基于壓縮感知的液晶可調(diào)諧濾波器光譜快速采集方法

孫梽珅，張 旭，王宿慧，曹瑩瑩，郭騰霄，曹樹亞

（1.國民核生化災害防護國家重點實驗室，北京 102205；2.昆明物理研究所，云南 昆明 650223）

0 引言

基于液晶可調(diào)諧濾波器的高光譜成像設(shè)備具有成本低、體積小、可靠性高、環(huán)境適應性好等特點，且能夠在獲得目標的空間信息同時，也獲得對應的光譜信息，在軍事偵察、化學分析、醫(yī)療檢測等領(lǐng)域有一定的應用研究[1-3]。近年來受到了許多領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注，張海丹[4]等構(gòu)建了一套基于LCTF 的高光譜火焰成像系統(tǒng)，并基于該系統(tǒng)建立一個碳氫火焰三維溫度場和煙黑體積濃度場重建模型，并驗證了該模型的合理性，為火場情形科學性判斷及火場救災指揮提供了理論幫助；劉逸飛[5]等利用基于LCTF 的凝視型高光譜成像儀實現(xiàn)人臉活體檢測，驗證了使用高光譜成像技術(shù)解決人臉識別系統(tǒng)無法甄別人臉真假的問題，有效減小該系統(tǒng)受到三維面具、視頻或人臉照片等欺騙的可能性。朱思祁[6]等利用了基于LCTF 的高光譜成像設(shè)備結(jié)構(gòu)簡單、譜段范圍寬、適合探測靜止目標的特性，構(gòu)建了一套高光譜顯微系統(tǒng)，實現(xiàn)了生物醫(yī)學檢測應用，該系統(tǒng)能夠發(fā)現(xiàn)花粉中的特殊結(jié)構(gòu)，并能對胃癌細胞進行精確鑒別，其相關(guān)研究成果對高光譜顯微成像技術(shù)在生物檢測應用領(lǐng)域的發(fā)展有著積極的意義。

該類設(shè)備利用LCTF 實現(xiàn)連續(xù)可調(diào)諧濾波，在每一波長條件下，使用面陣探測器對目標窗口成像，最后融合為一組高光譜數(shù)據(jù)立方體，實現(xiàn)高光譜成像。但受成像機理和光學器件的限制，該組合設(shè)備成像時間較長，完成典型近紅外（900～1700 nm）波段濾波成像往往需要數(shù)十秒甚至數(shù)分鐘時間，大大限制了該類設(shè)備在一些有快速、實時檢測需求場景下的應用，無法滿足動態(tài)目標檢測和運動檢測的需求。

超分辨光譜重建可實現(xiàn)由低分辨率的光譜數(shù)據(jù)中得到高分辨率的光譜數(shù)據(jù)，這使得在使用LCTF 進行濾波時，可以在低采樣率情況下，超分辨率得到所需的高分辨率光譜信息。在保證超分辨率重建光譜質(zhì)量的前提下，可以減少LCTF 濾波通道數(shù)量，降低采樣時間，從而有效提高該類設(shè)備的光譜采集速度。

在信號處理領(lǐng)域，信號的采集需要遵循Nyquist 采樣定理，即采樣頻率應當大于信號中最高頻率的2 倍。對于基于LCTF 濾波的光譜采集系統(tǒng)來講，可近似認為，傳統(tǒng)采樣方法需要至少2 倍的最小特征峰半峰寬的濾波步長才能得到滿足可用于有效識別物質(zhì)的光譜信息。2006年，D.Donoho、E.Candès 及Tao[7-8]等總結(jié)提出了壓縮感知理論（Compressed Sensing，CS），該理論認為：如果信號是稀疏的或可壓縮的，則可以直接采集壓縮后的M個有效測量值，用以實現(xiàn)無失真或較低失真地重建原始信號，即得到滿足Nyquist 采樣定理的N個采樣值。根據(jù)該理論特點，在該理論框架內(nèi)，可實現(xiàn)高光譜數(shù)據(jù)的壓縮采集和重建，從而為在保證光譜準確性的前提下提高信息采集速度提供了思路。中國科學院大學汪琪[9]等仿真驗證了該思路在珍珠石目標光譜細節(jié)識別中的可應用性。

本文使用CS 理論進行光譜超分辨率重建，優(yōu)化構(gòu)建了CS 理論框架內(nèi)的要素矩陣，實驗驗證了光譜重建的可能性，比較了重建結(jié)果的識別性能，并找到一組重建效果較好的重建參數(shù)，提高了LCTF 高光譜數(shù)據(jù)的采集速度。

