滯后型測(cè)度泛函微分方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性

李寶麟, 楊萬(wàn)秀

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州 7 30070)

1 引言

當(dāng)常微分方程˙x=f(x,t)所描述的系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)，對(duì)受到擾動(dòng)的系統(tǒng)導(dǎo)出的常微分方程的形式為

如果擾動(dòng)項(xiàng)是連續(xù)可積的，那么擾動(dòng)后的系統(tǒng)仍為常微分方程系統(tǒng)，它的解為連續(xù)的，若擾動(dòng)項(xiàng)為脈沖型的，則擾動(dòng)后的系統(tǒng)的狀態(tài)就不隨時(shí)間連續(xù)變化，而是呈現(xiàn)一種瞬時(shí)性態(tài)，對(duì)這種數(shù)學(xué)模型的研究導(dǎo)出另一種方程即測(cè)度微分方程，其一般形式為

在文獻(xiàn)[1]中，Kurzweil在1957年首次提出了廣義常微分方程理論.Schwabik在文獻(xiàn)[2]中研究了廣義常微分方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性，并在一定條件下建立了測(cè)度微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系.在文獻(xiàn)[3]中介紹了Banach空間中廣義線性微分方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性.文獻(xiàn)[4,5]建立了在一定條件下測(cè)度泛函微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系，并對(duì)解的存在唯一性及解關(guān)于初值條件的可微性，以及時(shí)間尺度上的泛函動(dòng)力方程的周期平均化做了系統(tǒng)研究.文獻(xiàn)[6]證明了在抽象的Banach空間中廣義常微分方程解的存在性和唯一性，并證明了廣義常微分方程的解關(guān)于初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性.

考慮滯后型測(cè)度泛函微分方程

和它所描述的系統(tǒng)受到擾動(dòng)后的滯后型測(cè)度泛函微分方程

其中方程(2)等價(jià)于積分方程

方程(3)等價(jià)于積分方程

且方程(4)和方程(5)右端的積分是關(guān)于不減函數(shù)g,u:[t0,+∞)→R的Kurzweil-Stieltjes積分.

文獻(xiàn)[7]建立了在一定條件下滯后型測(cè)度泛函微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系，研究了滯后型測(cè)度泛函微分方程的積分穩(wěn)定性，其中Dy,Dg,Du分別是y,g,u的分布導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f:T×[t0,+∞)→Rn,g,u:[t0,+∞)→R,y:[t0?r,+∞)→Rn,yt(θ)=y(t+θ),θ∈[?r,0],r>0,p:[t0,+∞)→Rn，且T={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)}?G([?r,0],Rn),O?G([t0?r,+∞),Rn)是開(kāi)集，G([t0?r,+∞),Rn)表示[t0?r,+∞)到Rn的所有有界正則函數(shù)全體，其中的范數(shù)為

而且f與p滿足如下條件：

(H2): 對(duì)任意的y∈O,s1,s2∈[t0,+∞)，存在一個(gè)常數(shù)M>0，使得

(H3): 對(duì)任意的y,z∈O,s1,s2∈[t0,+∞)，存在一個(gè)常數(shù)N>0，使得

(H5): 對(duì)任意的t∈[t0,+∞),s1,s2∈[t0,+∞)，存在一個(gè)常數(shù)K>0，使得

本文研究方程(2)和(3)在滿足(H1)–(H5)的條件下解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性.

本文主要包括三部分：第2部分重點(diǎn)介紹文中所要用到的基本概念及已有結(jié)果；第3部分給出滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)和(3)解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性定理.

2 預(yù)備知識(shí)

定義2[2]函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在區(qū)間[a,b]上是Henstock-Kurzweil可積的，如果存在I∈Rn，使得對(duì)任意的ε>0，存在正值函數(shù)δ(t):[a,b]→(0,+∞)，使得對(duì)[a,b]的任何δ-精細(xì)分劃D=(τj,[αi?1,αi]),j=1,2,···,k，其中τj∈[αi?1,αi]?[τj?δ(τj),τj+δ(τj)]，有

特別地，當(dāng)f:[a,b]→Rn，且g:[a,b]→R,U(τ,t)=f(τ)g(t)時(shí)，

設(shè)F:Ω→Rn,Ω=O×[t0,+∞).

