追本溯源 返璞歸真

馬杏開

[摘? 要] 文章圍繞著新課程理念，從剖析近年中考數(shù)學(xué)題著手，鉆研、探究和論述中考壓軸題型的特點和規(guī)律，梳理解題思路，歸結(jié)解題規(guī)律，演繹解題思想，培育學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新思想，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 關(guān)注;中考;新課程;創(chuàng)新

新課標(biāo)指出“如何從關(guān)注知識傳授轉(zhuǎn)向兼顧知識建構(gòu)與問題解決相結(jié)合，并最終體現(xiàn)為人的全面發(fā)展”，確立以“學(xué)生發(fā)展為本”的課改理念根本. 隨著素質(zhì)教育改革的日益深化，在新理念的指引下，以學(xué)科素養(yǎng)和核心價值為核心，突出基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的創(chuàng)新綜合題型不斷涌現(xiàn)，命題也呈現(xiàn)了新的走勢和趨向，充分展現(xiàn)了中考的指導(dǎo)功能和作用，也切實體現(xiàn)了“以知識建構(gòu)為特征，滲透核心素養(yǎng)”的課標(biāo)理念. 因而，探索中考命題的熱點與趨向，對今后的中考備考工作具有積極的指導(dǎo)作用和深遠(yuǎn)的意義.

試題呈現(xiàn)——似曾相識燕歸來

1. 中考試題呈現(xiàn)

（廣東中考）如圖1，AB是⊙O的直徑，AB=4 ，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連結(jié)CB.

（1）求證：CB是∠ECP的平分線;

（2）求證：CF=CE;

（3）當(dāng) = 時，求劣弧 的長度. （結(jié)果保留π）

此題是中考壓軸題以圓為背景，涉及切線的性質(zhì)、等角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、弧長的計算等考點，題目結(jié)構(gòu)合理，特色鮮明，內(nèi)容扼要簡明，考查層次明晰，強(qiáng)調(diào)雙基的考查，又關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法. 在考查方向上，體現(xiàn)注重基礎(chǔ)、突出能力的特點;在考查內(nèi)容上，彰顯基礎(chǔ)性和綜合性;在知識立意上，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和處理問題的能力;在考查層次上，可充分展現(xiàn)差異水平的學(xué)生本身的不同探究水平，可信度、區(qū)分度清晰，較好地體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)的選拔功能.

2. 課本習(xí)題再現(xiàn)

在數(shù)學(xué)課本102頁（人教版九年級上冊“圓”），AB是⊙O的直徑，AE交⊙O于點E，且與⊙O的切線CD互相垂直，垂足為D. 求證：AC平分∠DAB.

試題初看與課本習(xí)題很相似，給人的感覺是彰明較著、一目了然，試題內(nèi)容以圓為背景，切入問題容易，以幾何知識點為介質(zhì)，承載基本知識、基本技能、基本思想方法為一體，指引學(xué)生從問題的基本條件入手，讀圖分析、合情推理，考查學(xué)生的基本推理證明與計算，問題能較好地激發(fā)學(xué)生做題的興趣和參與性.

試題分析——平淡無奇道本質(zhì)

問題難度適中，自身起點低、梯度分明，有利于幫助學(xué)生抓住知識的核心思想，體會成功的喜悅. 通過三個不同的設(shè)問，無論是在問題內(nèi)容的展現(xiàn)方式上，還是在解題思路的探究過程中，試題始終貫穿結(jié)構(gòu)性、過程式教學(xué). 一方面要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)基本思維過程，降低學(xué)生的思維層次;另一方面既要重視呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的生成過程，遵循數(shù)學(xué)思維發(fā)展基本規(guī)律，又要充分反映數(shù)學(xué)基本思維的結(jié)構(gòu)特征，提倡新課程所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本教學(xué).

1. 小試牛刀，初嘗勝果

在第（1）問中，利用已知條件切線PF和CE⊥AB，易得∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，再通過半徑相等OC=OB，得∠OCB=∠OBC，所以∠BCE=∠BCP，所以BC平分∠PCE. 也可通過逆向思維來找出所需的條件，這里條件包含了題目給出的“顯性”條件切線PF、 CE⊥AB和“隱性”條件半徑相等OC=OB，需要學(xué)生聯(lián)系圖形的特征并結(jié)合以上條件綜合“顯性”和“隱性”兩條主線來分析.

這里著重考查了學(xué)生的“雙基”（基本知識和基本技能），思路簡明扼要，背景熟諳，易找準(zhǔn)解題的“突破口”，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由表及里，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，極大地激發(fā)學(xué)生解決問題的積極性和主觀能動性.

2. 歸納思路，全等來造

在第（2）問中，欲證明CF=CE，思路主要有以下兩種：

方法1：只需要添加輔助線AC，構(gòu)造全等.

方法2：利用角平分線的性質(zhì)定理可證. 由方法1中∠ACF =∠ACE得∠CAF =∠CAE，因為∠AFC =∠AEC=90°，所以CF=CE.

