基于Lyapunov穩(wěn)定性的模塊化多電平換流器反饋控制

莫躍，王健，劉明，杜丹

(1.中國(guó)南方電網(wǎng)有限責(zé)任公司超高壓輸電公司天生橋局，貴州 黔西南布依族苗族自治州562400；2.貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550025；)

模塊化多電平換流器(modular multi-level converter, MMC)因其模塊化、可擴(kuò)展性、高效率、良好的諧波性能和故障阻斷能力受到了廣泛的關(guān)注[1-2]。近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于中壓大功率電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、配電系統(tǒng)、高壓直流輸電網(wǎng)中[3-6]。然而，在應(yīng)用MMC的控制系統(tǒng)中要保證輸出電流和電壓的質(zhì)量，在保持電容電壓平衡的同時(shí)最小化或抑制環(huán)流是有挑戰(zhàn)的[7]。因此當(dāng)MMC作為逆變器運(yùn)行時(shí)，需要滿足三個(gè)控制目標(biāo)才能確保正常運(yùn)行。第一，輸出電流或電壓必須控制在適當(dāng)?shù)姆?、頻率和相位;第二，流經(jīng)MMC各相的環(huán)流必須控制在一定值;第三，每個(gè)子模塊(Sub Module,SM)的電容電壓必須保持在參考電壓。有學(xué)者已提出多種控制策略，其中，模型預(yù)測(cè)控制因其性能優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用[8]。然而，隨著SM數(shù)量的增加，其計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)上升，因此，一些學(xué)者一直在減少計(jì)算負(fù)荷的方法上做了一些研究[9-11]。在文獻(xiàn)[12]中，假定在電容電壓完全相等的前提下，采用簡(jiǎn)單的線性控制器，通過(guò)基于反饋線性化的電流控制策略來(lái)調(diào)節(jié)輸出電流和內(nèi)部差分電流。相移脈寬調(diào)制(PS-PWM)[13]適用于SM數(shù)量比較少的情況，它具有良好的輸出電壓和電流質(zhì)量，但開(kāi)關(guān)頻率高，占用大量硬件資源。與PS-PWM相比，最近電平控制(nearest level control,NLC)[14-15]簡(jiǎn)單，開(kāi)關(guān)頻率低，損耗小，隨著SM數(shù)量的增加，NLC的輸出質(zhì)量?jī)?yōu)良。但當(dāng)SM數(shù)量相對(duì)較少時(shí)，其輸出電壓和電流質(zhì)量較差。參考文獻(xiàn)[16-20]在一定的程度上改進(jìn)了NLC的缺點(diǎn)。在參考文獻(xiàn)[21]中，提出了在不對(duì)稱(chēng)運(yùn)行條件下MMC的一般解析模型和改進(jìn)的橋臂控制方法。

在魯西站柔直功率模塊故障診斷技術(shù)研究(CGYKJXM20180354)項(xiàng)目的支持下，針對(duì)上述控制方法的不足，研究并提出了一種能夠優(yōu)化多目標(biāo)控制并實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)跟蹤的控制器。此外，控制系統(tǒng)的復(fù)雜性、動(dòng)態(tài)響應(yīng)、輸出電流質(zhì)量和換向不受SM數(shù)量的影響。

1 MMC的拓?fù)浜蛿?shù)學(xué)模型

1.1 工作原理和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

目前實(shí)際工程應(yīng)用中，子模塊通常采用半橋結(jié)構(gòu)。上、下橋臂之間串聯(lián)兩個(gè)電抗器，阻感負(fù)載為星形聯(lián)結(jié)，負(fù)載中性點(diǎn)與兩電源中點(diǎn)相連，以保持負(fù)載中性點(diǎn)與電源中點(diǎn)電位一致且為零電位[22-23]。

每個(gè)橋臂上都串聯(lián)了 N 個(gè)子模塊，1 個(gè)橋臂電感 L 及等效橋臂電阻 R；而每個(gè)子模塊中又由子模塊電容C 和若干半導(dǎo)體開(kāi)關(guān)器件構(gòu)成，三相MMC的電路結(jié)構(gòu)如圖1所示，其單相由上臂和下臂組成。三相 MMC 基本拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)包含 3個(gè)相單元和 6 個(gè)橋臂，且上、下橋臂相互對(duì)稱(chēng)，每個(gè)臂由N個(gè)子模塊(SM)、一個(gè)電感和等效電阻串聯(lián)組成，通過(guò)改變各橋臂投入的子模塊數(shù)量即能起到調(diào)節(jié) MMC 交流側(cè)輸出電壓的作用[24]。

