“做數(shù)學(xué)”對(duì)初中生邏輯推理與直觀想象影響的實(shí)驗(yàn)研究①

段偉 東方 陳仲華

摘要：邏輯推理和直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分。以江蘇省南京市某重點(diǎn)中學(xué)七年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生作為被試，以教學(xué)方法為自變量，邏輯推理和直觀想象能力為因變量，進(jìn)行“做數(shù)學(xué)”的研究。研究表明，通過“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)方式，實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組的后測成績存在顯著差異，即實(shí)驗(yàn)組學(xué)生的邏輯推理與直觀想象水平有了明顯的提高，從而在一定程度上揭示出“做數(shù)學(xué)”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);邏輯推理;直觀想象

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出了六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，會(huì)在教育理念、教育目標(biāo)、教學(xué)模式、教學(xué)評(píng)價(jià)等方面引發(fā)重大變革，培育學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)將成為時(shí)代賦予教育的重要任務(wù)。

新課標(biāo)對(duì)邏輯推理和直觀想象做了明確的界定。邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物。

關(guān)于邏輯推理的研究，分為演繹推理與合情推理兩個(gè)方面，涉及邏輯推理的發(fā)展與邏輯推理的培養(yǎng)。

林崇德將中學(xué)生論證推理能力劃分為四個(gè)水平：直接推理水平、間接推理水平、迂回推理水平、按照一定數(shù)理邏輯格式進(jìn)行綜合性推理的水平。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，七年級(jí)和八年級(jí)、高一年級(jí)和高二年級(jí)之間的差異均達(dá)到了顯著的水平，八年級(jí)和高二年級(jí)是中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)（關(guān)鍵時(shí)期）。① 孫敦甲研究發(fā)現(xiàn)，中學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的發(fā)展是從形象抽象思維到形式抽象思維，最后向著辯證抽象邏輯思維發(fā)展;八年級(jí)與九年級(jí)、九年級(jí)與高一年級(jí)、高一年級(jí)與高二年級(jí)之間的差異均達(dá)到了非常顯著的水平。② 武錫環(huán)等人使用“定義規(guī)則型問題”對(duì)初中生演繹推理能力的研究顯示，三個(gè)年級(jí)的結(jié)果呈直線上升趨勢，年級(jí)之間的差異都是顯著的。③

多項(xiàng)研究表明，中學(xué)也是學(xué)生歸納思維快速發(fā)展的時(shí)期。武錫環(huán)等人將信息表征、歸納識(shí)別、形成猜想、假設(shè)檢驗(yàn)確定為歸納推理的四個(gè)重要影響因素，并據(jù)此編制測試題。在初中三個(gè)年級(jí)施測的結(jié)果顯示，總體而言，七年級(jí)、八年級(jí)學(xué)生差別不大，而八年級(jí)、九年級(jí)學(xué)生則差異顯著。這說明，八年級(jí)是歸納推理能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。④ 黃煜烽等人對(duì)七年級(jí)、九年級(jí)和高二年級(jí)學(xué)生歸納推理能力的研究也顯示，八年級(jí)是學(xué)生歸納推理能力迅速發(fā)展的時(shí)期，而七年級(jí)學(xué)生的歸納推理還依賴于具體經(jīng)驗(yàn)的支持，往往體現(xiàn)為枚舉而非得到新的含義。⑤Csapo的研究表明，三年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備了一定的歸納推理能力;低年級(jí)得分的標(biāo)準(zhǔn)差較大，原因是少數(shù)學(xué)生在早期就具備較強(qiáng)的歸納推理能力;五到七年級(jí)是歸納推理能力發(fā)展最迅速的時(shí)期，九年級(jí)后發(fā)展速度明顯放緩。⑥

唐慧琳和劉昌采用雙因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，發(fā)現(xiàn)工作記憶是影響類比推理的重要因素：在圖形類比推理中，主要有視空間模板中的空間成分、語音回路中的發(fā)音成分以及中央執(zhí)行器的參與;而在言語類比推理中，則是視空間模板中的空間成分起主要作用。⑦