1 LCTF 光譜超分辨率重建方法

1.1 壓縮感知理論模型

壓縮感知理論中信號的采樣、壓縮編碼發(fā)生在同一個步驟，利用信號的稀疏性，以遠低于Nyquist采樣率的速率對信號進行非自適應的測量編碼。測量值并非信號本身，而是從高維到低維的投影值，從數(shù)學角度看，每個測量值是傳統(tǒng)理論下的每個樣本信號的組合函數(shù)，即一個測量值已經(jīng)包含了所有樣本信號的少量信息。解碼過程不是編碼的簡單逆過程，而是在盲源分離中的求逆思想下，利用信號稀疏分解中已有的重建方法在概率意義上實現(xiàn)信號的精確重建或者一定誤差下的近似重建，解碼所需測量值的數(shù)目遠小于傳統(tǒng)理論下的樣本數(shù)。

根據(jù)壓縮感知理論原理的數(shù)學表示，針對稀疏信號x，給出觀測模型y＝Φ×x，Tao[8]等證明了如果式中觀測矩陣Φ滿足約束等距理論（Restricted Isometry Property, RIP），則y可由x準確重建。又因重建目標x的維數(shù)遠高于欠采樣信號y，因此重建即為求欠定方程組y＝Φ×x的最優(yōu)解。由上可知，壓縮感知理論應用的重點在于兩個條件的滿足：信號x的稀疏性（sparsity）和觀測矩陣Φ符合RIP 理論要求[10]。另外，信號的稀疏性要求是近似的，若x在原信號域內(nèi)不是稀疏的，則可以對x在ψ的稀疏基上進行稀疏表示為：x＝ψ×s。將信號投影到稀疏域內(nèi)，稱ψ為稀疏基矩陣，s為稀疏系數(shù)，觀測模型則表示為y＝Φ×ψ×s。令Θ＝Φ×ψ，則通用表達式可寫為y＝Θ×s，稱Θ為傳感矩陣，該數(shù)學表達如圖1，2 所示。

圖1 觀測模型的數(shù)學表達示意圖Fig.1 Schematic diagram of the observation model’s mathematical representation

圖2 觀測模型的數(shù)學表達Fig.2 The mathematical representation of the observation model

至此，依據(jù)壓縮感知理論框架，就可以用一個與稀疏基矩陣ψ不相關(guān)的觀測矩陣Φ將變換所得高維信號投影到一個低維空間上，然后通過求解一個優(yōu)化問題就可以從這些少量的投影中以高概率重建出原信號。該理論為光譜超分辨率重建提供了理論支撐。

1.2 基于LCTF 高光譜成像系統(tǒng)的觀測模型

對于基于LCTF 的高光譜成像系統(tǒng)，將目標在波長λ處的反射光能量記為I0(λ)，鏡頭在波長λ處的透過率記為C(λ)，LCTF 在波長λ處的透過率記為T(λ)，相機傳感器在波長λ處典型量子效率為Q(λ)，則探測器的測量值S(λ)滿足：

又因探測器實際探測能量值為其響應范圍內(nèi)所有波長能量值的總和，即對式(1)中λ進行積分，由于LCTF 在實際應用中阻斷波段處仍無法避免地有極小的透過率，故我們以探測器的響應波長范圍作為積分波段。假定探測器的響應范圍為λ1和λ2，則LCTF 調(diào)諧波段為i時，探測器接收到的能量值為：

為便于分析，設(shè)定標系數(shù)K＝1，被積函數(shù)C(λ)T(λ)Q(λ)I0(λ)＝fi(λ)，積分原函數(shù)為Fi(λ)，將式(2)按牛頓-萊布尼茨公式寫為：

式中：n＝(λ2－λ1)/Δλ為求和的段數(shù)。對式(3)中原函數(shù)Fi在λ1＋kΔλ處的值進行Taylor 展開，展開點取λ1＋(k－1)Δλ，則有：

式中：Rn(λ1＋kΔλ)為n階Taylor 余項。由原函數(shù)的定義Fi′(λ)＝fi(λ)，并舍去二階以上展開余項和Taylor余項，則式(4)可寫為：

代入式(3)中，得到離散求和形式：

式中：函數(shù)Pi(λ)為鏡頭透過率函數(shù)C(λ)、LCTF 透過率函數(shù)Ti(λ)與探測器響應函數(shù)Q(λ)的乘積，可以看作是修正后的透過率函數(shù)o(Δλ)為Taylor 展開近似的舍入誤差。