子模塊由上IGBT S1、下IGBT S2，電容器C，以及續(xù)流二極管D1、D2構(gòu)成。功率模塊在接入橋臂時(shí)端電壓為其內(nèi)部電容器C的電容電壓，旁路出橋臂時(shí)端電壓為0。 MMC的功能是進(jìn)行交流側(cè)電壓與直流側(cè)電壓的相互轉(zhuǎn)換。MMC的交 /直流互換功能的實(shí)現(xiàn)依靠電壓調(diào)制算法的控制。電壓調(diào)制算法通過(guò)控制每個(gè)IGBT的導(dǎo)通和關(guān)斷，按照一定的規(guī)律將橋臂的不同功率模塊分時(shí)接入橋臂或者旁路出橋臂電路，使橋臂上接入的功率模塊的串聯(lián)電壓呈現(xiàn)正弦波形，而在此過(guò)程中橋臂電流不斷對(duì)功率模塊電容器充電，維持電容電壓的穩(wěn)定。

1.2 MMC的數(shù)學(xué)模型

考慮圖1中假設(shè)的直流側(cè)中點(diǎn)，并使用基爾霍夫定律，可以獲得j相中的MMC動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)方程以下:

圖1 一種三相MMC逆變器的結(jié)構(gòu)及其SM[25]Fig.1 Structure of a three-phase MMC inverter and its SM[25]

(1)

(2)

ioj=iju-ijl

(3)

基于圖1，根據(jù)文獻(xiàn)[26]中所述，上下臂電流分別可表示如下:

(4)

其中icj是流經(jīng)MMC第j相的環(huán)流，可通過(guò)以下公式獲得:

(5)

通過(guò)將等式(1)減去等式(2)，并用等式(3)中的iju-ijl代替ioj，j相交流側(cè)電流的動(dòng)態(tài)特性如下:

(6)

類(lèi)似地，通過(guò)將等式(1)和(2)相加，并用等式(5)中的iju+ijl代替icj，獲得了j相中環(huán)流的動(dòng)態(tài)特性，其表示如下:

(7)

設(shè)x1=ioj，x2=icj，u1=uju，u2=ujl，那么，j相的MMC的狀態(tài)方程可以描述如下：

(8)

很明顯，方程(8)是具有多個(gè)控制輸入和干擾的耦合狀態(tài)方程。特別重要的是，狀態(tài)變量是周期性波動(dòng)的正弦或余弦函數(shù)，這使得控制更加困難。經(jīng)過(guò)理論分析與研究，建立MMC模型并利用MATLAB/SIMULINK進(jìn)行仿真。

輸出方程如下：

y=uoj=f(xoj)=R(t)xoj

(9)

(10)

2 基于李雅普諾夫穩(wěn)定性的控制器設(shè)計(jì)

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論既適用于分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也適用于分析非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是一種更為一般的穩(wěn)定性分析方法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論主要是指李雅普諾夫第二方法，又稱(chēng)為李雅普諾夫直接法。對(duì)非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的求解往往很困難，因而李雅普諾夫直接法就展現(xiàn)出極大的優(yōu)勢(shì)。

本文就是借助李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，進(jìn)行系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)工作。在前一節(jié)中，我們已經(jīng)得到了模塊化多電平換流器的狀態(tài)方程，參見(jiàn)方程(8)。那么接下來(lái)的任務(wù)就是如何設(shè)計(jì)控制變量u1和u2，使得x1的期望值為正弦，x2的期望值為常數(shù)。

2.1 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)基于所建立的狀態(tài)模型，提出了一種系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)方法，控制狀態(tài)變量跟隨期望值。將等式(8)改寫(xiě)如下:

(11)

(12)

其中：

將(6)代入(9)得：

y=Cx+Du

(13)

其中y是 輸出變量，

(14)

D=Loj[b11,-b11]

(15)

假設(shè)x的期望值是xd=[xd1，xd2]T,

e是x和xd之間的誤差 ，那么

e=xd-x

(16)

在方程(16)的兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)

(17)

目標(biāo)是要將誤差收斂到零，即當(dāng)t → ∞時(shí)，e→ 0。系統(tǒng)的控制算法分兩步設(shè)計(jì)。

1)我們候選了一個(gè)Lyapunov函數(shù)V(e)，如下：

(18)

