四種元件的分?jǐn)?shù)階電路無源綜合方法研究

梁貴書，張 靜

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003)

0 引 言

傳統(tǒng)電路綜合理論已趨于完善，但分?jǐn)?shù)階元件的引入又給電路綜合帶來了新的挑戰(zhàn)。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)抗函數(shù)的復(fù)雜性，現(xiàn)階段還無法提出通用的分?jǐn)?shù)階電路無源綜合方法，只能對(duì)不同形式的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)抗函數(shù)表達(dá)式采取不同的電路綜合方法。

在多分?jǐn)?shù)階電路綜合的研究中學(xué)者們進(jìn)行了大量探索。文獻(xiàn)[1]和[2]討論了由單一分?jǐn)?shù)階電容與傳統(tǒng)RLC元件組成的單口網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)問題。文獻(xiàn)[3]和[4]研究了由兩個(gè)分?jǐn)?shù)階元件(分?jǐn)?shù)階電容器或分?jǐn)?shù)階電感器)和一些電阻器組成的無源電網(wǎng)實(shí)現(xiàn)一類阻抗函數(shù)可實(shí)現(xiàn)性的充分必要條件。文獻(xiàn)[5]從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)入手討論了分?jǐn)?shù)階雙二次阻抗函數(shù)最多可用4個(gè)元件以及5個(gè)元件實(shí)現(xiàn)的問題,然后拓展至六元件。文獻(xiàn)[6]將分?jǐn)?shù)階函數(shù)進(jìn)行變量代換，通過多變量譜分解[7]的方法給出了三變量導(dǎo)抗函數(shù)的達(dá)林頓無源綜合方法。文獻(xiàn)[8]通過阻抗換標(biāo)和變量代換對(duì)兩種元件電路和三種元件電路進(jìn)行了綜合，給出了綜合方法。文獻(xiàn)[10]討論了分?jǐn)?shù)階網(wǎng)絡(luò)的W域無源綜合方法。

本文的其余部分組織如下：第1節(jié)將介紹一些預(yù)備知識(shí)。第2節(jié)給出了分?jǐn)?shù)階4種元件電路導(dǎo)抗函數(shù)的判別方法。第3節(jié)闡述了分?jǐn)?shù)階四種元件組成的分?jǐn)?shù)階電路的綜合方法和具體的綜合步驟，并給出了幾個(gè)實(shí)例。第4節(jié)給出了綜合方法的實(shí)例。第5節(jié)是文章的結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 分?jǐn)?shù)階元件

分?jǐn)?shù)階電感的伏安關(guān)系為

(1)

式中：α表示分?jǐn)?shù)階電感元件的階次，本文簡(jiǎn)稱(元件的)元次；Lα表示分?jǐn)?shù)階電感值，稱為偽電感，其單位為H/s1-α。當(dāng)0≤α≤1時(shí)，分?jǐn)?shù)階電感是無源的[28]。分?jǐn)?shù)階電感的符號(hào)如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階電感的符號(hào)Fig.1 Circuit notations for fractional capaciton

零狀態(tài)下分?jǐn)?shù)階電感的復(fù)頻域伏安關(guān)系可寫為

U(s)=LαsαI(s)

(2)

分?jǐn)?shù)階電容的伏安關(guān)系為

(3)

式中：α表示分?jǐn)?shù)階電容的元次；Cα表示分?jǐn)?shù)階電容值。當(dāng)0≤α≤1時(shí)，分?jǐn)?shù)階電容是無源的[28]。分?jǐn)?shù)階電容的符號(hào)如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階電感的符號(hào)Fig.2 Circuit notations for fractional inductor