這里考查了學(xué)生的基本思想方法和基本思維能力，思路清晰簡單，學(xué)生較易找對解題的“切入點”，通過第（1）（2）問的前因后果，反映知識間的串聯(lián)關(guān)系，尋求“通性通法通解”，體現(xiàn)常規(guī)的解題思路和分析方法，使問題漸進(jìn)明晰，熟練掌握知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而提高解題的效率，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心.

3. 構(gòu)造相似模型，突顯數(shù)學(xué)思想

在第（3）問中，通過作BM⊥PF于M（如圖2），則CE=CM=CF（兩對全等三角形△ACF≌△ACE，△CBM≌△CBE）. 設(shè)CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，構(gòu)造相似直角三角形△BCM∽△PBM∽△PCB，利用相似三角形的相似比算出BM，由tan∠BCM=BM∶CM= ∶3，所以∠BCM=30°，利用弧長公式可解答.

在最后一問的解答中，需要讓學(xué)生了解解題的策略，不要指望一步就能解決問題，應(yīng)耐心結(jié)合題目的條件和結(jié)論以及前面已有的結(jié)論來尋找思路，通常圓的解答離不開全等、相似、三角函數(shù)、勾股定理的知識綜合運用.

課本的習(xí)題中，題設(shè)與結(jié)論之間有著密切的聯(lián)系，需要我們對其加以挖掘、鋪墊、拓展延伸，形成問題鏈，一探到底，幫助學(xué)生吃透問題的本質(zhì)，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在“習(xí)題”中思維，在“習(xí)題”中發(fā)現(xiàn)，在“習(xí)題”中總結(jié)，在“習(xí)題”中反思，加強(qiáng)學(xué)生的探索認(rèn)知和創(chuàng)新意識，培育學(xué)生的思維能力，最終促成教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”雙向良性發(fā)展.

相似試題展現(xiàn)——為有源頭活水來

史寧中教授提出：“基于‘四基的數(shù)學(xué)教學(xué)就是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué).”問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，也是數(shù)學(xué)思維的起點.

1. 改變位置方式，命題同質(zhì)化

例1 （湘西州中考）如圖3所示，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，AD⊥PC，垂足為D，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連結(jié)AE.

（1）求證：∠CAB=∠CAD;

（2）求證：PC=PF;

（3）若tan∠ABC= ，AE=5 ，求線段PC的長.

2. 改變基本圖形，命題多維化

例2 （福州模擬）如圖4，在⊙O中，點P為直徑BA延長線上一點，直線PD切⊙O于點D，過點B作BH⊥PD，垂足為H，BH交⊙O于點C，連結(jié)BD.

（1）求證：BD平分∠ABH;

（2）如果AB=10，BC=6，求BD的長;

（3）在（2）的條件下，當(dāng)E是 的中點，DE交AB于點F，求DE·DF的值.

張奠宙先生說過：“沒有問題的數(shù)學(xué)教學(xué)，不會有火熱的思考. ”以課本的例題、習(xí)題作為“基準(zhǔn)點”和“切入點”，并以此為“生長點”“發(fā)展點”，通過變式教學(xué)可以將“源問題”轉(zhuǎn)換成“子問題”，衍生出新方向和新思維. 基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”和認(rèn)知基礎(chǔ)，以學(xué)科知識單元進(jìn)行科學(xué)設(shè)計，以高階思維訓(xùn)練為準(zhǔn)則，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)為根本，進(jìn)行深度教研，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開闊學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和創(chuàng)新能力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)技能與思維得以培養(yǎng)和發(fā)展，全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

結(jié)束語——滿架薔薇一院香

針對同一知識點，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情境載體來類比變式，通過引導(dǎo)學(xué)生從問題之間的聯(lián)系和區(qū)別來認(rèn)識和思考問題，把握問題的本質(zhì)，以微知著，融會貫通，從而使教學(xué)個性化發(fā)展充滿智慧與靈氣，使學(xué)生學(xué)習(xí)充滿激情和能量，真正實現(xiàn)“源頭活水”的最大資源化.

就題講題，教學(xué)枯燥，創(chuàng)新處理，師生活躍. 課本上例題、習(xí)題的權(quán)威性和示范性無疑是創(chuàng)新的源泉. 在課堂教學(xué)中，以“一例一變一拓展”的模式，圍繞一定的目標(biāo)或以核心內(nèi)容為線索，剖析例題蘊含的多種方法背景下深度學(xué)習(xí)方式的高階思維訓(xùn)練，將難度較大的問題依照知識、能力、思維層次拆分成相關(guān)的多個問題，在以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的師生對話下充分展示學(xué)生的語言組織表述能力、邏輯思維能力，這是知識生成的再現(xiàn)過程，是思維創(chuàng)新的展現(xiàn)過程，也是大智慧課堂設(shè)計的實現(xiàn)過程，更是教師在處理教材時的高效整合和先進(jìn)理念的融合. 同時將題目之間的共性及本質(zhì)的東西進(jìn)行提煉、概括、升華，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)積極性，開闊視野、豐富思維，從而培養(yǎng)學(xué)生積極探究的精神和創(chuàng)新的能力，達(dá)到舉一反三，觸類旁通的目的.