突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型

張晉 顧文立

荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出：數(shù)學(xué)概念的建設(shè)方法，從典型的通過外延描述的抽象化，進(jìn)而轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)公理系統(tǒng)的抽象化，承認(rèn)隱含形式的定義。數(shù)學(xué)教育本身是個(gè)過程，它不僅是傳授知識(shí)，更重要的是在教學(xué)過程中，讓學(xué)生自己親身實(shí)踐，而抓住其發(fā)展規(guī)律，學(xué)會(huì)抽象化、形式化的方法。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間界限的日趨消失，一貫奉為嚴(yán)密性的典范的幾何，表面上看來似乎已經(jīng)喪失了昔日的地位，實(shí)質(zhì)上正是幾何直觀在各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間起著聯(lián)絡(luò)的作用;正如康德（Kant）所說：沒有概念的直觀是無用的，沒有直觀的概念是盲目的。

大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的概念和問題，都有著一定的幾何背景，有關(guān)問題的解決，也常常依賴于頭腦中能否出現(xiàn)清晰的n維空間甚至無限維空間的直觀形象，或是找到適當(dāng)?shù)膸缀谓忉?，幾何形象常常?dǎo)致問題解答的途徑。

倒數(shù)是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的一個(gè)內(nèi)容。下面是我對(duì)于景山版教材五年級(jí)上冊(cè)《倒數(shù)》一課的反思。

1我的思考

1.1只為“除以一個(gè)數(shù)相當(dāng)于，乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”這樣的一句話

倒數(shù)的認(rèn)識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘法，即將要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法前的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)?？梢钥醋魇欠?jǐn)?shù)乘法與除法知識(shí)間的一個(gè)銜接，起到了承上啟下的作用。我們?cè)谡J(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)除法時(shí)，最終會(huì)用一句話來概括：“除以一個(gè)數(shù)相當(dāng)于，乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)?！睘榱诉@句話，我們必須要講倒數(shù)，而且需要學(xué)生熟練掌握求一個(gè)數(shù)倒數(shù)的方法。主要是為了解決分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算問題。以往教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)的感覺：倒數(shù)就像是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)除法的“序曲，認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在于求一個(gè)數(shù)倒數(shù)的方法，倒數(shù)的含義重視不夠。重視程度不如分?jǐn)?shù)乘法意義和分?jǐn)?shù)除法的意義。而且教學(xué)過程中，也會(huì)將練習(xí)求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)作為教學(xué)的重點(diǎn)，幾乎要把倒數(shù)的認(rèn)識(shí)看成一節(jié)純技能課了。

通過對(duì)教材的研究，發(fā)現(xiàn)倒數(shù)屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的概念。從認(rèn)識(shí)到應(yīng)用幾乎都沒有離開數(shù)與代數(shù)的研究范圍。我想倒數(shù)是不是只能局限于此呢？倒數(shù)的概念——“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”從變量的角度來思考，乘積是1的兩個(gè)量互為反比例。如果理解為反比例的關(guān)系，反比例關(guān)系的特征是否能初步探究一下呢？分析到這，我很想利用反比例關(guān)系來從圖形的角度來突出“倒數(shù)”是兩種變量的一種關(guān)系。從數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域來理解是不是就足夠充分了，是否可以從幾何的領(lǐng)域中獲得不同的感受和認(rèn)識(shí)呢？接著又想到了乘法模型中的矩形模型。借助長(zhǎng)方形面積和長(zhǎng)、寬的關(guān)系，從幾何的層面理解倒數(shù)關(guān)系。這樣學(xué)生對(duì)倒數(shù)的理解會(huì)更加飽滿，而且加深了“互為”倒數(shù)的理解。利用多元表征不僅可以解決教學(xué)中的難點(diǎn)，而且還可突出難點(diǎn)。比如教學(xué)0沒有倒數(shù)的時(shí)候，我們以往的做法更多的是利用0與任何數(shù)乘積都不為1來解釋，或者用[10]沒有意義來解釋0沒有倒數(shù)的。這樣的理解優(yōu)點(diǎn)是很嚴(yán)謹(jǐn)，但是缺少直觀性。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很重視數(shù)形結(jié)合，在倒數(shù)的問題上，我想嘗試著將矩形模型加入本節(jié)課中來，幫助學(xué)生感受利用數(shù)形結(jié)合研究關(guān)系的魅力。