定義3[2]設(shè)函數(shù)F:Ω→Rn，如果x:[α,β]→Rn是廣義常微分方程

在區(qū)間[α,β]?[t0,+∞)上的解，是指對(duì)所有的t∈[α,β],(x(t),t)∈Ω，任意的s1,s2∈[α,β]，有

定義4[1]設(shè)函數(shù)h:[t0,+∞)是不減左連續(xù)的，ω:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)且ω(0)=0，函數(shù)F:Ω→Rn，屬于函數(shù)族F(Ω,h,ω)是指F滿足以下條件，對(duì)任意的(x,s1),(x,s2)∈Ω，有

對(duì)任意的(x,s1),(x,s2),(y,s1),(y,s2)∈Ω，有

引理1[7]以下條件是等價(jià)的：

1)A是集合且A?G([α,β],Rn)是相對(duì)緊集；

2) 對(duì)每個(gè)x∈A,t1,t2∈[α,β]，集合{x(α);x∈A}是有界的且存在連續(xù)增函數(shù)ω:[0,∞)→[0,∞),ω(0)=0，及不減函數(shù)h:[α,β]→R，使得

引理2[6]設(shè)X是一個(gè)Banach空間，O?X是開(kāi)集，G=O×[a,b]，h是不減的左連續(xù)函數(shù)，ω連續(xù)增加函數(shù)，函數(shù)列Fk:O×[a,b]→X，對(duì)每個(gè)k∈N0,(x,t)∈G,Fk∈F(G,h,ω)，有

若存在一個(gè)序列函數(shù)xk:[t0,+∞)→O,k∈N0，使

且對(duì)每個(gè)t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞xk(t)=x0(t)，則有

注1[7]若O是G([t0,+∞))的子集，稱O具有延拓性質(zhì)，是指對(duì)于每個(gè)y∈O,ˉt∈[t0,+∞)，都有ˉy∈O，其中函數(shù)ˉy定義如下

引理3[7]設(shè)f:T×[t0,+∞)→Rn滿足(H1)–(H3).函數(shù)g:[t0,+∞)→R為不減的函數(shù)，對(duì)于y∈O,t∈[t0,+∞)，定義如下函數(shù)

則F∈F(Ω,h)，其中F:Ω→G([t0?r,+∞),Rn).

引理4[7]設(shè)O?G([t0?r,+∞),Rn)是開(kāi)集，且t∈[t0,+∞)時(shí)具有延拓性質(zhì)，T={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},φ∈T,g:[t0,+∞)→R是不減函數(shù)，f:T×[t0,+∞)→Rn滿足(H1)–(H3)，F(xiàn):O×[t0,+∞)→G([t0?r,+∞),Rn)由公式(9)給定.

(i) 假設(shè)對(duì)于任意的y∈O,t∈[t0,+∞)，如果y:[t0?r,+∞)→O是滯后型測(cè)度泛函微分方程

的解.

對(duì)任意的t∈[t0?r,+∞)，有

的解，其中F由(9)式給定.

(ii) 相反地，F(xiàn)由(9)式給定，如果x:[t0,+∞)→O是廣義常微分方程

的解，且滿足初值條件

則函數(shù)y:[t0?r,+∞)→O是滯后型測(cè)度泛函微分方程

在初值條件

的解.

引理5[7]設(shè)f:T×[t0,+∞)→Rn滿足(H1)–(H3)，且p:[t0,+∞)→Rn滿足(H4),(H5)，函數(shù)g,u:[t0,+∞)→R為不減的，對(duì)于y∈O,t∈[t0,+∞)，定義如下函數(shù)

則有

且G∈F(Ω,h)，其中G:Ω→G([t0?r,+∞),Rn).

引理6[7]設(shè)O?G([t0?r,+∞),Rn)是開(kāi)集，且t∈[t0,+∞)時(shí)具有延拓性質(zhì)，T={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},φ∈T,g,u:[t0,+∞)→R是不減函數(shù)，f:T×[t0,+∞)→Rn滿足(H1)–(H3)，且p:[t0,+∞)→Rn滿足(H4),(H5)，G:O×[t0,+∞)→G([t0?r,+∞),Rn)由(13)給定.

(i) 假設(shè)對(duì)于任意的y∈O,t∈[t0,+∞)，如果y:[t0?r,+∞)→O是滯后型測(cè)度泛函微分方程

的解.

對(duì)任意的t∈[t0?r,+∞)，有

下的解，其中G由(13)式給定.

(ii) 相反地，G由(13)式給定，如果x:[t0,+∞)→O是廣義常微分方程

的解，且滿足初值條件

則函數(shù)y:[t0?r,+∞)→O是滯后型測(cè)度泛函微分方程

在初值條件

的解.

3 主要結(jié)果

本節(jié)，將討論滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)與受到擾動(dòng)后的滯后型測(cè)度泛函微分方程(3)解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性.