從式(6)可以看出，在特定調(diào)諧譜段i下得到的測量值與待測目標光譜間的數(shù)學關(guān)系。其中未知量即為目標反射的光能量I0(λ)，其線性系數(shù)Pi(λ)是已知的，事先可以通過對鏡頭、LCTF 和探測器的定標測量得出，o(Δλ)忽略不計，等式左邊的Si即為探測器在LCTF對應濾波波段處的測量值。

為求解目標反射光能量I0中n個不同波長處的值，在不同LCTF 調(diào)諧波長處獲取傳感器的測量值，假設(shè)測量次數(shù)為m（m<

將上式整理后得：

式中：S為m×1 的測量值向量；I0為n×1 的目標反射光譜向量；o(Δλ)為誤差向量；P為m×n的系數(shù)矩陣。

至此，線性方程組(7)中，測量值m遠小于未知光譜構(gòu)成點數(shù)n，即該方程組中未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)，故引入壓縮感知理論框架，求解該欠定方程組。

1.3 基于壓縮感知方法的光譜超分辨率重建

根據(jù)CS 理論框架可知，使用CS 方法實現(xiàn)光譜超分辨率重建，需設(shè)計構(gòu)建適合目標物光譜特征的觀測矩陣Φ，稀疏矩陣ψ，以及尋找一種準確且快速的欠定方程組求解方法。在1.2 觀測模型的構(gòu)建理論推導中，可知矩陣P可作為CS 理論框架內(nèi)的觀測矩陣Φ。在CS 理論應用中常用的稀疏化方法有離散余弦變換（Discrete Cosine Transform，DCT），離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT），離散小波變換（Discrete Wavelet Transformation，DWT），快速沃爾什變換（Fast Walsh Transform，F(xiàn)WT）以及哈達瑪變換（Hadamard Transform，HT）等。使用通用性較強的DCT 將目標光譜信號稀疏化。即產(chǎn)生一個n×n的DCT 稀疏基矩陣D使得：

因此，式(7)可表示為：

在稀疏約束下求解x，即求解最優(yōu)化問題：

式中：l0范數(shù)為非0 值的個數(shù)，表示信號的稀疏程度。求解該方程組是一個NP 問題，常用貪婪迭代的方法求解。另一種方式，由Candès 等證明上述l0范數(shù)最小化問題在求解時近似等價于l1范數(shù)最小化問題，l1范數(shù)最小化問題求解可使用凸優(yōu)化的方法，文中選用凸優(yōu)化的方法求解欠定方程組的最優(yōu)解x。得到方程組的解x即為目標反射光譜經(jīng)過DCT 變換后的投影，根據(jù)式(8)得，Dx即為重建后的光譜I0。

2 LCTF 超分辨光譜重建實驗

2.1 LCTF 高光譜數(shù)據(jù)采集

搭建基于面陣式近紅外相機、LCTF、光學鏡頭和鹵素補光燈的高光譜數(shù)據(jù)采集平臺。平臺選用凌云TB-S640-GigE 型近紅外相機， 中達瑞和LCTFSWIR-15-20-S 型LCTF 以及Schneider Lens Componon-S 4.0/80 型號鏡頭，為彌補實驗中紅外環(huán)境弱導致的信噪比低的問題，設(shè)置了兩盞50 W 的鹵素燈對樣品進行紅外補光，采集平臺及環(huán)境如圖3所示。

圖3 高光譜數(shù)據(jù)采集平臺及實驗環(huán)境Fig.3 Hyperspectral data acquisition platform and experimental environment

選用化學戰(zhàn)劑沙林模擬劑甲基膦酸二甲酯（Dimethyl Methylphosphonate，DMMP）作為檢測目標物。用移液槍取600 μL DMMP 放入700 μL 微量比色皿中，將該比色皿置于標準白板前，根據(jù)鏡頭參數(shù)，將樣品及背景置于距高光譜成像系統(tǒng)1.5 m 處，并設(shè)置兩盞50 W 鹵素燈在距離樣品10 cm 處照射補光。設(shè)置LCTF 濾波范圍為1040～1700 nm，濾波步長為5 nm，相機曝光時間設(shè)置為1 ms，使用相機默認參數(shù)對LCTF調(diào)諧各波長下目標圖像進行采集，共得到133幅不同濾波波長下的目標灰度圖像，圖4中所示的是濾波波長在1050 nm 和1170 nm 處，半高寬15 nm 條件下，紅外相機采集到的背景和樣品灰度圖像，可以看出在吸收波長附近，目標物有明顯的紅外吸收。