很明顯，V(e)是正定的。通過(guò)對(duì)李雅普諾夫函數(shù)方程(18)求導(dǎo)得：

(19)

(20)

2)將式(16)和(17)帶入式(20)，得：

(21)

再將式(11)帶入(21)得：

(22)

整理式(22)求解u，得到如下控制律：

(23)

2.2 反饋跟蹤性能

本節(jié)基于式(23)中考慮的控制器形式，在控制MMC動(dòng)態(tài)性能之前驗(yàn)證狀態(tài)變量跟蹤性能。系統(tǒng)的框圖如圖2所示，系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示。

圖2 系統(tǒng)反饋控制框圖Fig.2 Control block diagram of system feedback

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

仿真框圖如圖2所示。在0.01s到0.012s的范圍內(nèi)，假設(shè)存在突變，這使得xd1振幅從500A變?yōu)?50A，仿真結(jié)果如圖3-圖6所示。

如圖3所示，x1能跟蹤xd1，即使在xd1預(yù)期值出現(xiàn)突變時(shí)也能迅速做出反應(yīng)，而且跟蹤誤差非常小，跟蹤性能滿足需求。在圖4中，x2在很短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)xd2的無(wú)差跟蹤。這種響應(yīng)速度大大滿足了MMC的性能要求。因?yàn)閤1和x2不耦合，xd1的突變不影響x2。

圖3 輸出電流x1跟蹤xd1預(yù)期值的動(dòng)態(tài)性能Fig.3 Dynamic performance of output current x1 tracking expected value xd1

圖4 循環(huán)電流x2跟蹤xd2預(yù)期值的動(dòng)態(tài)性能Fig.4 Dynamic performance of circulating current x2tracking expected value xd2

在圖5中，控制變量u1和u2的值從零變?yōu)樨?fù)，然后迅速變?yōu)檎?，?到近6000的范圍內(nèi)呈正弦曲線變化。它們的相角差是π，在0.01秒開(kāi)始跳變，在0.012秒產(chǎn)生一個(gè)脈沖變化，然后迅速恢復(fù)正常。

圖5 反饋控制矢量u1，u2的動(dòng)態(tài)性能Fig.5 Dynamic performance of feedback control vector u1 and u2

輸出電壓y的波形如圖6所示。開(kāi)始時(shí)，波形由0V突變?yōu)?50V，即一個(gè)SM的電容電壓，然后根據(jù)正弦函數(shù)變化。僅在0.01s到0.012s期間，變化模式與圖5中控制變量的變化模式相同。

圖6 輸出電壓y的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.6 Dynamic response of output voltage y

3 仿真結(jié)果

為了評(píng)估控制方法的性能，對(duì)每個(gè)臂包含4個(gè)和8個(gè)SM的三相MMC開(kāi)關(guān)模型進(jìn)行了仿真。MMC的控制框圖如圖7所示，MMC的參數(shù)如表2所示。在圖7中，期望值xd，反饋增益K，以及狀態(tài)變量x是反饋控制器的輸入，反饋控制器如式(23)，進(jìn)而獲得最佳控制量u*。然后通過(guò)等式(24)計(jì)算j相上臂和下臂的插入的SM數(shù)njwnjl。子模塊的投切功能利用文獻(xiàn)[11]中的電壓排序算法計(jì)算實(shí)現(xiàn)，以平衡MMC所有模塊的電容電壓uSM,jm,n。由于控制系統(tǒng)的最佳控制u，因此不受子模塊數(shù)量的影響。

表2 MMC的主要電氣參數(shù)Tab.2 Main electrical parameters of MMC

圖7 MMC控制框圖Fig.7 Control block diagram of MMC

插入MMC的SM的最佳數(shù)量如下:

(24)

其中njwnjl分別是插入MMC上臂和下臂的子模塊數(shù)量，uC是子模塊的標(biāo)稱(chēng)電容電壓，如下所示：

(25)

在式(23)中得到的u是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，在式(24)之后，它被MMC的SM結(jié)構(gòu)離散化。這就是電力電子電路的特點(diǎn)，一個(gè)連續(xù)和離散的混合系統(tǒng)。

假設(shè)MMC的三相的電路結(jié)構(gòu)相同，并且上臂和下臂具有相同的電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為了便于理解，在下面的研究中，僅以a相為例進(jìn)行分析。其他兩相的分析方法相同。