林崇德等人對(duì)小學(xué)生圖形推理策略的研究表明，不同年齡段的小學(xué)生在解決圖形推理問題時(shí)的直觀想象能力是不同的，一般是隨年齡增長而呈上升趨勢，但有幾個(gè)關(guān)鍵時(shí)期。小學(xué)二年級(jí)開始出現(xiàn)直觀想象能力發(fā)展的飛躍，而五、六年級(jí)更能夠不受題目形式的影響，開始從本質(zhì)上把握。這說明就直觀想象能力而言，二年級(jí)和五、六年級(jí)是小學(xué)階段的關(guān)鍵時(shí)期。⑧

中學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)同樣是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐漸上升的過程。孫敦甲認(rèn)為，中學(xué)生數(shù)學(xué)能力在空間想象能力方面的發(fā)展，是從對(duì)基本幾何形的初步想象到對(duì)平面基本幾何形的深入想象，再到對(duì)立體基本幾何形的深入想象。從九年級(jí)開始，有61.6%的學(xué)生具備對(duì)基本幾何形的初步想象能力;從高一年級(jí)開始， 53.1%的學(xué)生具有備對(duì)平面基本幾何形的深入想象能力;到高二年級(jí)，才有50.2%的學(xué)生具備對(duì)立體基本幾何形的深入想象能力。因此可以得出，八年級(jí)學(xué)生的空間想象能力開始有非常明顯的提高;九年級(jí)、高一年級(jí)是關(guān)鍵時(shí)期;到了高二年級(jí)，發(fā)展呈定型趨勢，逐漸到達(dá)成熟期。這說明就幾何直觀想象能力而言，八年級(jí)、九年級(jí)、高一年級(jí)是中學(xué)階段的關(guān)鍵時(shí)期。⑨

Presmeg不僅將學(xué)生區(qū)分為視覺型和非視覺型，還依據(jù)數(shù)學(xué)教師在解題時(shí)的傾向，將教師同樣區(qū)分為視覺組與非視覺組，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：非視覺組教師更傾向于使用講授法，教學(xué)偏重形式化，講究邏輯與嚴(yán)格;視覺組教師更傾向于將數(shù)學(xué)課程與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系， 表現(xiàn)了更多與創(chuàng)造性有關(guān)的嘗試。從教學(xué)效果上看，非視覺組教師對(duì)學(xué)生有一種約束，但一些視覺組教師同樣也沒能有效促進(jìn)學(xué)習(xí)。中間組的教師最為理想，他們會(huì)使用視覺化方法，但也強(qiáng)調(diào)抽象和一般化，這一點(diǎn)可以幫助視覺型學(xué)生克服一些典型例子帶來的問題，而視覺組教師往往難以意識(shí)到這一點(diǎn)。①

本文探究“做數(shù)學(xué)”（主要是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）與學(xué)生邏輯推理、直觀想象之間的內(nèi)在聯(lián)系，探討通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)干預(yù)能否對(duì)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象能力產(chǎn)生影響。

二、研究方法

本次研究是在喻平教授關(guān)于“做數(shù)學(xué)”實(shí)證研究總體設(shè)計(jì)框架下開展的一項(xiàng)研究。

（一）被試選擇

參加實(shí)驗(yàn)的是江蘇省南京市某重點(diǎn)中學(xué)七年級(jí)、八年級(jí)的部分學(xué)生，對(duì)每個(gè)年級(jí)在學(xué)習(xí)水平相當(dāng)?shù)陌嘀羞x取一個(gè)班作為實(shí)驗(yàn)組，一個(gè)班作為對(duì)照組。教學(xué)內(nèi)容相同，實(shí)驗(yàn)組采用“做數(shù)學(xué)” 的方式教學(xué)，對(duì)照組采用普通教學(xué)方式。每組實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班都是由同一位數(shù)學(xué)教師任教的，從而消除了不同教師的教學(xué)水平可能造成的無關(guān)變量因素。

（二）研究工具

七年級(jí)、八年級(jí)都采用了第一學(xué)年期中考試數(shù)學(xué)成績作為前測成績。

后測題目主要圍繞七年級(jí)、八年級(jí)下學(xué)期所學(xué)的知識(shí)來設(shè)計(jì)。一道題目可能會(huì)涉及多種能力，我們只考慮邏輯推理和直觀想象，其他能力要素不予考慮。參考喻平教授的分法，把關(guān)鍵能力分為三級(jí)水平：知識(shí)理解（水平1）、知識(shí)遷移（水平2）、知識(shí)創(chuàng)新（水平3）。② 就邏輯推理與直觀想象而言，具體劃分如表1所示。

