基于非線性預(yù)測濾波算法的疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測

顧震華 李 可 顧杰斐 宿 磊 蘇文勝

1.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，無錫，2141222.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，無錫，2141223.江蘇省特種設(shè)備安全檢驗(yàn)監(jiān)督研究院無錫分院，無錫，214071

0 引言

疲勞裂紋是引起工程結(jié)構(gòu)失效的主要原因之一，如果不能通過有效的手段監(jiān)測和預(yù)測其擴(kuò)展過程，那么損傷累積到一定程度就極易造成整體結(jié)構(gòu)的突然失效，導(dǎo)致嚴(yán)重事故。在工程中經(jīng)常使用Paris公式[1]進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測及壽命預(yù)估。賈法勇等[2]基于Paris公式研究了兩種工程結(jié)構(gòu)用鋼的疲勞裂紋擴(kuò)展過程，高旭東等[3]使用Paris公式對腐蝕環(huán)境下的海底管道的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了預(yù)測。張莉等[4]通過有限元方法計(jì)算裂紋尖端塑性應(yīng)變能，較好地預(yù)測了2024鋁合金的疲勞裂紋擴(kuò)展壽命。董赟等[5]利用ANSYS軟件數(shù)值模擬了鋼標(biāo)準(zhǔn)件的疲勞損傷過程，得到了其疲勞壽命和裂紋的擴(kuò)展路徑。雖然基于數(shù)值方法的疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測精度較解析方法有所提高，但存在建模復(fù)雜、計(jì)算效率偏低等問題，阻礙了其在工程實(shí)際中的應(yīng)用。

隨著測試技術(shù)的發(fā)展，越來越多的學(xué)者將各種結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)應(yīng)用于疲勞裂紋擴(kuò)展研究。王向紅等[6]將聲發(fā)射技術(shù)應(yīng)用于葉片裂紋擴(kuò)展監(jiān)測。鄭丁午等[7]將光纖Bragg光柵傳感器應(yīng)用于單邊缺口鋁合金試件疲勞裂紋監(jiān)測與擴(kuò)展預(yù)測。高紅俐等[8]基于圖像處理技術(shù)研究了疲勞裂紋擴(kuò)展長度的在線測量方法。由于Lamb波監(jiān)測技術(shù)具有對結(jié)構(gòu)無損、對裂紋損傷敏感的特性，因此成為了裂紋擴(kuò)展監(jiān)測的重要手段。HE等[9]提取了損傷Lamb波信號(hào)幅值、相位等特征，實(shí)現(xiàn)了對疲勞裂紋長度的定量化表征。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測方法是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。WANG等[10]結(jié)合擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)以及無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)算法，對Paris模型參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并對裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了預(yù)測。HE等[11]提出了一種結(jié)合Lamb波有限元仿真分析和貝葉斯更新的裂紋擴(kuò)展預(yù)測方法。袁慎芳等[12]將粒子濾波(particle filter，PF)算法應(yīng)用于疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測，研究結(jié)果證明該方法可以有效提高預(yù)測精度。然而在PF算法中最優(yōu)的粒子數(shù)目往往難以選擇，并且過多的粒子會(huì)降低計(jì)算效率，影響裂紋擴(kuò)展預(yù)測的實(shí)時(shí)性。

非線性預(yù)測濾波(nonlinear predictive filtering，NPF)是一種基于非線性系統(tǒng)模型的濾波方法，可以用來對系統(tǒng)未知模型誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并修正模型。郁豐等[13]將NPF算法應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)，獲得了衛(wèi)星姿態(tài)和角速率的高精度估計(jì)結(jié)果。冀紅霞等[14]基于改進(jìn)的NPF算法對探測器的位置和速度信息進(jìn)行估計(jì)，該算法對模型的不確定性具有一定的適應(yīng)性。

工程結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴(kuò)展受到內(nèi)部材料和外部環(huán)境因素的影響，通常表現(xiàn)出一定的不確定性。而Paris模型無法將其考慮在內(nèi)，因此難以對疲勞裂紋擴(kuò)展進(jìn)行高精度預(yù)測。本文提出一種基于NPF算法的結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測方法。

1 NPF算法的基本原理

NPF算法是由CRASSIDIS等[15]于1997年提出的，其狀態(tài)估計(jì)方程和輸出估計(jì)方程如下：

(1)

(2)

狀態(tài)觀測方程(式(2))以離散化的形式表示如下：

(3)

J(t)為成本函數(shù)，由兩項(xiàng)罰函數(shù)組成，第一項(xiàng)為估計(jì)值和觀測值之間殘差加權(quán)平方，第二項(xiàng)為模型誤差d(t)的加權(quán)平方：

