2-UPS/RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

周毅鈞,陳建鵬,李特奇

(安徽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

2R1T少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由運(yùn)動(dòng)副與各個(gè)構(gòu)件組成，其結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，因此具有載荷比高、誤差小、精度高、動(dòng)力充足等優(yōu)點(diǎn)，且相對(duì)傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)更有效，結(jié)構(gòu)更緊湊，適用于工業(yè)生產(chǎn)、產(chǎn)品分揀等領(lǐng)域。針對(duì)2R1T少自由度機(jī)構(gòu),趙傳森等提出了一種2-RPU/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu),并求出其工作空間與奇異位形；李清等提出了一種SPR+UPS+UPR非對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并利用三維動(dòng)態(tài)法求解其工作空間；楊路等提出了一種2-UPS/RRP機(jī)構(gòu)，并分析其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能；王新宇等提出了一種2-PSR/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行實(shí)例分析；張志良等提出一種3-PSP空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并利用位置正逆解求其空間位置。研究提出的2-UPS/RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以用于貼碼的噴涂。傳統(tǒng)貼碼噴涂由于其結(jié)構(gòu)的限制，只適用于噴涂固定表面以及位置不變的產(chǎn)品，而本機(jī)構(gòu)具有兩轉(zhuǎn)動(dòng)一平移3個(gè)自由度，可適用于曲面等非平面產(chǎn)品的光滑噴涂。

1 機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

2-UPS/RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、虎克副、移動(dòng)副、球副、轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)之間通過(guò)兩條UPS支鏈和一條RPR支鏈連接。UPS支鏈自下而上依次為虎克副(U)、移動(dòng)副(P)、球副(S)。以第一條支鏈為例，虎克副(U)與定平臺(tái)之間成一定的夾角，定平臺(tái)與虎克副(U)相連，虎克副(U)上方連接一個(gè)方向向上的移動(dòng)副(P)，移動(dòng)副(P)上連接一個(gè)球副(S)，球副(S)與動(dòng)平臺(tái)相連。定平臺(tái)是底邊邊長(zhǎng)為2a,頂角為90°的等腰直角三角形。動(dòng)平臺(tái)是底邊邊長(zhǎng)為2b的等腰直角三角形(b并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型圖如圖1所示。由圖1可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有3條支鏈，其中底邊兩條支鏈為相同的UPS支鏈，頂邊為RPR支鏈，RPR支鏈中兩個(gè)R副空間位置相互垂直。為了方便分析該機(jī)構(gòu)的正反解，規(guī)定定平臺(tái)左端頂點(diǎn)為

A

，逆時(shí)針?lè)植嫉玫?p>A

、

A

；動(dòng)平臺(tái)左端頂點(diǎn)為

B

，逆時(shí)針?lè)植嫉玫?p>B

、

B

。其中，

A

、

A

、

A

分別為

U

、

U

、

R

的質(zhì)心點(diǎn)；

B

、

B

、

B

分別為

S

、

S

、

R

的質(zhì)心點(diǎn)。以定平臺(tái)底邊中心為定坐標(biāo)系原點(diǎn)建立坐標(biāo)系

o

-

xyz

，

x

軸與定平臺(tái)底邊重合，

x

軸方向指向第二條支鏈底端

U

的質(zhì)心處，

z

軸方向與定平臺(tái)方向垂直，

y

軸方向由右手螺旋定則確定；以動(dòng)平臺(tái)底邊中心為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)建立坐標(biāo)系

o

-

x

y

z

,

x

軸與動(dòng)平臺(tái)底邊重合，方向指向第二條支鏈頂端

S

的質(zhì)心處，

z

軸方向與動(dòng)平臺(tái)方向垂直，

y

軸與動(dòng)平臺(tái)高重合，方向指向動(dòng)平臺(tái)頂點(diǎn)，

x

軸根據(jù)右手螺旋定則確定。2-UPS/RPR機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖1 2-UPS/RPR機(jī)構(gòu)模型圖2 2-UPS/RPR機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 自由度運(yùn)算

給定螺旋

$

=(

L

,

M

,

N

;

P

,

Q

,

R

)與螺旋

$

=(

L

,

M

,

N

;

