基于自由平拋水柱的激光束全反射條件研究

何應(yīng)虎，劉興順

(遵義師范學(xué)院，貴州 遵義 563000)

0 引言

水導(dǎo)激光在光學(xué)加工領(lǐng)域具有重要應(yīng)用。當(dāng)滿足全反射條件時(shí)，激光可在水柱中遠(yuǎn)距離傳播而幾乎不損耗能量[1]。激光隨水流軌跡的傳播可分為直線或曲線傳播。其中直線傳播可通過(guò)自由下落水柱或高速噴射水柱實(shí)現(xiàn)，通常用于材料表面加工。曲線傳播可通過(guò)特殊通道設(shè)計(jì)或水流在重力作用下的拋物線運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，不限于材料表面加工。

1993年Richerzhagen等基于光束在液體束內(nèi)的全反射傳播，設(shè)計(jì)出微射流水導(dǎo)激光裝置[2]。隨后，水導(dǎo)激光加工技術(shù)逐步發(fā)展起來(lái)[3]，并廣泛應(yīng)用于金屬材料表面加工[4]、材料切割等領(lǐng)域[5-6]。這些研究主要基于高速水射流，軌跡為直線，適用于表面加工或材料切割。對(duì)于不規(guī)則形狀或空心材料的內(nèi)部加工，采用彎曲水柱引導(dǎo)激光加工是一種可選方案。根據(jù)全反射原理，當(dāng)達(dá)到全反射條件時(shí)，激光束會(huì)沿彎曲水流傳播。利用水柱在重力作用下的拋物線運(yùn)動(dòng)特性，通過(guò)控制水流速度和水柱直徑大小，引導(dǎo)激光傳播，可實(shí)現(xiàn)空心材料的內(nèi)部加工或不規(guī)則形狀加工。宮嘯等研究了激光在水柱中的 Rayleigh-Plateau不穩(wěn)定性問(wèn)題[7]，王紹菊等[8]研究了平拋運(yùn)動(dòng)中粘滯力對(duì)水流初速度的影響。

本文基于平拋運(yùn)動(dòng)和斯涅爾定律[9]，忽略張力、粘滯力等影響，近似計(jì)算激光在平拋運(yùn)動(dòng)水柱中的全反射傳播條件。水流在下落過(guò)程中速度越來(lái)越快，當(dāng)水流速度較大時(shí)水柱將會(huì)分散，因此本文研究只針對(duì)水柱中前段。

1 自由平拋水導(dǎo)激光簡(jiǎn)化模型

圖 1所示為激光在平拋運(yùn)動(dòng)水柱中傳播示意圖。水流從圓形出水口沿水平方向噴出，在重力作用下做平拋運(yùn)動(dòng)并形成彎曲水柱。忽略空氣阻力等影響，水柱形狀近似為拋物線。激光在傳播過(guò)程中照射到水柱和空氣交界面發(fā)生反射，從而隨水流傳播下去。設(shè)水柱直徑為 d，水流初速度為v0，建立如圖所示 x-y直角坐標(biāo)系。激光從出水口中央水平向右入射，激光束在水柱中沿直線傳播并照射到水柱和空氣交界面，并在界面處發(fā)生反射和折射（或發(fā)生全反射）。由于激光束具有一定尺寸大小，所以照射區(qū)域?yàn)橐磺?。設(shè)激光束直徑遠(yuǎn)小于水柱直徑，忽略激光束尺寸大小，則激光束照射區(qū)域近似為一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為 P（x1, y1）。在該點(diǎn)作水柱上沿軌跡曲線的切線、法線、反射光線和折射光線，并設(shè)入射角為θ，折射角為a。由于水的折射率大于空氣折射率，根據(jù)全反射原理，光從光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)傳播，當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)，發(fā)生反射和折射，部分激光從水柱傳出進(jìn)入空氣傳播，部分反射光繼續(xù)在水柱中傳播。當(dāng)入射角大于臨界角時(shí)，發(fā)生全內(nèi)反射，激光全部從界面反射并在水柱中傳播。被反射的激光在傳播過(guò)程中會(huì)再次照射到水柱和空氣交界面，若滿足全反射條件，激光束將再次發(fā)生全反射并隨水流繼續(xù)傳播。

圖1 自由平拋水導(dǎo)激光示意圖Fig.1 Diagram of the water-jet guided laser beam

2 全反射條件計(jì)算

如圖1所示，激光束經(jīng)過(guò)第一反射點(diǎn)（P點(diǎn)）反射并照射到第二反射點(diǎn)。設(shè)第二反射點(diǎn)為Q點(diǎn)。根據(jù)反射線方程和水柱下沿拋物線方程計(jì)算得到Q點(diǎn)坐標(biāo)

根據(jù)式（6）得到圖 2所示激光束在 Q點(diǎn)的入射角隨P點(diǎn)入射角變化的關(guān)系曲線。其中橫坐標(biāo)表示激光束在 P點(diǎn)的入射角，范圍為48.8°＜θ＜ 6 7.5°。由圖可知激光束在Q點(diǎn)的入射角隨激光束在P點(diǎn)的入射角增大而增大。當(dāng)激光束在P點(diǎn)的入射角大于全反射臨界角48.8°時(shí)，激光束在Q點(diǎn)的入射角大于約52.4°。可見(jiàn)若激光束在P點(diǎn)發(fā)生全反射，那激光束反射到Q點(diǎn)，也必定在Q點(diǎn)發(fā)生全反射。