(4)

W∈Rq×q

式中，δt為采樣時(shí)間間隔；R為測量噪聲方差矩陣;W為模型誤差加權(quán)矩陣。

由于W的取值很難得到解析解，因此通常依靠經(jīng)驗(yàn)選取[16]。式(4)中最小化第一項(xiàng)使得狀態(tài)估計(jì)值逼近真實(shí)值，最小化第二項(xiàng)使得加入狀態(tài)模型中的模型誤差校正量盡可能小。

最小化成本函數(shù)J(t)得到模型誤差d(t)：

(5)

(6)

(7)

λ(δt)為對角矩陣,對角線上的元素

(8)

(9)

i=1,2,…,m

式中關(guān)于Lgj的李導(dǎo)數(shù)為

(10)

j=1,2,…,q

將式(5)代入式(1)從而將狀態(tài)估計(jì)從tk時(shí)刻傳遞到tk+1時(shí)刻。

2 基于NPF的疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測

2.1 狀態(tài)空間模型

本文基于傳統(tǒng)的Paris公式建立疲勞裂紋擴(kuò)展的狀態(tài)空間模型[1]：

(11)

(12)

式中，a為裂紋長度;da/dN為單位循環(huán)周期裂紋擴(kuò)展速率;C和m為材料參數(shù);ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子幅；Δσ為應(yīng)力幅;Y為幾何形狀修正系數(shù)。

at=at-1+Ct-1(ΔKt-1)mΔN+wt-1

(13)

logCt=logCt-1+qt-1

(14)

式中，at-1為t-1時(shí)刻裂紋長度；logCt-1為t-1時(shí)刻材料參數(shù)；ΔKt-1為t-1時(shí)刻應(yīng)力強(qiáng)度因子幅;ΔN為從t-1時(shí)刻到t時(shí)刻所經(jīng)歷的疲勞循環(huán)周期；w、q分別表示裂紋擴(kuò)展過程和材料參數(shù)的不確定性，均為零均值的高斯白噪聲。

定義狀態(tài)向量Xt=(at,logCt)T,狀態(tài)空間模型即為

(15)

2.2 觀測空間模型

采集試件對應(yīng)不同裂紋長度的Lamb波監(jiān)測信號(hào)，如圖1所示，截取t1時(shí)刻(S0波包起始時(shí)刻)至t3時(shí)刻(前半S0波包后首個(gè)波谷對應(yīng)時(shí)刻)的部分S0波包[19]，然后計(jì)算所提取信號(hào)段的皮爾遜距離作為損傷指數(shù)(damage index, DI)：

(16)

圖1 Lamb波信號(hào)提取示意圖Fig.1 Schematic diagram of Lamb wave signalextraction

通過擬合得到IDI與裂紋長度a的關(guān)系，建立觀測向量與狀態(tài)向量的映射h(·):

(17)

2.3 疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測流程

基于非線性預(yù)測濾波算法的疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測流程如下。

(4)計(jì)算模型誤差項(xiàng)dt-1：

(18)

(5)通過式(15)校正狀態(tài)空間模型及輸出預(yù)測值:

(19)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)通過Q235鋼試件的單邊疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提出預(yù)測方法的有效性。如圖2所示，試件的尺寸為300 mm×45 mm×2 mm，使用線切割在中線處預(yù)置3 mm×0.2 mm×2 mm初始垂直缺陷來控制裂紋擴(kuò)展方向。

圖2 試件尺寸Fig.2 The specimen size

如圖3所示，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由疲勞試驗(yàn)機(jī)(MTS Landmark)、信號(hào)發(fā)生器(優(yōu)利德UTG2025A)、功率放大器(Krohn-Hite 7602M)、信號(hào)接收儀(橫河DL350)組成。PZT壓電陶瓷傳感器為P51材料，尺寸為φ10 mm×2 mm。試件承受最大載荷為16 kN，應(yīng)力比為0.1，加載頻率為6 Hz的正弦疲勞載荷。依據(jù)疲勞裂紋擴(kuò)展早期慢、中期平穩(wěn)、后期快的特點(diǎn)，在0至24 000循環(huán)周期、24 000至48 000循環(huán)周期和48 000循環(huán)周期以后分別間隔4000、2000和1000周期測量裂紋擴(kuò)展長度及Lamb波信號(hào)。在試件裂紋附近表面處涂上適量白色修正液便于觀測，疲勞裂紋通過顯微鏡投影在筆記本電腦屏幕上并輔以標(biāo)尺測量。

