淺談三種插值方法的研究與比較

華友情

（曲阜師范大學(xué)，山東 濟(jì)寧 273165）

一、拉格朗日插值

（一）拉格朗日插值原理與方法

定理1（拉格朗日插值原理）

（二）拉格朗日插值方法的實(shí)例應(yīng)用

當(dāng)x=3 時(shí),L(3)=0.0909 與精度解f(3)=0.090909 相比,存在小誤差,精度可以接受;

當(dāng)x=4.5 時(shí),L(4.5)=0.3809 與精度解f(4.5)=0.04494382 相比,誤差非常大,精度很低。因此,拉格朗日插值多項(xiàng)式便于理論推導(dǎo)和形式地描述算法,但不便于計(jì)算函數(shù)值。因?yàn)橛美窭嗜詹逯刀囗?xiàng)式Ln(x)計(jì)算函數(shù)近似值,如果精度不滿足,需增加節(jié)點(diǎn)時(shí),原來(lái)計(jì)算出的數(shù)據(jù)均不能利用，必須重新計(jì)算。為了克服這個(gè)缺點(diǎn),可以采用牛頓插值多項(xiàng)式方法,為了克服這種缺點(diǎn),可以采用牛頓插值多項(xiàng)式方法,這兩種方法是在拉格朗日插值的基礎(chǔ)上組合已知的計(jì)算值,提高計(jì)算效率,可達(dá)到加速計(jì)算。

二、牛頓插值

（一）牛頓插值原理與方法

定義2（差商）

定理2（牛頓插值原理）

根據(jù)差商的定義，將x 看作[a,b]上一點(diǎn)，可得

（二）牛頓插值方法的實(shí)例應(yīng)用

x=3 時(shí),Y(3)=0.0909 與精度解f(3)=0.090909 相比,存在小誤差。當(dāng)x=4.5 時(shí)發(fā)現(xiàn),Y(4.5)=0.044944 與精度解f(4.5)=0.04494382 相比,誤差也比較小。因此牛頓插值方法的精度比拉格朗日插值方法高。

將區(qū)間[-5,5]作10 等分,并將已知的11 個(gè)節(jié)點(diǎn)分成兩段,對(duì)兩段分別用5 次牛頓多項(xiàng)式插值,再進(jìn)行拼接。這與拉格朗日插值結(jié)果相比,在一定程度上克服了龍格現(xiàn)象,但是在拼接處存在尖端,光滑度不理想。

（三）三次樣條插值

定義3（三次樣條插值函數(shù)）