P

,

Q

,

R

),則兩螺旋的互易積表示為：

$

○

$

=

L

P

+

M

Q

+

N

R

+

L

P

+

M

Q

+

N

R

,

(1)

若兩螺旋的互易積為0，則兩螺旋互為反螺旋。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，各分支運(yùn)動(dòng)螺旋數(shù)目與其對(duì)應(yīng)的約束螺旋數(shù)目之和為6。對(duì)于2-UPS/RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，先求得3條支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系，然后根據(jù)互易積理論可得到與其對(duì)應(yīng)的約束螺旋系，接著將3條支鏈的約束螺旋系合并后得到動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系，最后對(duì)其求反螺旋系，從而得到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)螺旋系。

第一條UPS支鏈共有6個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋，組成的運(yùn)動(dòng)螺旋系可表示為：

(2)

式中，

l

、

m

、

n

中的

ij

表示第

i

條支鏈的第

j

個(gè)運(yùn)動(dòng)副;

l

表示該運(yùn)動(dòng)副位置矢量的方向余弦;

X

1、

Y

1、

Z

1為

$

的位置矢量。從式(2)中還可看出，UPS支鏈的6個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋線性無(wú)關(guān)，因此該運(yùn)動(dòng)螺旋系不存在與之對(duì)應(yīng)的約束螺旋系，即該支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)無(wú)約束力與約束力偶。第二條支鏈的構(gòu)型與第一條支鏈構(gòu)型相同，且相對(duì)于機(jī)構(gòu)幾何中心點(diǎn)呈對(duì)稱分布，因此第二條支鏈也無(wú)約束螺旋系。

第三條RPR支鏈在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)螺旋為：

(3)

根據(jù)互易積公式，RPR支鏈的約束螺旋系有3個(gè)約束螺旋：

(4)

根據(jù)3條支鏈的約束螺旋系得到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

(5)

如果機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)螺旋數(shù)目超過(guò)6，則超出部分為并聯(lián)冗余約束，所以過(guò)去常用的Grübler-Kutzbach(以下簡(jiǎn)稱G-K)公式無(wú)法對(duì)所有機(jī)構(gòu)求得正確的結(jié)果，因此對(duì)G-K公式加以修正,修正后G-K公式如式(6)所示。

(6)

式中,

dof

為機(jī)構(gòu)自由度；

m

為剛體自由度;

N

為構(gòu)件數(shù)量(定平臺(tái)也看作為一個(gè)構(gòu)件)；

J

為關(guān)節(jié)的數(shù)目；

f

為第

i

個(gè)關(guān)節(jié)的自由度數(shù);

ζ

為機(jī)構(gòu)中全部過(guò)約束的總數(shù);

υ

表示并聯(lián)冗余約束;本機(jī)構(gòu)屬于單環(huán)機(jī)構(gòu)，因此無(wú)并聯(lián)冗余。對(duì)于2-UPS/RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，

m

與

λ

之和為6，公共約束

λ

=0，即

m

=6-

λ

=6，構(gòu)件數(shù)量

N

=11，關(guān)節(jié)數(shù)目

J

=12。其中轉(zhuǎn)動(dòng)副的自由度為1，移動(dòng)副的自由度為1。虎克副的自由度為2，冗余自由度

υ

=0，過(guò)約束自由度

ζ

=0。將其代入修正的G-K公式可得：

dof

=6×(11-12-1)+(6×2+3)+0-0=3，

由G-K公式計(jì)算得出2-UPS/RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3，與螺旋理論計(jì)算出的結(jié)果一致。

2 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

2.1 位置反解

在動(dòng)平臺(tái)位姿確定后求其他構(gòu)件運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為位置反解。將動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位置設(shè)為

P

，因機(jī)構(gòu)只能繞

x

、

y

軸轉(zhuǎn)動(dòng)，沿

z

軸移動(dòng)，所以3個(gè)姿態(tài)角中繞

z

軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度

γ

為0，設(shè)繞

x

軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為

α

，繞

y

軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為

β

，根據(jù)以上參數(shù)可求得支鏈上的3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的位移距離。

(7)

將動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)

O

表示為定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量

P

：

P

=(

x

,

y

,

z

),

(8)

(9)

