帶時間約束的雙參數(shù)再入軌跡設(shè)計方法

喬 浩，毛 瑞，白鳳科，杜鳳懷

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安 710065)

0 引言

現(xiàn)有導(dǎo)彈飛行時間可控研究工作主要集中在常規(guī)戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈層面。2006年，Jeon等首先提出了針對反艦導(dǎo)彈命中時間可控的制導(dǎo)方法(impact-time-control guidance,ITCG)[1]，隨后在該方法的基礎(chǔ)上加入落角約束，提出同時考慮落角與命中時間的制導(dǎo)方法(impact-time-and-angle-control guidance,ITACG)[2]。2011年，Kang等對ITCC剩余時間的估計方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種同時滿足落角與時間約束的微分對策制導(dǎo)方法，該方法將彈目之間的運動關(guān)系線性化，采用二次型性能指標(biāo)函數(shù)先對落角約束進(jìn)行優(yōu)化求解，然后根據(jù)對剩余時間的估計修正制導(dǎo)指令，實現(xiàn)對落角與到達(dá)時間的控制[3]。2015年，Zhang等采用一種基于偏置比例導(dǎo)引的分布式協(xié)同制導(dǎo)方法，研究了多枚反艦導(dǎo)彈的同時攻擊問題，并考慮了視場約束，在固定或切換通信網(wǎng)絡(luò)中有較好的收斂性，對通信拓?fù)涞囊蠼档蚚4]。與上述方法不同，Zhao等提出一種軌跡曲線矯正的方法，將尋的過程的軌跡定義為特定形式的多項式，通過調(diào)節(jié)系數(shù)控制導(dǎo)彈滿足終端落角及時間約束，具有較好的幾何意義[5]。

再入時間可控，是再入飛行新的應(yīng)用場景，對未來戰(zhàn)場環(huán)境有可能造成較大的影響。相對常規(guī)導(dǎo)彈而言，這方面的研究仍處于起步階段，主要分為兩種策略，一是通過航向偏差走廊進(jìn)行控制，代表性的有雙層航向偏差走廊方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)航向偏差走廊方法[6-7]；二是在設(shè)計參考軌跡時考慮飛行時間的要求，代表性的有基于解析剖面的時間協(xié)同方法[8]。由于航向偏差走廊本質(zhì)上是一種側(cè)向制導(dǎo)邏輯，并不能直接對飛行時間進(jìn)行調(diào)節(jié)，文中在第二方法基礎(chǔ)上對其中的軌跡設(shè)計方法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種更為簡潔的直接設(shè)計總飛行時間的參考軌跡生成方法。

1 再入問題描述

1.1 動力學(xué)模型

以能量為自變量將時間信息提取出來，對于含時間約束的再入問題尤為適用。假設(shè)飛行器為質(zhì)點，地球為均勻球體，忽略地球自轉(zhuǎn)。再入飛行器的總能量e定義為：

(1)

(2)

L=ρ(r)V2SACL(α,Ma(e,r))/2m

(3)

D=ρ(r)V2SACD(α,Ma(e,r))/2m

(4)

式中：ρ為大氣密度；SA為飛行器參考面積;CL，CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)；m為飛行器質(zhì)量。傾側(cè)角σ使升力矢量位于豎直平面右側(cè)(從飛行器尾部看去)時為正。

1.2 過程約束與再入走廊

再入飛行器一般具有很大的初始能量，在進(jìn)入稠密大氣層之后，飛行器與大氣相互作用，產(chǎn)生嚴(yán)重的氣動加熱、氣動過載及動壓，相應(yīng)的過程約束可描述為：

(5)

(6)

q=0.5ρV2≤qmax

(7)

(8)

上述約束是一種對再入安全性的宏觀考量，不能保證飛行軌跡的平穩(wěn)。因此一般將準(zhǔn)平衡滑翔約束作為軟約束，對應(yīng)的阻力加速度下邊界為：

(9)

上述兩組約束共同構(gòu)成了能量-阻力加速度空間內(nèi)的再入走廊。

2 帶時間約束的雙參數(shù)軌跡設(shè)計

對于側(cè)向機(jī)動較多的再入過程，大圓弧假設(shè)會造成較大的軌跡長度偏差，增加后續(xù)迭代次數(shù)，也容易錯過傾側(cè)角最佳符號反轉(zhuǎn)位置。采用提前量化軌跡長度的方式，定義Pm為機(jī)動系數(shù)，以其與初始大圓弧Rl的乘積表示期望的實際軌跡長度，即：

Rflight=PmRl

(10)