1.2 分?jǐn)?shù)階無源四種元件電路

分?jǐn)?shù)階電路元件比整數(shù)階電路更豐富，在此給出分?jǐn)?shù)階四種元件電路的定義。分?jǐn)?shù)階無源四種元件電路，本文簡(jiǎn)稱分?jǐn)?shù)階四種元件電路，是指包含四種分?jǐn)?shù)階無源元件(包含傳統(tǒng)的電容和電感)，或包含電阻與三種分?jǐn)?shù)階電抗元件的無源電路。

所含種類共包括CαCβCγCδ、LαCβCγCδ、LαLβCγCδ、LαLβLγCδ、LαLβLγLδ、RLαCβCγ、RLαLβCγ、RLαLβLγ、RCαCβCγ、LαCαCβCγ、LαLβCαCγ、LαLβLγCα、RLαCαCβ、RLαLβCα、LαLβCαCβ十五種情況。

分?jǐn)?shù)階四種元件電路的阻抗函數(shù)中最多包含四種元次。四元次阻抗函數(shù)的一般表達(dá)式為

(4)

式中：α、β、γ、δ分別表示阻抗函數(shù)對(duì)應(yīng)電路中的四個(gè)元次。

1.3 阻抗換標(biāo)與變量代換

對(duì)于一個(gè)單口無源網(wǎng)絡(luò)，若對(duì)電路中所有阻抗進(jìn)行換標(biāo)因子為sγ的阻抗換標(biāo)，那么驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗也將變?yōu)樵瓉碜杩沟膕γ倍，即Z′in=sγZin。在阻抗換標(biāo)后，電路元件的種類會(huì)發(fā)生改變。

1.4 多變量正實(shí)矩陣與電抗矩陣的定義

定義1[6]一個(gè)多變量n×n矩陣Z(p1,p2,…,pk)是正實(shí)的，當(dāng)且僅當(dāng)

(1)對(duì)于實(shí)數(shù)pi(i=1,….k)，Z(p1,p2,…,pk)是實(shí)矩陣；

(3)當(dāng)pi(i=1,….k)位于各自的扇形域內(nèi)時(shí)，Z(p1,p2,…,pk)+ZH(p1,p2,…,pk)是半正定埃爾米特矩陣。

定義2[6]一個(gè)k變量n×n矩陣X(p1,p2,…,

pk)稱為k變量電抗矩陣，是指

(1)X(p1,p2,…,pk)是正實(shí)矩陣；

(2)[X(p)+X(-p)]+[X(p)+X(-p)]T≡0n。其中，p=[p1,p2,…,pk]。

2分?jǐn)?shù)階四種元件電路導(dǎo)抗函數(shù)的判定方法

通過確定每個(gè)元次所含元件的種類數(shù)，可求得所有元次所含的元件的種類數(shù)。如果滿足電抗函數(shù)中所有元次的元件種類和為4，或阻抗函數(shù)中所有元次的元件種類和為3，則可以確定此函數(shù)是分?jǐn)?shù)階四種元件導(dǎo)抗函數(shù)。通過1.2節(jié)分?jǐn)?shù)階四種元件電路的電路類型可知，分?jǐn)?shù)階4種元件電路導(dǎo)抗函數(shù)的元次個(gè)數(shù)應(yīng)該是2或3或4。為了更好的表述，定義以下符號(hào)：k表示元次個(gè)數(shù)，且k∈{2,3,4}；(c+l)i表示電路中所含階次為τi的電容電感的種類數(shù)，(c+l)i∈{1,2}；r表示電路中電阻的存在情況，且r∈{0,1}。在電路中，若只含有sτi的電容或電感則(c+l)i=1，若兩者都有則(c+l)i=2；若Z(s)是電抗函數(shù)，則r=0，若Z(s)是阻抗函數(shù)則r=1。

