)的作用、百分?jǐn)?shù)的好處、百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系、百分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)等。隨著對(duì)問題的聚焦和深入研討，學(xué)生感受到了百分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)潔性，體會(huì)到了百分?jǐn)?shù)在生活中的諸多價(jià)值……基于這樣的理解與組織教學(xué)，學(xué)生再把百分?jǐn)?shù)與十分?jǐn)?shù)、千分?jǐn)?shù)、萬分?jǐn)?shù)等自主勾連，自覺對(duì)比和聯(lián)系，對(duì)百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)會(huì)更加深刻和全面。

數(shù)學(xué)是思維的體操，教師要認(rèn)真研讀每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，讀懂每一個(gè)學(xué)生，豐富教學(xué)資源，精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程，注重意義構(gòu)建，關(guān)注學(xué)習(xí)力的提高，促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提升和思維的進(jìn)階，從而實(shí)現(xiàn)高品質(zhì)的教學(xué)。

（作者單位：江蘇省張家港市梁豐小學(xué)）

作者簡(jiǎn)介

陳惠芳，江蘇省特級(jí)教師，正高級(jí)教師。蘇州市小學(xué)數(shù)學(xué)名教師，蘇州市第二屆教育領(lǐng)軍人才，蘇州市優(yōu)秀教育工作者，現(xiàn)任職于江蘇省張家港市梁豐小學(xué)。近年來，倡導(dǎo)“基于生態(tài)理念的對(duì)話式教學(xué)”的教學(xué)主張，追求“真實(shí)·自然·對(duì)話·生長(zhǎng)”的課堂教學(xué)風(fēng)格。先后主持或參與多項(xiàng)全國(guó)、江蘇省、蘇州市教科規(guī)劃課題。在《人民教育》等期刊發(fā)表教育文章500多篇，出版?zhèn)€人專著兩本。