在參考阻力加速度剖面中首先設(shè)定兩個能量點E1，E2，各點對應(yīng)的阻力加速度取值由再入走廊確定，記作[Ddown，Dup]；取兩點的調(diào)節(jié)系數(shù)k1，k2∈[0,1]，則E1，E2對應(yīng)的阻力加速度分別為：

(11)

對k1，k2進(jìn)行搜索，獲得同時滿足軌跡長度與飛行時間的參考軌跡，如圖1所示。

圖1 雙參數(shù)的阻力加速度剖面設(shè)計示意圖

初始的阻力加速度D1與終端的阻力加速度D3由任務(wù)確定，此時對應(yīng)的阻力加速度剖面為：

(12)

指定機(jī)動系數(shù)Pm與期望的飛行時間Treq，采用標(biāo)稱跟蹤確定的實際軌跡長度Rreal與總飛行時間Treal作為預(yù)測值，可得總飛行時間與軌跡長度的偏差函數(shù)為：

(13)

此時問題轉(zhuǎn)化為二元非線性方程組的求根問題[9]。

對于二元函數(shù)z=f(x,y)，假設(shè)其在(x0,y0)的鄰域內(nèi)連續(xù)且具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)，可得：

(14)

式中：h=x-x0，k=y-y0。將?f(x,y)/?x記作fx，同理對y的偏導(dǎo)記作fy，f(x,y)=0可近似為：

(15)

同理，對于二元函數(shù)z=g(x,y)，對應(yīng)的二元非線性方程g(x,y)=0可近似為：

g(xk,yk)+(x-xk)gx(xk,yk)+

(y-yk)gy(xk,yk)=0

(16)

聯(lián)立式(15)與式(16)，可得：

(17)

式(17)即二元函數(shù)的牛頓迭代法。對應(yīng)文中待求變量為指定能量點的系數(shù)k1，k2。根據(jù)式(17)可得：

(18)

在實際求解過程中，飛行時間與軌跡長度的偏差可由全彈道積分獲得，關(guān)于k1，k2的偏導(dǎo)需要采用有限差分進(jìn)行求解。因此在迭代初期需要人為設(shè)定初始值，避免迭代失效。同時需要設(shè)置迭代的終止條件：|F|<ε1且|G|<ε2，避免無效運算。ε1，ε2分別為飛行時間與軌跡長度的允許偏差。上述求解過程等價于多元函數(shù)的極值問題，即搜索k1，k2使軌跡長度與飛行時間的加權(quán)性能指標(biāo)最小：

J=ω1F2+(1-ω1)G2

(19)

式中，ω1為權(quán)重系數(shù)。在這種表示方法下，參數(shù)優(yōu)化的牛頓迭代法同樣可以用于調(diào)節(jié)系數(shù)k1，k2的求解。在獲得滿足軌跡長度與飛行時間的k1，k2之后，對應(yīng)的參考阻力加速度剖面隨即確定。

3 仿真分析

3.1 帶時間約束的參考阻力加速度剖面迭代

直觀上講，在不考慮軌跡跳躍的情況下，當(dāng)傾側(cè)角指令增大，會增加高度方向的變化率，使朝向終端高度演化的時間縮短，總飛行時間呈現(xiàn)出減少的趨勢；但另一方面，隨著高度的降低，大氣密度又會快速增加，導(dǎo)致氣動阻力增大，飛行器飛向目標(biāo)的速度變慢，總飛行時間又呈現(xiàn)出增加的趨勢?？梢?，制導(dǎo)指令對于總飛行時間的影響機(jī)理是較為復(fù)雜的。以CAV-H為研究對象，其詳細(xì)參數(shù)見文獻(xiàn)[10]；攻角方案見文獻(xiàn)[11]。以東向為0°航向角，逆時針旋轉(zhuǎn)為正。設(shè)飛行器的初始位置為(0°,0°)，目標(biāo)位置為(60°,0°)；初始與終端高度分別取60 km，28 km；初始與終端速度分別取6.8 km/s，1.8 km/s；設(shè)置末端能量管理區(qū)域的半徑為sT=50 km；再入終端高度、速度、剩余航程的最大允許偏差分別為2 km，10 m/s，5 km；最大熱流率取4 MW/m2，最大過載取3，最大動壓取為70 kPa。根據(jù)再入走廊的分布情況，在可調(diào)節(jié)范圍較大的區(qū)域選取校準(zhǔn)點，取E1=0.35，E2=0.9。由于再入走廊的上邊界對應(yīng)了熱流、過載與動壓這類硬約束，因此在飛行過程中應(yīng)保留一定裕度，對兩個校正點處的阻力加速度取值范圍進(jìn)行限制，有：DE1∈[1.8, 9]，DE2∈[1.8, 9]。指定機(jī)動系數(shù)Pm=1.02，期望飛行時間Treq=1400 s，取權(quán)重系數(shù)ω1=0.5，此時對應(yīng)的參考阻力加速度剖面迭代過程如圖2所示，由上、下邊界迅速向搜索結(jié)果收斂。