分?jǐn)?shù)階4種元件阻抗函數(shù)判據(jù)：

下面給出一種判斷電路中含有階次為τi的分?jǐn)?shù)階元件種類數(shù)的方法。令阻抗函數(shù)Z(s)中sτi=s，sτj=cj(cj為任意正常數(shù)，j=1,2,…,k且j≠i)。即將電路中階次為τi的分?jǐn)?shù)階電容、分?jǐn)?shù)階電感分別置換為整數(shù)階電容、電感，將其余階次分?jǐn)?shù)階電容和電感置換為電阻。通過改變cj的值，判斷電路是否振蕩，如果函數(shù)極點(diǎn)存在共軛復(fù)根，則(c+l)i=2，否則(c+l)i=1。

(5)

3四種元件電路導(dǎo)抗函數(shù)的無源綜合

3.1 阻抗換標(biāo)與變量代換

同樣，為了方便理解，定義以下符號(hào)：τi(i=1,2,…,k),τi∈(0,1]是導(dǎo)抗函數(shù)中所含的元次；γa(a=1,2,3,4)是阻抗換標(biāo)時(shí)用到的中間量，γa=-τi或τi或0；sγ是換標(biāo)因子。

阻抗換標(biāo)中間量γa的取值：根據(jù)元次τi所含元件種類依次確定γa的值。首先，根據(jù)元次τ1確定γa，若元次τ1僅含電容元件時(shí)，取γ1=-τ1；若元次τi僅含電感元件時(shí)，取γi=τi；若元次τ1含電容和電感元件時(shí)，取γ1=τ1,γ2=-τ1。其次，按照相同方法，根據(jù)τ2,…,τk確定γa(a的值在上一步的基礎(chǔ)上順延)。最后，若函數(shù)是阻抗函數(shù)，取γ4=0。

所以需要判斷僅含一種元件的元次τi是含有電容元件還是電感元件。判斷方法：令阻抗函數(shù)Z(s)中sτi=s，sτj=1(j=1,2,3,4且j≠i)，得Z″(s)。若Z″(s)極點(diǎn)的留數(shù)是正實(shí)數(shù)，則元次τi僅含電容元件，若Z″(s)極點(diǎn)的留數(shù)是負(fù)實(shí)數(shù)，則元次τi僅含電感元件。

分?jǐn)?shù)階四種元件電路導(dǎo)抗函數(shù)的無源綜合步驟：

(1)確定四個(gè)中間量γa的值。

(3)進(jìn)行變量代換

(a4=1,2,3,4;a4≠a1,a2,a3)，得函數(shù)Z(p1,p2,p3)。當(dāng)且僅當(dāng)2γa3-γa1-γa2≠0，2γa4-γa1-γa2≠0，γa2-γa1≠0，同時(shí)成立時(shí)，Z(p1,p2,p3)是三變量電抗函數(shù)。

通過三變量電抗函數(shù)綜合方法對(duì)三變量電抗函數(shù)進(jìn)行綜合，無源實(shí)現(xiàn)為一個(gè)三變量電抗網(wǎng)絡(luò)。

將所得無源網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逆變換，得到對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階四種元件電路。

3.2 三變量電抗函數(shù)綜合方法

引理1[14]如果一個(gè)k變量正實(shí)矩陣X0(p1,p2,…,pk)在任意pi(1≤i≤k)的復(fù)平面無窮處有極點(diǎn)，那么X0(p1,p2,…,pk)可分解為

引理2[6]三變量電抗函數(shù)X(p1,p2,p3)最終可以實(shí)現(xiàn)為一個(gè)由p1類型的電抗、p2和p3類型的電感、理想變壓器、回轉(zhuǎn)器組成的單端口網(wǎng)絡(luò)。

綜合X0(p1,p2,p3)步驟如下：

(1)根據(jù)獨(dú)立極點(diǎn)，分解函數(shù)X0(p1,p2,p3)，利用利用經(jīng)典綜合法實(shí)現(xiàn)單變量電抗函數(shù)X1，X2和X3。

(2)綜合X(p1,p2,p3)，先提取p3型單位電感。

對(duì)X(p1,p2,p3)進(jìn)行洛朗級(jí)數(shù)展開，得到

(6)