圖2 激光束在Q點(diǎn)的入射角隨P點(diǎn)入射角變化曲線Fig.2 The variation curve of the incident angle θq with θp

當(dāng) θ ＞ 6 7.5°時(shí)，第二反射點(diǎn)出現(xiàn)在水柱上沿拋物線。根據(jù) PQ直線方程和水柱上沿拋物線方程可計(jì)算得到第二反射點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

切線斜率為：

因此容易得到Q點(diǎn)入射角為：

根據(jù)式（9）得到圖 3所示激光束在 Q點(diǎn)的入射角隨P點(diǎn)入射角變化的關(guān)系曲線。由圖可知激光束在 Q點(diǎn)的入射角存在最小值，即式（9）的極小值，約為77°，該值大于全反射臨界角48.8°。此時(shí)對(duì)應(yīng) P點(diǎn)入射角為 θ ≈ 6 7.5°。當(dāng)θ＜ 6 7.5°時(shí)，反射光線在水柱下沿拋物線第二反射點(diǎn)發(fā)生全反射。當(dāng)θ＞67.5°時(shí)，激光束在Q點(diǎn)的入射角恒大于全反射臨界角，所以激光束在 Q點(diǎn)發(fā)生全反射。

圖3 激光束在Q點(diǎn)的入射角隨P點(diǎn)入射角變化曲線Fig.3 The variation curve of the incident angle θq with θp

當(dāng)水柱直徑一定時(shí)，入射角qθ隨著水流初速度變化，因此式（5）也可以表示成Q點(diǎn)入射角qθ與水流初速度之間的關(guān)系式為：

同理可以求得激光束在第三反射點(diǎn)以及后續(xù)所有反射點(diǎn)的坐標(biāo)和入射角。根據(jù)各反射點(diǎn)的坐標(biāo)和入射角，可以數(shù)值模擬得到激光束在水柱中的全反射光路。當(dāng)d=1 cm，水流初速度v0=0.5 m/s時(shí)，模擬得到如圖4所示激光束在水柱中的全反射光路圖。從圖中可以看出，水柱直徑隨著水流減小，這是水流在下落過(guò)程中速度越來(lái)越快，而水流量不變所導(dǎo)致的必然結(jié)果。

圖4 激光束在水柱中的全反射數(shù)值模擬光路圖Fig.4 The numerically simulated beam path of the laser propagating in the water jet

3 不同水注直徑下的全反射情況

設(shè)水柱直徑分別為d=1 mm、d=1 cm和d=1 dm，根據(jù)式（1）得圖5所示激光束在P點(diǎn)的入射角與水流初速度之間的變化關(guān)系曲線。其中水平虛線處入射角等于全反射臨界角。由圖可知，當(dāng)水柱直徑一定時(shí)，激光束在P點(diǎn)的入射角隨水流初速度增大而增大。根據(jù)式（3）可知，圖中水平虛線與曲線交點(diǎn)處水流初速度約為3.6，交點(diǎn)上方入射角大于全反射臨界角，交點(diǎn)右方水流初速度大于3.6，此時(shí)激光束在 P點(diǎn)發(fā)生全反射。水注直徑越大，發(fā)生全反射所需要的水流初速度越大。表1所示為水柱直徑分別為1 mm、1 cm和1 dm時(shí)，激光束在P點(diǎn)發(fā)生全反射的水流初速度最小值，分別為0.11 m/s、0.36 m/s和1.14 m/s。此時(shí)激光束在P點(diǎn)的入射角約等于臨界角48.8°。

圖5 激光束在P點(diǎn)的入射角隨水流初速度變化曲線Fig.5 The variation curve of the incident angle θp with the initial velocity of the water jet

表1 不同水注直徑下能發(fā)生全反射的最小水流初速度Tab.1 The minimum initial velocity with different diameter of the water jet on total reflection condition

4 結(jié)論

本文近似計(jì)算了激光束在具有水平初速度的自由平拋運(yùn)動(dòng)水柱中發(fā)生全反射的條件。激光束從水注中央水平入射，第一次照射到水柱和空氣交界面 P點(diǎn)并發(fā)生全反射的條件為水流初速度v0≥ 3 .6。水柱直徑分別為d=1 mm、d=1 cm和d=1 dm時(shí)，發(fā)生全反射的最小水流初速度分別為0.11 m/s、0.36 m/s和1.14 m/s。激光束反射并第二次照射到水柱和空氣交界面Q點(diǎn)，在Q點(diǎn)的入射角大于全反射臨界角，再次發(fā)生全反射。由于水流在下落過(guò)程中越來(lái)越快，將導(dǎo)致水柱直徑越來(lái)越小，且當(dāng)水流速度較大時(shí)水柱將會(huì)分散。所以本文研究適用于在水柱下落高度較小時(shí)的情況，此時(shí)水注直徑近似保持不變，且軌跡近似為拋物線。因此，基于自由平拋水柱的水導(dǎo)激光加工只在有限的水注下落高度范圍內(nèi)有效，具體適用范圍需進(jìn)一步研究。