圖4 高光譜平臺采集特征圖像Fig.4 Feature image collected by hyperspectral platform

將上述133 幅灰度圖像數(shù)據(jù)讀取并進行預處理，可得到中心指定樣品區(qū)域內(nèi)，每個像素點1040～1700 nm的光譜數(shù)據(jù)。為減少樣品區(qū)域數(shù)據(jù)奇點對重建結(jié)果的影響，將該區(qū)域像素進行了17 行4 列的柵格劃分，共得到68 塊區(qū)域，并以每塊區(qū)域內(nèi)所有像素點灰度值的平均值作為該塊區(qū)域的灰度值，再以行為單位，取每行各塊灰度值的中位數(shù)作為該行像素點的典型灰度值代表，并以此灰度值進行重建計算。

由于LCTF 透過率的限制，使得反射光能量未能達到探測器滿量程，故使用標準白板作為實驗背景，視其最大灰度值處反射率為1，以此將探測器的灰度值讀數(shù)轉(zhuǎn)換為光的反射率，即做了歸一化處理。

2.2 超分辨率重建方法設(shè)計及目標反射光譜重建

2.2.1 稀疏矩陣的設(shè)計

信號在某種表示方式下的稀疏性，是壓縮感知應用的理論基礎(chǔ)。本實驗中采用稀疏化能力較強且無需先驗信息的DCT 離散余弦變換對目標反射光譜進行稀疏化。假設(shè)目標重建光譜數(shù)據(jù)點個數(shù)（分辨率）為n，則隨機生成一匹配信號數(shù)量級的n×n的DCT 系數(shù)矩陣D。圖5為5 nm 步長下全采樣反射光譜及其在DCT 變換后的信號譜圖，可以看出原始信號向量左乘稀疏矩陣D后，得到的信號是稀疏的。

圖5 DCT 變換前后信號對比Fig.5 Comparison of signals before and after DCT transform

2.2.2 觀測矩陣的設(shè)計

本實驗中觀測矩陣的設(shè)計同時也代表著相應采集方法的實現(xiàn)，根據(jù)前文理論分析可知，由鏡頭透過率曲線、LCTF 的透過率曲線和探測器量子響應效率的乘積得到的矩陣P可作為CS 理論框架中的觀測矩陣。在本實驗中，根據(jù)欠采樣時的采樣波段和重建目標分辨率n，選取對應波段行中目標分辨率列的向量組成參加計算的觀測矩陣P。

2.2.3 目標反射光譜重建

根據(jù)廠家提供的鏡頭、LCTF 各波段的透過率以及探測器對各波段的量子響應效率得到完備的測量矩陣。本實驗使用了凸優(yōu)化算法中的基于1 范數(shù)最小的求解算法，使用Cvx 凸優(yōu)化工具箱[11]對方程進行求解。

2.3 重建實驗及評價方法

2.3.1 重建實驗設(shè)計

使用自主搭建的LCTF 高光譜成像系統(tǒng)進行1 nm步長的樣品數(shù)據(jù)采樣，得到DMMP 目標樣品在1040～1700 nm 波長范圍內(nèi)的光譜曲線。然后以5 nm 間隔從15～100 nm范圍內(nèi)共選擇了18種不同的等間距采樣步長，基于上述采樣方式得到的樣本數(shù)據(jù)進行目標分辨率分別為1.60 nm、3.21 nm 和4.81 nm 三種符合識別分辨率要求的光譜重建，并對不同參數(shù)組合的重建性能進行了評價。找到一組相對較好的重建參數(shù)，構(gòu)建一套具有可行性的LCTF 高光譜快速成像方法。

2.3.2 重建結(jié)果評價方法

對于重建結(jié)果，從識別性能和誤差參數(shù)兩方面對其進行評價。

識別性能方面，使用全局相關(guān)系數(shù)對其進行評價，類比現(xiàn)有使用測量光譜與數(shù)據(jù)庫標準光譜間相關(guān)系數(shù)劃定閾值的識別方法，計算了完整波段范圍內(nèi)重建光譜與傳統(tǒng)全采樣光譜之間的相關(guān)系數(shù)，該系數(shù)取值范圍在0～1 之間，相關(guān)系數(shù)越大代表兩光譜越相似，有利于提高判斷閾值，從而提高識別的準確性。