1.2對(duì)比教材后的思考

1.2.1分?jǐn)?shù)除法單元的對(duì)比

對(duì)景山版教材與人教版教材進(jìn)行了對(duì)比。首先景山版教材和人教版教材（2014版）都將“認(rèn)識(shí)倒數(shù)”安排在分?jǐn)?shù)除法單元的第一課時(shí)。新版人教版教材（2014版）將“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”由原實(shí)驗(yàn)教材的“分?jǐn)?shù)乘法”單元移到“分?jǐn)?shù)除法”單元，并獨(dú)立成一節(jié)，作為分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的準(zhǔn)備內(nèi)容?？梢娬J(rèn)識(shí)倒數(shù)對(duì)于理解分?jǐn)?shù)除法的重要性。提到“分?jǐn)?shù)除法”它又是整個(gè)單元的教學(xué)重點(diǎn)。單元教學(xué)目標(biāo)中明確提出：要讓學(xué)生經(jīng)歷探究方法——明確算理——總結(jié)算法的過程。在這一過程中，由具體題目的計(jì)算到一般方法的抽象概括，在理解算理的基礎(chǔ)上歸納算法，培養(yǎng)學(xué)生的概括總結(jié)能力。為了使學(xué)生參與探索分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法的過程中有所發(fā)現(xiàn)，有所感悟。教師要利用直觀手段，給學(xué)生充分提供動(dòng)手的機(jī)會(huì)和時(shí)間，讓更多的學(xué)生在操作、觀察的過程中，憑借直觀，理解算理，發(fā)現(xiàn)算法。要提高教學(xué)活動(dòng)的有效性，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合，邊操作，邊觀察，邊思考，并通過討論、交流，在理解的基礎(chǔ)上總結(jié)和掌握算法。

1.2.2“倒數(shù)”的對(duì)比

人教版教材對(duì)于倒數(shù)的認(rèn)識(shí)首先給出四個(gè)乘積是1的乘法算式，提出問題：“先計(jì)算，再觀察，看看有什么規(guī)律”。人教版教材是把倒數(shù)看作一種規(guī)律來研究和討論的。學(xué)生在觀察規(guī)律后會(huì)發(fā)現(xiàn)“兩個(gè)數(shù)相乘的積都是1”和“兩個(gè)因數(shù)分子、分母的位置顛倒了”的特征。從而形成“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)?！钡母拍?。然后對(duì)于互為倒數(shù)進(jìn)行了舉例說明。接著還讓學(xué)生想一想“互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)有什么特點(diǎn)？”突出倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的一種關(guān)系。在解決了以上研究后，才出現(xiàn)正式的例題部分，進(jìn)行“下面哪兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)？”的研究。例題主要解決求一個(gè)數(shù)倒數(shù)方法的問題，整個(gè)過程中一直在強(qiáng)化倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的一種關(guān)系。沒有完全脫離開倒數(shù)的概念，去單獨(dú)研究求一個(gè)數(shù)倒數(shù)的方法。

1.2.3變化

根據(jù)兩版教材的對(duì)比。我初步感覺倒數(shù)概念的理解對(duì)于學(xué)生來說，并不難。發(fā)現(xiàn)求一個(gè)數(shù)倒數(shù)的方法，掌握求一個(gè)數(shù)（分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)）倒數(shù)的一般方法，不是很困難的事情。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具有分?jǐn)?shù)（還包括百分?jǐn)?shù)）、小數(shù)、整數(shù)的互化能力。而對(duì)于1的倒數(shù)是1，0沒有倒數(shù)的理解，也完全可以利用代數(shù)思想來完成解釋。根據(jù)對(duì)于教材的分析和個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)我初步判斷，對(duì)于學(xué)生來說“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”真正難點(diǎn)在于倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的一種關(guān)系。