用g(p1,p2,p3)表示X(p1,p2,p3)最小公分母

(7)

令r×r的矩陣Nr-1(p1,p2)為

Nr-1(p1,p2)=

(8)

當(dāng)r是奇數(shù)，且a0(p1,p2)=-a0(-p1,-p2)時(shí)，

(9)

其他情況下，

(10)

之后將M(p1,p2)分為Mi(p1,p2)，Mi(p1,p2)是k×1的矩陣，即

(11)

(12)

Ω(-p1,-p2)MT(-p1,-p2)

(13)

(3)將X0(p1,p2,p3)，X1，X2和X3網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)。

提取極點(diǎn)后，正好可分為兩個(gè)單變量矩陣，實(shí)現(xiàn)的最終網(wǎng)絡(luò)為

圖3 導(dǎo)抗函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Network of reactance function

對(duì)于一些滿足如下定理的導(dǎo)抗函可以用以下綜合方法。

引理3[20]一個(gè)正實(shí)有理函數(shù)Z(p1,p2,p3)=

(1)degpiZ(p1,p2,p3)=1(i=2,3)

上面兩個(gè)方程中的正號(hào)對(duì)應(yīng)于負(fù)載等于pi(i=2,3)，負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于負(fù)載等于1/pi(i=2,3)。如果滿足以上三個(gè)條件，那么綜合過程是可以實(shí)現(xiàn)的，并且分為如圖4四種情況。

圖4 四種情況Fig.4 Four situations

定理 當(dāng)分?jǐn)?shù)階四種元件電路的兩個(gè)階次μ，δ分別只含有一個(gè)元件，其他階次元件個(gè)數(shù)任意時(shí)，一定可以實(shí)現(xiàn)成驅(qū)動(dòng)阻抗在端口1，且端口2和端口3分別接負(fù)載sμ，sδ的三端口網(wǎng)絡(luò)。

證明 設(shè)電路中所含階次為α，β，μ，δ，且其中階次為μ，δ只含有一個(gè)元件，為了方便表述，設(shè)每種階次所含的元件都是分?jǐn)?shù)階電感元件，所以換標(biāo)中間量分別是γ1=α,γ2=β,γ3=μ,γ4=δ。

abcd是關(guān)于變量p1,p2的多項(xiàng)式，a′b′c′d′是關(guān)于變量p1,p3的多項(xiàng)式。

可知Z一定可以實(shí)現(xiàn)為如圖5所示的網(wǎng)絡(luò)[29]，因?yàn)樵W(wǎng)絡(luò)除p3元件外都是互易元件，所以N(p1,p2)一定是一個(gè)互易的二端口網(wǎng)絡(luò)。

圖5 二端口網(wǎng)絡(luò)Fig.5 Two-port network

假設(shè)如圖所示的二端口的開路阻抗矩陣為

表明上述綜合過程是可行的，端口2和端口3分別為p2和p3，由端口電壓電流性質(zhì)可知

可知矩陣B是可逆的，得

最終網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)如圖6所示。

圖6 最終實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)Fig.6 Finally realized network

對(duì)于另一類特殊的滿足引理4的導(dǎo)抗函數(shù)可實(shí)現(xiàn)成一個(gè)單變量網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)雙變量網(wǎng)絡(luò)。

引理4[29]多變量正實(shí)函數(shù)：Z(p1,p2,p3)，可以被分解為

Z(p1,p2,p3)=Z1(p1,p2)+Z2(p3)

(14)

的充分必要條件為

(15)

通過這個(gè)引理可以將三變量函數(shù)分解成一個(gè)單變量電抗函數(shù)和雙變量電抗函數(shù)，再利用雙變量電抗函數(shù)綜合方法將其實(shí)現(xiàn)。