誤差參數(shù)方面，引用了圖像超分辨率重建評價工作中通常使用的峰值信噪比作為評價標準。PSNR 是一種常用的客觀指標，通常用來衡量有損變換的圖像質(zhì)量。類比圖像重建領(lǐng)域的PSNR 定義，在光譜重建中，通過反射光譜的最大反射系數(shù)L和均方誤差（Mean Squared Error，MSE）定義，PSNR 與重建光譜的MSE 的對數(shù)成反比。假設(shè)全采樣光譜離散數(shù)據(jù)I和重建光譜數(shù)據(jù)?I，兩者的光譜采集點個數(shù)（即分辨率）都是N，MSE 和PSNR（dB）定義如下：

式中：對于同一款探測器L是固定值，為探測器的光譜取值范圍，本實驗選用的近紅外相機對光譜表示為14 bit，取值范圍為0～16383，則L值為16383，從公式中可看出，L一定，PSNR 只與重建光譜的MSE 有關(guān)，且MSE 越小，PSNR 越大，說明光譜重建質(zhì)量越好。

2.3.3 結(jié)果評價

使用近紅外光譜進行目標物識別，一般要求光譜分辨率不大于5 nm，以觀察分辨物質(zhì)種類的特征峰。受到定標儀器分辨率的限制，符合使用需求的先驗矩陣分辨率只有1.60 nm，3.21 nm 和4.81 nm 三種。如圖6所示，將不同采樣步長得到的樣本，對應不同目標分辨率的重建效果及時間繪制成圖。根據(jù)圖6中(a)、(b)兩圖的對比分析，首先找到圖(a)中PSNR 較高的重建參數(shù)點，參考該參數(shù)條件下圖(b)中的重建時間，在重建時間相差不大的前提下，盡可能選擇重建光譜PSNR 值高的參數(shù)組合作為待選采樣方法。據(jù)此，選擇了圖中標注的6 組采樣參數(shù)進行進一步比較和分析。

圖6 對比選擇合適的重建分辨率和采樣分辨率Fig.6 Comparison and selection the appropriate reconstruction resolution and sampling resolution

實際上，需要在保證光譜重建質(zhì)量的前提下，盡可能提高采樣速度，故優(yōu)先評價重建光譜質(zhì)量。由圖7所示的重建光譜識別性能評價，在采樣步長30 nm，重建分辨率4.81 nm 時，重建光譜與全采樣光譜相關(guān)系數(shù)最高，達到0.91，且與其他參數(shù)條件下的重建光譜相比，特征峰位相對更準確，故認為該組為較好的重建參數(shù)。重建光譜誤差參數(shù)評價，在該組重建參數(shù)下，重建光譜PSNR 值第二高，達到99.63 dB。故在優(yōu)先考慮光譜重建質(zhì)量的前提下，均衡主客觀評價結(jié)果，我們認為在采樣步長30 nm，重建分辨率4.81 nm參數(shù)組合情況下，有著較好的光譜重建質(zhì)量。

圖7 不同參數(shù)下的原始光譜與重建光譜對比Fig.7 Comparison of original and reconstructed spectrum under different parameters

根據(jù)LCTF 廠家提供的數(shù)據(jù)，其調(diào)諧波長時所需液晶穩(wěn)定時間最少為200 ms，設(shè)置相機曝光時間為1 ms，可計算出按4.8 nm 步長采集1040～1700 nm 波長范圍的高光譜數(shù)據(jù)時，完成一次采集所需時間約為27.54 s。使用該方法重建得到4.81 nm 分辨率的高光譜數(shù)據(jù)時，所需采集步長為30 nm，完成一次采集所需時間約為4.42 s，再需0.56 s 完成光譜重建，總耗時約為4.98 s。因此，使該套系統(tǒng)采樣時間為傳統(tǒng)方式達到同樣分辨率所需采樣時間的18.08%，速度約為傳統(tǒng)采集方法的5.53 倍。由此可見，此參數(shù)采集條件下，該方法能夠在保證光譜質(zhì)量的前提下實現(xiàn)快速采集。

3 結(jié)論

本文利用壓縮感知原理構(gòu)建了一種光譜超分辨率重建模型，提出了一種適用于LCTF 光譜成像系統(tǒng)的快速采集方法，并通過實驗驗證了該方法的可行性。鑒于該方法可在保證光譜質(zhì)量的前提下，實現(xiàn)光譜數(shù)據(jù)的快速、輕量化采集，為LCTF 光譜成像設(shè)備在測量動態(tài)目標和快速檢測等方向的應用提供了可行的應用手段，對LCTF 光譜成像設(shè)備在更多領(lǐng)域的應用提供了可行性。