題目可以只測試某個(gè)水平，也可以分為若干小?題，分別測量不同水平。計(jì)分方法：一級(jí)水平計(jì)x?分，二級(jí)水平計(jì)x+1分，三級(jí)水平計(jì)x+2分。其?中，x可以根據(jù)情況賦一個(gè)值。比如，某道題目考?查邏輯推理和直觀想象，其中邏輯推理是三級(jí)水?平，直觀想象是二級(jí)水平，那么邏輯推理就是x+2分，直觀想象就是x+1分。如果取x=2，則邏輯推理是2+2=4（分），直觀想象是2+1=3（分），該題總分為7分。

（三）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)流程如圖1所示。兩個(gè)“做數(shù)學(xué)”階段，??每一個(gè)階段至少安排3次“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)。

三、研究過程

（一）實(shí)驗(yàn)操作

整個(gè)實(shí)驗(yàn)持續(xù)一學(xué)期，共分為兩個(gè)階段。結(jié)束后，對(duì)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組進(jìn)行測試，并對(duì)測試成績做t檢驗(yàn)。同時(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組進(jìn)行品格價(jià)值觀的問卷前測和后測，并對(duì)前、后測成績做t檢驗(yàn)。

在具體教學(xué)中，我們選擇適合開展“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。考慮到教學(xué)課時(shí)的限制，有些課是整節(jié)課都采用“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)方式，有些課則是部分運(yùn)用“做數(shù)學(xué)”的方式——不為了實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn)，而讓實(shí)驗(yàn)恰當(dāng)?shù)爻霈F(xiàn)在需要的環(huán)節(jié)。

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例

【案例1】七年級(jí)：密鋪

這是基于蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《多邊形的內(nèi)角和與外角和》一節(jié)的補(bǔ)充內(nèi)容。這個(gè)內(nèi)容既涉及多邊形的內(nèi)、外角和，也涉及方程模型，特別是不定方程解的討論，對(duì)學(xué)生而言是邏輯推理上的難點(diǎn)。為了化解難點(diǎn)，我們采用“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)方式，利用江蘇省教研室編寫的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（七年級(jí)下冊(cè)）》中的配套學(xué)具，包括多個(gè)全等的任意三角形、任意四邊形，多個(gè)全等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形等。學(xué)生通過動(dòng)手拼圖，可以得出結(jié)論：對(duì)于多個(gè)全等的任意三角形、任意四邊形，由于它們內(nèi)角和的特殊性，所以它們可以實(shí)現(xiàn)密鋪。同時(shí)，可以認(rèn)識(shí)到：正多邊形的密鋪分為簡單密鋪和組合密鋪。在簡單密鋪中，由于涉及單一正多邊形的邊數(shù)和個(gè)數(shù)， 就出現(xiàn)了二元不定方程，需要對(duì)方程進(jìn)行合理的變形和步步有據(jù)的推理，方能得出正確答案;對(duì)于組合密鋪，由于涉及兩種正多邊形的密鋪、三種正多邊形的密鋪…… 就需要合理的邏輯推理方法，方能求解。例如，兩種正多邊形的密鋪，可以先固定其中一種正多邊形的邊數(shù)，變化另一種正多邊形的邊數(shù)，從而方便討論;三種正多邊形的密鋪，可以先固定其中兩種正多邊形的邊數(shù)，變化另一種正多邊形的邊數(shù)，從而方便討論。本節(jié)課， 不僅僅是得出密鋪的有關(guān)結(jié)論，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

【案例2】七年級(jí)：拼圖

這是基于蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《多項(xiàng)式的因式分解》一節(jié)的補(bǔ)充內(nèi)容。