4 應(yīng)用實(shí)例

分?jǐn)?shù)階電路模型在生物醫(yī)學(xué)和生物學(xué)有廣泛應(yīng)用。在生物阻抗測(cè)量領(lǐng)域，由于Cole阻抗模型[30]結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且能與測(cè)量數(shù)據(jù)良好匹配，常用其表征生物組織和生化材料。Cole阻抗模型并不是唯一的。其中，由三個(gè)電阻和三個(gè)分?jǐn)?shù)階元件組成的電路，可以用于擬合從柳樹根、莖、電極界面采集的阻抗數(shù)據(jù)，通過阻抗參數(shù)監(jiān)測(cè)根系生長(zhǎng)。下面通過一個(gè)例子來進(jìn)行這種Cole模型的實(shí)現(xiàn)。

例4 根據(jù)參考文獻(xiàn)[30]可知一個(gè)Cole模型阻抗表達(dá)式如式

所含的階次分別α=0.5,β=0.7,μ=0.9。

根據(jù)分?jǐn)?shù)階四種元件判據(jù)可知此導(dǎo)抗函數(shù)是分?jǐn)?shù)階四種元件電路。然后確定阻抗換標(biāo)中間量的值，經(jīng)計(jì)算得元次α,β,μ都只含分?jǐn)?shù)階電容元件，所以取阻抗換標(biāo)中間量為γ1=-0.5,γ2=-0.7,γ3=-0.9，此導(dǎo)抗函數(shù)是阻抗函數(shù)，所以γ4=0。

ZB(s)=s0.25·

=(s-0.25×4-0.45-0.65+s-0.25×2-0.45-0.65+

s-0.25×3-0.65+3s-0.25×3-0.45+

s-0.25-0.65+2s-0.24-0.45+2s-0.25-0.25+1)÷

(s-0.25×4-0.45+s-0.25×3+s-0.25×2-0.45+s-0.25)

根據(jù)引理4，可以將Z1(p1,p2)分解為Z1(p1,p2)和Z2(p3)

Z(p1,p2,p3)=Z1(p1,p2)+Z2(p3)=

圖7 在P域內(nèi)實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)Fig.7 Network implemented in P domain

將電路中的變量反代換，且每個(gè)電路元件除阻抗換標(biāo)因子sγ，得到電路圖8。對(duì)所得電路進(jìn)行仿真驗(yàn)證，“數(shù)學(xué)計(jì)算”是指基U(s)=I(s)Z(s)的分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)Z(s)的數(shù)學(xué)計(jì)算；“電路仿真”是指通過改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法得到的分?jǐn)?shù)階網(wǎng)絡(luò)端口電壓。在圖9中“數(shù)學(xué)計(jì)算”與“電路仿真”是一致的，所以綜合網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果是正確的。

圖8 導(dǎo)抗函數(shù)在s域內(nèi)實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)Fig.8 Network realized by immittance function in s domain

圖9 端口正弦穩(wěn)態(tài)電壓響應(yīng)Fig.9 Network realized by immittance function in s domain

5 結(jié) 論

研究分?jǐn)?shù)階電路綜合問題，能夠推動(dòng)電氣工程領(lǐng)域器件設(shè)備的分?jǐn)?shù)階建模應(yīng)用和精細(xì)仿真研究。本文提出了分?jǐn)?shù)階四種電路的判據(jù)和無源綜合方法，通過示例，驗(yàn)證了方法的有效性。證明了當(dāng)分?jǐn)?shù)階四種元件電路的兩個(gè)階次μ，σ分別只含有一個(gè)元件，其他階次元件個(gè)數(shù)任意時(shí)，一定可以實(shí)現(xiàn)成驅(qū)動(dòng)阻抗在端口1，且端口2和端口3分別接負(fù)載μ，σ的三端口網(wǎng)絡(luò)。文中方法適用于任意的分?jǐn)?shù)階四種元件電路。本文的工作為后續(xù)分?jǐn)?shù)階多種元件電路綜合研究奠定了基礎(chǔ)。