定理1 設(shè)I?G([t0?r,+∞),Rn)是閉子集，O?I是開(kāi)集，函數(shù)列Fk:O×[t0,∞)→Rn，對(duì)每一個(gè)k∈N0,(x,t)∈O×[t0,∞),Fk∈F(O×[t0,∞),h,ω)，有

若存在一個(gè)序列函數(shù)xk:[t0,+∞)→O,k∈N0,t∈[t0,+∞)，使

且對(duì)每個(gè)t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞xk(t)=x0(t)，則有

證明 由定義3知，對(duì)s1,s2∈[t0,+∞),k∈N0，有

由引理2知

則Fk∈F(O×[t0,∞),h,ω)，故對(duì)k∈N0[α,β]?[s1,s2]，有

從而，當(dāng)k→∞時(shí)，有

因h是正則的，故x0是正則的，即x0是有界變差的.又

存在，則

因?yàn)?/p>

從而，上式第二個(gè)積分當(dāng)k→∞時(shí)一致收斂于0.又

因?yàn)?，?duì)k∈N0,s1,s2∈[t0,+∞)，有

其中

令

定理2 設(shè)I?G([t0?r,+∞),Rn)是閉子集，O?I是開(kāi)集且具有延拓性質(zhì)，T={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},g:[t0,+∞)→R是不減函數(shù)，ω:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)增加函數(shù)f:T×[t0,+∞)→Rn滿足(H1)–(H3)，F(xiàn):O×[t0,+∞)→G([t0?r,+∞),Rn)由(9)給定，則F∈F(O×[t0,+∞),h,ω)，其中h是不減的左連續(xù)函數(shù)，且

函數(shù)列fk:T×[t0,+∞)→Rn,k∈N0滿足以下條件：

2) 對(duì)任意的y∈O,s1,s2∈[t0,+∞)，存在一個(gè)常數(shù)M>0，使得

3) 對(duì)任意的y,z∈O,s1,s2∈[t0,+∞)，存在一個(gè)常數(shù)N>0，且存在一個(gè)連續(xù)增加函數(shù)ω:[0,+∞)→[0,+∞),ω(0)=0，使得

4) 對(duì)任意的y∈O,t∈[t0,+∞)，有

5) 對(duì)每個(gè)k∈N0,x∈O,t∈[t0,+∞)，函數(shù)Fk:O×[t0,+∞)→G([t0?r,+∞),Rn)，如下給定

考慮到函數(shù)列φk∈T,k∈N0，使得在區(qū)間[?r,0]上有

若存在一個(gè)k∈N0，函數(shù)列yk是Fk的解如下形式

則存在一個(gè)函數(shù)y0∈O，使得在[t0,+∞)上有l(wèi)imk→∞‖yk?y0‖=0，則y0是F0的解如下形式

證明 由條件(H1)可知，定義的F積分存在，對(duì)任意的y∈O,t0≤s1

因此，對(duì)任意的y∈O,t0≤s1

由定義4及(H3)條件，如果y,z∈O,t0≤s1

由定理1知對(duì)每個(gè)x∈O,t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞Fk(x,t)=F0(x,t)，通過(guò)奧斯古德定理[6]，對(duì)每個(gè)x∈O,t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞Fk(x,t+)=F0(x,t+)，而且因?yàn)镮是閉子集即有F0(x,t)∈I.由前面證明可知，對(duì)每個(gè)k∈N0,Fk∈F(O×[t0,+∞),h,ω)，其中h是不減的左連續(xù)函數(shù)，且對(duì)

又因?yàn)閘imk→∞Fk(x,t)=F0(x,t)，則有F0∈F(O×[t0,+∞),h,ω)，對(duì)k∈N0,t∈[t0,+∞)，令

由xk的定義，對(duì)于t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞xk(t)=x0(t)，根據(jù)定理1，x0是

的解，故而確保y0滿足

因此，我們通過(guò)運(yùn)用廣義常微分方程與滯后型測(cè)度泛函微分方程的等價(jià)關(guān)系，得到了方程(2)的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性定理.

定理3 設(shè)I?G([t0?r,+∞),Rn)是閉子集，O?I是開(kāi)集，函數(shù)列Gk:O×[t0,∞)→Rn，對(duì)每一個(gè)k∈N0,(x,t)∈O×[t0,∞),Gk∈F(O×[t0,∞),h,ω)，有l(wèi)imk→∞Gk(x,t)=G0(x,t).若存在一個(gè)序列函數(shù)xk:[t0,+∞)→O,k∈N0,t∈[t0,+∞)，使

且對(duì)每個(gè)t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞xk(t)=x0(t)，則有