因式分解的教學(xué)通常采用“把…… 反過來， 就得到……” 的呈現(xiàn)方式，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)逆向思維。那么，我們能否通過拼圖活動(dòng)，解決二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x²+（m+n）x+mn的因式分解呢？ 于是，我們利用江蘇省教研室研發(fā)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具——多邊形塑料片組件，進(jìn)行一系列探索活動(dòng)。從學(xué)生最熟悉的完全平方公式a²+2ab+b²=（a+b）²入手，再探究多項(xiàng)式a²+4ab+4b²、a²+3b+2b²的因式分解，最后設(shè)計(jì)如下兩個(gè)問題：（1）a畫一個(gè)長方形，使所畫圖形面積為a²+2ab-3b²（a>b）;（2）設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于a、b的二次三項(xiàng)式，并畫出一個(gè)長方形，使它的面積是所設(shè)計(jì)的二次三項(xiàng)式。上述設(shè)計(jì)借助圖形直觀，使學(xué)生更易于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，有助于學(xué)生感悟數(shù)與形的關(guān)系。本節(jié)課，用“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)方式， 提高學(xué)生的直觀想象能力，從而增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

四、研究結(jié)果

以下為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，包括前測和后測的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果。

（一）前測成績分析

對(duì)七年級(jí)的前測數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果見下頁表2和表3。

下頁表3顯示，在方差Levene（齊性）檢驗(yàn)中， Sig.=0.909>0.05，所以方差齊性，再看對(duì)應(yīng)的Sig.（雙側(cè)）=0.527>0.05，因此，七年級(jí)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的前測成績不存在顯著差異。這說明， 在進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)之前，實(shí)驗(yàn)組、對(duì)照組學(xué)生的邏輯推理與直觀想象水平基本一致。

同樣，對(duì)八年級(jí)的前測數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)（表略），表明八年級(jí)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的前測成績也不存在差異。這說明，在進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之前，實(shí)組組與對(duì)照組學(xué)生的邏輯推理與直觀想象水平基本一致。

（二）后測成績分析

對(duì)七年級(jí)的后測成績做檢驗(yàn)，結(jié)果見表4和表5。

表5顯示，七年級(jí)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的后測成績存在顯著差異。這說明，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生的邏輯推理與直觀想象水平有了一定程度的提高。

對(duì)八年級(jí)的后測成績做檢驗(yàn)，結(jié)果見表6和下頁表7。

表7顯示，在方差Levene（齊性）檢驗(yàn)中，Sig.=0.040<0.05，所以方差不齊性，再看對(duì)應(yīng)的Sig.（雙側(cè)） =0.002<0.01，所以八年級(jí)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的后測成績存在非常顯著的差異。這說明，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生的邏輯推理與直觀想象水平有了一定程度的提高。

五、結(jié)論與討論

研究表明，在初中階段，“做數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)方式可以明顯提高學(xué)生邏輯推理和直觀想象能力，特別是在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)有關(guān)的章節(jié)時(shí)。

首先，“做數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)方式，無論是通過數(shù)學(xué)學(xué)具還是圖形輔助軟件，都給了學(xué)生視覺上的幫助，在一定程度上降低了學(xué)習(xí)的難度。尤其是對(duì)邏輯推理、直觀想象能力稍弱的學(xué)生，幫助特別明顯。

其次，“做數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)方式，可以幫助學(xué)生積累邏輯推理、直觀想象的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提高邏輯推理、直觀想象能力。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)， 學(xué)生理清了一個(gè)推理的難點(diǎn)或一個(gè)空間結(jié)構(gòu)， 即使后面遇到更難但有關(guān)聯(lián)的問題，他們也可以將之前的經(jīng)驗(yàn)加以遷移運(yùn)用來解決。

再次，“做數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)方式，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。初中生還處于心智成長的過程中，需要一些新鮮事物去不斷地激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。豐富的實(shí)驗(yàn)教具、學(xué)具和軟件，為數(shù)學(xué)課堂注入了新鮮感。另一方面，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，思維能力相對(duì)薄弱的學(xué)生有了一種得出答案的新途徑，縮小了思維能力強(qiáng)、弱學(xué)生之間得出答案快、慢的差距，進(jìn)而使二者在考試成績上的差距也明顯縮小，讓思維能力相對(duì)薄弱的學(xué)生重拾數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

（段偉，江蘇省南京外國語學(xué)校。東方， 江蘇省南京外國語學(xué)校。陳仲華，江蘇省南京外國語學(xué)校。）