式中,

s

表示

sin

；

c

表示

cos

。動(dòng)平臺(tái)在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量為

OB

，將

OA

與

OB

的矢量差長(zhǎng)度設(shè)為

l

，可得：

(10)

l

=|

OB

-

OA

|,

(11)

代入計(jì)算得：

(12)

2.2 位置正解

位置正解即根據(jù)驅(qū)動(dòng)值求解動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)位置參數(shù)，該方法是位置反解的一種逆運(yùn)用。本例為一般構(gòu)型，采用方法為數(shù)值分析法，將位置反解方程式整理得到動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)位置的求解方程：

(13)

該方程為多元非齊次線性方程，常規(guī)求根公式無(wú)法求得該方程的解析解，但該方程在單根附近平方收斂，因此采用牛頓-拉夫遜迭代法對(duì)函數(shù)進(jìn)行更新迭代，從而求得近似解，牛頓迭代公式如下：

(14)

已知3個(gè)移動(dòng)副伸縮量

l

、

l

、

l

，初始向量

T

，經(jīng)過(guò)不斷更新迭代后得到最終向量

T

，同時(shí)計(jì)算得到3條支鏈移動(dòng)副移動(dòng)的距離，該方法可求得動(dòng)平臺(tái)最終的位姿變化。

3 速度雅可比矩陣分析

選取并聯(lián)機(jī)構(gòu)3條支鏈的移動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)向動(dòng)平臺(tái)輸入速度，輸出速度由雅可比矩陣來(lái)映射到動(dòng)平臺(tái)上。將位置逆解分別對(duì)

α

、

β

、

z

求一階導(dǎo)數(shù)，求得的參數(shù)代入雅可比矩陣中，雅可比矩陣

J

為：

(15)

其中,

(16)

對(duì)位置逆解方程兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)并加以整理得到：

(17)

4 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

為了分析2-UPS/RPR機(jī)構(gòu)在輸入3個(gè)驅(qū)動(dòng)函數(shù)下動(dòng)平臺(tái)變化的規(guī)律，在3條支鏈上的3個(gè)移動(dòng)副設(shè)置驅(qū)動(dòng)函數(shù)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)函數(shù)如下：

(18)

設(shè)定仿真時(shí)間為30 s,步數(shù)為500，機(jī)構(gòu)開始運(yùn)動(dòng)后得到動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)仿真曲線云圖。位移、角速度、速度、加速度變化曲線圖分別如圖3、圖4、圖5、圖6所示。由圖3、圖4可知，Adams仿真云圖呈周期性變化，周期為12.5 s，動(dòng)平臺(tái)在

x

軸方向位移變化較小，角速度變化較大；在

y

軸方向位移變化較大，角速度變化較小。由圖5、圖6可知，動(dòng)平臺(tái)在

z

軸方向速度與加速度變化高于

x

軸、

y

軸。因?yàn)?p>z

軸為移動(dòng)，另外兩軸為轉(zhuǎn)動(dòng)，而移動(dòng)副行程較長(zhǎng)，從位置反解中也能體現(xiàn)出角度變化率比桿長(zhǎng)變化率小?？傮w來(lái)看，動(dòng)平臺(tái)參數(shù)變化曲線光滑連續(xù)，中間無(wú)斷點(diǎn)與突變，表明機(jī)構(gòu)能平穩(wěn)運(yùn)行。綜上，2-UPS/RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能良好。

圖3 位移變化曲線圖

圖4 角速度變化曲線圖

圖5 速度變化曲線圖

圖6 加速度變化曲線圖

5 結(jié)論

基于螺旋理論求得2-UPS/RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在繞

x

軸、

y

軸轉(zhuǎn)動(dòng)與沿

z

軸移動(dòng)自由度，表明該機(jī)構(gòu)可調(diào)節(jié)不同角度對(duì)不規(guī)則曲面產(chǎn)品進(jìn)行噴涂。運(yùn)用封閉矢量法與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)反解方程與正解方程，對(duì)其運(yùn)用微分法求得雅可比矩陣，從而得到其運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。利用Adams動(dòng)態(tài)仿真得出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)變化曲線圖，從曲線良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能可看出該機(jī)構(gòu)在進(jìn)行噴涂工作時(shí)平穩(wěn)流暢，具有一定的實(shí)用價(jià)值。