1.3學(xué)生調(diào)研后的思考

調(diào)研題目：根據(jù)要求填空。

（? ? ）×（? ? ）=1? ?（? ? ）×（? ? ）=1? ? （? ? ）×（? ? ）=1

（? ? ）×（? ? ）=1? ?（? ? ）×（? ? ）=1? ? （? ? ）×（? ? ）=1

調(diào)研結(jié)果：

30名學(xué)生做對(duì)的有28人，正確率較高。所有學(xué)生中，有16位同學(xué)寫了“1×1=1”的例子。寫錯(cuò)的2個(gè)學(xué)生，一個(gè)是“0×1=1”錯(cuò)了一個(gè)問題。還有一個(gè)學(xué)生六道題都寫成一個(gè)數(shù)與1相乘的形式。

觀察發(fā)現(xiàn)學(xué)生寫出的算式，更多的是根據(jù)乘法中，一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大幾倍，要使乘積不變另一個(gè)因數(shù)就縮小幾倍的規(guī)律來寫的。教學(xué)中要幫助學(xué)生明確倒數(shù)首先是在研究?jī)蓚€(gè)數(shù)間的關(guān)系，而乘積是1是互為倒數(shù)的條件（避免出現(xiàn)孤立研究一個(gè)個(gè)數(shù)字的情況）。

2實(shí)踐

經(jīng)歷上述問題的思考，從以下兩個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐：一是教學(xué)內(nèi)容方面，從倒數(shù)概念本身進(jìn)行細(xì)化;二是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施方面，進(jìn)行課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)施，落實(shí)知識(shí)與技能目標(biāo)的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展。

2.1從倒數(shù)概念本身進(jìn)行細(xì)化

乘積是1是倒數(shù)的特征，圍繞“什么樣的兩個(gè)數(shù)乘積是1呢？”展開研究。在不限定學(xué)生研究對(duì)象是什么數(shù)的情況下，學(xué)生可以自由選擇研究對(duì)象（可以使分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)）。這樣更能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，可以照顧不同水平學(xué)生的認(rèn)知水平。在匯報(bào)過程中，分層匯報(bào)“分?jǐn)?shù)——整數(shù)——小數(shù)”。突出分?jǐn)?shù)模型的重要性。

2.2課堂結(jié)構(gòu)重組——課堂教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施

總之，倒數(shù)的認(rèn)識(shí)這節(jié)課要體現(xiàn)出倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的一種特殊關(guān)系（反比例關(guān)系），要充分理解倒數(shù)的意義;明確互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)它們的特征。在認(rèn)識(shí)倒數(shù)的過程中，突出倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)間的關(guān)系和滲透模型思想作為這節(jié)課的核心。

3感受

“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”強(qiáng)調(diào)了倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)間的關(guān)系。我的教學(xué)設(shè)計(jì)中，重視倒數(shù)關(guān)系的感受和理解。不僅從數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域來理解互為關(guān)系，還從圖形與幾何領(lǐng)域獲得感受和理解。利用乘法模型中的矩形模型：借助長(zhǎng)方形面積和長(zhǎng)、寬的關(guān)系，從圖形變化的角度理解兩個(gè)數(shù)之間互為倒數(shù)的關(guān)系。學(xué)生對(duì)倒數(shù)的理解更加飽滿，對(duì)“互為倒數(shù)”的理解也會(huì)更加深刻。

借助幾何直觀幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，并提高了學(xué)生的模型思想。以往在學(xué)生認(rèn)識(shí)0沒有倒數(shù)的時(shí)候，最常用的方式是利用0與任何數(shù)乘積都不為1來解釋，或者用[10]沒有意義來解釋0沒有倒數(shù)。我重視借助圖像來理解0沒有倒數(shù)，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)有無限多（幫助學(xué)生體會(huì)幾何直觀的價(jià)值）。培養(yǎng)學(xué)生從變量的角度來思考，乘積是1的兩個(gè)量成反比例關(guān)系（不對(duì)反比例關(guān)系進(jìn)行解釋，只是初步感知）。利用反比例圖像的特點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生從圖像中感受“變”與“不變”更直觀的體會(huì)倒數(shù)關(guān)系，加深對(duì)互為倒數(shù)的理解。此環(huán)節(jié)的比重不大，但幫助學(xué)生深刻理解互為倒數(shù)的關(guān)系，會(huì)起到重要的作用。