圖2 雙參數(shù)的阻力加速度剖面迭代過程

其中，DE1=3.9944 m/s2，DE2=5.4267 m/s2，總飛行時間偏差F=-4.534×10-5s，軌跡長度偏差G=-2.4046 m?？梢?，雙參數(shù)的參考阻力加速度剖面生成方法能夠很好滿足軌跡長度與飛行時間的需求。

3.2 多任務(wù)場景仿真測試

為增加總飛行時間調(diào)節(jié)規(guī)律分析結(jié)果的可靠性，進(jìn)一步增加任務(wù)場景，對參考阻力加速度剖面的形式與總飛行時間的對應(yīng)關(guān)系做更深入的分析。對機(jī)動系數(shù)Pm=1.02分別設(shè)置Treq為1 350 s，1 400 s，1 450 s，對應(yīng)的仿真結(jié)果如圖3～圖7所示。

圖3 阻力加速度剖面搜索結(jié)果

圖4 地面軌跡投影

圖5 飛行時間演化曲線

圖6 三維軌跡

圖7 標(biāo)稱跟蹤對應(yīng)的傾側(cè)角指令

可以看出，不同期望飛行時間Treq對應(yīng)的參考阻力加速度剖面具有一定的規(guī)律，即：Treq越小，第一個校正點E1處的阻力加速度越小，而在第二個校正點E2處的阻力加速度越大，此時飛行器以相對最速到達(dá)的方式飛行；Treq越大，兩個校正點上的阻力加速度分布與最速到達(dá)恰好相反，飛行器前期以較大的阻力加速度飛行，后期阻力加速度逐漸減小。從傾側(cè)角指令的分布情況可以看出，在歸一化能量0.5之前，最慢到達(dá)的傾側(cè)角幅值最大，在這之后，最慢到達(dá)對應(yīng)的傾側(cè)角幅值最小。

綜上可知：對于初始位置與目標(biāo)給定的飛行任務(wù)，當(dāng)期望的飛行時間Treq較大時，飛行器首先應(yīng)采用幅值較大的傾側(cè)角，使縱向平面內(nèi)的氣動力分量減小，飛行器快速掉高，進(jìn)入大氣較為稠密的高度區(qū)間，此時飛行器減速加快，飛行速度相對變慢，到達(dá)目標(biāo)所需的時間增加，后期傾側(cè)角幅值變小主要是為了彌補(bǔ)前期掉高造成的軌跡長度不足，飛行器以更接近準(zhǔn)平衡滑翔的方式接近目標(biāo)，在接近目標(biāo)區(qū)域上方進(jìn)行軌跡下壓；當(dāng)希望飛行器較快到達(dá)目標(biāo)時，再入初期應(yīng)采用幅值較小的傾側(cè)角指令，使飛行器以較高的軌跡飛行，減小速度衰減，直至最終接近終端區(qū)域，通過增大傾側(cè)角幅值的方式完成軌跡快速下壓，以匹配相應(yīng)的軌跡長度約束。

4 結(jié)論

針對帶時間約束的再入軌跡設(shè)計問題，提出一種基于雙參數(shù)牛頓迭代法的阻力加速度剖面設(shè)計方法。與以往的只關(guān)注軌跡長度的設(shè)計方法不同，雙參數(shù)搜索增加了參考軌跡設(shè)計的自由度，可以同時對期望飛行時間與實際軌跡長度進(jìn)行設(shè)計。主要結(jié)論如下：

1)在傳統(tǒng)阻力加速度剖面基礎(chǔ)上，增加可設(shè)計參數(shù)，能夠同時對參考軌跡長度與總飛行時間進(jìn)行設(shè)計。

2)相同軌跡長度約束下，可對應(yīng)不同的總飛行時間，后續(xù)可以此為依據(jù)研究多飛行器時間協(xié)同的再入制導(dǎo)。

3)由仿真分析可知，再入初期采用較大的傾側(cè)角能夠使飛行器快速進(jìn)入稠密大氣，增加總的再入飛行時間。