圖3 疲勞裂紋擴(kuò)展監(jiān)測實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.3 The experimental platform for fatigue crackgrowth monitoring

3.1 材料的Paris公式參數(shù)

通過4組相同Q235單邊裂紋試件在上述條件下進(jìn)行疲勞試驗(yàn)，得到疲勞循環(huán)周期-裂紋長度曲線如圖4所示，Y的取值采用下式計(jì)算[20]:

圖4 疲勞循環(huán)周期-裂紋長度曲線Fig.4 Curves of fatigue cycles versus crack lengths

(20)

式中，a為疲勞裂紋長度；b為試件的寬度。

表1 4個(gè)試件的材料參數(shù)log C和m

3.2 基于Lamb波的裂紋觀測模型

在每次進(jìn)行裂紋長度觀測以后，采集Lamb波測量信號(hào)。本次實(shí)驗(yàn)中使用中心頻率為220 kHz的5波峰正弦調(diào)制信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)，電壓幅值為10Vpp，通過功率放大器放大100倍施加在PZT1上，PZT2為信號(hào)接收端。信號(hào)接收儀的采樣頻率為10 MHz，將采集到的信號(hào)通過帶通濾波器進(jìn)行降噪處理。圖5所示為提取到的T3試件不同裂紋長度下的Lamb波信號(hào)。提取T1至T4試件的Lamb波信號(hào)并計(jì)算損傷指數(shù)。如圖6所示，擬合得到損傷指數(shù)IDIt與裂紋長度at的關(guān)系：

(21)

式中，at為t時(shí)刻裂紋長度;IDIt為t時(shí)刻對應(yīng)裂紋長度下Lamb波信號(hào)損傷指數(shù)。

圖5 T3試件不同裂紋長度下提取信號(hào)Fig.5 Signal extraction of T3 specimen underdifferent crack lengths

圖6 損傷指數(shù)-裂紋長度曲線Fig.6 Curves of damage index versus crack length

擬合得觀測噪聲r(shí)t～N(0,0.076 512)。

3.3 疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測

用于NPF算法裂紋擴(kuò)展預(yù)測的實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置見表2。其中，加權(quán)矩陣W的選取采用多次調(diào)試優(yōu)化模型誤差加權(quán)陣的方式得到[13]，設(shè)置為Wii=3×108。

表2 疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

預(yù)測結(jié)果如圖7所示。由圖可知，在裂紋擴(kuò)展初期，三種濾波算法的預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)得到的裂紋長度均較為接近。而裂紋擴(kuò)展中后期，基于Paris公式的預(yù)測方法顯示出了較大的誤差，EKF算法由于截?cái)嗾`差的存在也使預(yù)測誤差逐漸增大。由圖8和圖9可知，在裂紋擴(kuò)展中后期(經(jīng)過46 000疲勞循環(huán)周期后)，與實(shí)驗(yàn)值相比，基于Paris公式、EKF、PF方法預(yù)測的相對誤差eRE和均方根誤差eRMSE分別達(dá)到了69.49%和1.5569 mm、-25.82%和0.6992 mm、-15.09%和0.3849 mm，而基于NPF算法預(yù)測的誤差僅為-8.56%和0.2221mm，說明NPF算法具有更高的預(yù)測精度和模型誤差修正能力。

圖7 裂紋長度預(yù)測與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Predicted and test results of the crack length

圖8 預(yù)測相對誤差Fig.8 The relative error of the prediction

圖9 均方根誤差Fig.9 The RMSE of different algorithms

通過20次算法預(yù)測實(shí)驗(yàn)，計(jì)算得到EKF、NPF和PF算法的平均每步預(yù)測迭代時(shí)間依次為0.8883 ms、1.0987 ms和6.2430 ms。NPF算法的每步迭代時(shí)間僅為PF算法的17.6%，并且預(yù)測精度明顯提高，證明NPF算法可以較為精確和高效地預(yù)測疲勞裂紋擴(kuò)展。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于非線性預(yù)測濾波(NPF)算法的疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測方法。使用基于Paris公式的狀態(tài)空間模型來表征裂紋擴(kuò)展過程，并基于Lamb波的監(jiān)測信號(hào)特征建立觀測空間方程。采用Lamb波在線監(jiān)測裂紋擴(kuò)展，結(jié)合NPF算法實(shí)時(shí)修正傳統(tǒng)Paris裂紋擴(kuò)展模型的預(yù)測誤差。將提出的方法應(yīng)用于Q235鋼試件單邊疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的基于NPF算法的預(yù)測方法精度優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼濾波和粒子濾波算法，算法效率較粒子濾波算法有顯著提高。