證明 由文獻(xiàn)[7]知對(duì)s1,s2∈[t0,+∞),k∈N0，有

顯然由定理1知

則Fk∈F(O×[t0,∞),h,ω)，故對(duì)k∈N0,[α,β]?[s1,s2]，有

從而，當(dāng)k→∞時(shí)，有

因h,h2正則的，故x0正則的，即x0是有界變差的.又

存在，則

因?yàn)?/p>

從而上式第二個(gè)積分當(dāng)k→∞時(shí)，一致收斂于0.又

因?yàn)閷?duì)k∈N0,s1,s2∈[t0,+∞)，有

其中

且

由于h2是不減函數(shù)，則h2是有界變差的，故是正則的，則對(duì)k∈N0,t∈[t0,+∞),Pk∈G([t0?r,+∞),Rn)，有l(wèi)imk→∞‖Pk(t)?P0(t)‖∞=0，因此，對(duì)s∈[t0,+∞),k∈N，令

定理4 設(shè)I?G([t0?r,+∞),Rn)是閉子集，O?I是開(kāi)集，g,u:[t0,+∞)→R是不減函數(shù)，T={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},f:T×[t0,+∞)→Rn滿足(H1)–(H3)，P:[t0,+∞)→Rn滿足(H4)和(H5)，G:O×[t0,+∞)→G([t0?r,+∞),Rn)由(13)給定，則有G∈F(O×[t0,+∞),h,ω)，其中h=h1+h2是不減的左連續(xù)函數(shù)，且

證明 由條件(H1)可知，定義的F積分存在，對(duì)任意的y∈O,t0≤s1

由條件(H4)可知，定義的P積分存在，故對(duì)任意的y∈O,t0≤s1

因此，由定理2知對(duì)任意y∈O，且t0≤s1

且有

同理，由定理2知，如果y,z∈O,t0≤s1

故對(duì)任意的y∈O，且t0≤s1

由定義4及(H3)條件知，如果y,z∈O,t0≤s1

定理5 設(shè)I?G([t0?r,+∞),Rn)是閉子集，O?I是開(kāi)集且具有延拓性質(zhì)，T={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},g,u:[t0,+∞)→R是不減的函數(shù)，函數(shù)列fk:T×[t0,+∞)→Rn,pk:[t0,+∞)→Rn,k∈N0滿足以下條件：

2) 對(duì)任意的y,z∈O,s1,s2∈[t0,+∞)，存在一個(gè)常數(shù)N>0且存在一個(gè)連續(xù)增加函數(shù)ω:[0,+∞)→[0,+∞),ω(0)=0，使得

3) 對(duì)任意的y∈O,t∈[t0,+∞)，有

5) 對(duì)每個(gè)k∈N0,s1,s2∈[t0,+∞)，存在一個(gè)常數(shù)K>0，使得

6) 對(duì)任意的y∈O,t∈[t0,+∞)，有

7) 對(duì)每個(gè)k∈N0,x∈O,t∈[t0,+∞)，函數(shù)Gk:O×[t0,+∞)→G([t0?r,+∞),Rn)，如下給定

函數(shù)Pk∈G([t0?r,+∞),Rn),k∈N0如下給定

則有

考慮到k∈N0,t∈[t0,+∞),Pk∈G([t0?r,+∞),Rn)，有

且存在函數(shù)列φk∈T,k∈N0，使得在區(qū)間[?r,0]上有l(wèi)imk→∞‖φk?φ0‖∞=0.

若存在一個(gè)k∈N0，函數(shù)列yk是Gk的解如下形式

則存在一個(gè)函數(shù)y0∈O，使得在[t0,+∞)上有l(wèi)imk→∞‖yk?y0‖=0，則y0是G0的解如下形式

證明 由定理1可知，對(duì)每個(gè)x∈O,t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞Fk(x,t)=F0(x,t)，且F0∈F(O×[t0,+∞),h,ω)，又有k∈N0,t∈[t0,+∞),Pk∈G([t0?r,+∞),Rn)，則有

從而P0∈G([t0?r,+∞),Rn)，故對(duì)每個(gè)x∈O,t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞Gk(x,t)=G0(x,t)，根據(jù)奧斯古德定理對(duì)每個(gè)x∈O,t∈[t0,+∞)，有l(wèi)imk→∞Gk(x,t+)=G0(x,t+)，而且因?yàn)镮是閉子集即有G0(x,t)∈I.由定理3和定理4知，對(duì)每個(gè)k∈N0,Gk∈F(O×[t0,+∞),h,ω)，其中h=h1+h2是不減的左連續(xù)函數(shù)，且

由limk→∞Gk(x,t)=G0(x,t)，則有G0∈F(O×[t0,+∞),h,ω)，對(duì)k∈N0,t∈[t0,+∞)，令

由xk的定義，對(duì)于t∈[t0,+∞)有l(wèi)imk→∞xk(t)=x0(t)，根據(jù)定理3和定理4，對(duì)任意的t∈[t0,+∞)，有

是廣義常微分方程

的解，故而確保y0滿足