本文對(duì)四種情況進(jìn)行了比較和分析，如表3所示。

表3 仿真情況分類(lèi)Tab.3 Classification of simulation situations

3.1 輸出電流/電壓性能比較

四種情況下交流側(cè)輸出電流和電壓的仿真結(jié)果分別如圖8所示。為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出控制方法的優(yōu)點(diǎn)，圖9和圖10給出了輸出環(huán)流和電容電壓的波形。

(a)4種條件下a相輸出電流(ioa)的波形分析(a)Waveform analysis of a-phase output current (ioa) under 4 conditions

(b)4種條件下a相輸出電流(uoa)的波形分析(b)Waveform analysis of a-phase output voltage (uoa) in the case of 4 conditions圖8 四種情況下a相輸出電流和電壓的波形Fig.8 Waveform of a-phase output current and voltage in four conditions

在圖8(a)中，每臂4個(gè)SM的最近電平調(diào)制控制與每臂8個(gè)SM的最近電平調(diào)制控制得到的電流波形完全一致，近似于正弦波形。每臂4個(gè)SM的反饋控制跟蹤效果最差，每臂8個(gè)SM的反饋控制效果次之。與每臂4個(gè)SM的反饋控制相比，每臂8個(gè)SM的反饋控制得到的波形有了改善?；谠摽刂品椒?，輸出電流的質(zhì)量不受SM數(shù)目的影響。

在圖8(b)中，每臂8個(gè)SM的反饋控制得到的電壓波形最好，每臂4個(gè)SM的反饋控制次之，每臂8個(gè)SM的反饋控制效果再次之，每臂4個(gè)SM的反饋控制最差。另外，從圖8(a)和圖8(b)可以看出，采用最近電平調(diào)制控制方法的波形具有一定的滯后性。

3.2 輸出電流性能比較

圖9展示了四種情況下a相環(huán)流的仿真結(jié)果。每臂8個(gè)SM的反饋控制抑制環(huán)流效果最好，每臂4個(gè)SM的反饋控制次之，每臂8個(gè)SM的最近電平調(diào)制控制效果最差。xd2的期望值是120A。所提出的控制策略明顯能有效地抑制環(huán)流的波動(dòng)。這使得輸出環(huán)流在120A的期望值附近波動(dòng)，誤差很小。

圖9 四種情況下a相環(huán)流(ica)波形Fig.9 A-phase circulating current (ica) waveform in four cases

最近電平調(diào)制控制策略對(duì)環(huán)流的抑制效果并不理想，而且隨著SM數(shù)的增加，抑制環(huán)流的效果越來(lái)越差。

3.3 電容電壓分析

a相電容電壓的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖10所示。圖10(a)和圖10(c)對(duì)應(yīng)的電容器標(biāo)稱(chēng)電壓為1500V，圖10(b)和圖10(d)對(duì)應(yīng)的電容器標(biāo)稱(chēng)電壓為750V?？紤]到數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，在下一次分析中，數(shù)據(jù)采集在時(shí)區(qū)[0.03，0.06]之間。

(a)每臂4個(gè)SM的最近電平調(diào)制控制(a)NLC with 4 SMs

(c)每臂4個(gè)SM的反饋控制(c)FBC with 4 SMs

(b)每臂8個(gè)SM的最近電平調(diào)制控制(b)NLC with 8 SMs

(d)每臂8個(gè)SM的反饋控制(d)FBC with 8 SMs圖10 4種情況下a相上、下臂的SM電壓Fig.10 SM voltages of the upper and lower arms of phase a under 4 conditions

在圖10(c)中，上臂SM電容電壓波動(dòng)范圍為1426.2V～1570.9V，下臂為1409.6V～1553.5V，與標(biāo)稱(chēng)電壓相比，上臂的波動(dòng)范圍為-73.8V～70.9V，波動(dòng)率為-4.92%～4.73%(下臂為-91.4V～53.5V，-6.03%～3.57%)。上臂平均值1489.9V，標(biāo)準(zhǔn)差41.68(下臂平均值1472.2V，標(biāo)準(zhǔn)差41.77)。所有SM電容器的電壓數(shù)據(jù)均采用相同的方法獲得，如表4所示。

綜上所述，綜合圖10和表4得出以下結(jié)論：

表4 四種仿真情況下SM電容電壓的數(shù)據(jù)分析Tab.4 Data analysis of SM capacitor voltage in four simulation situations

(1)采用反饋控制策略，電容電壓的標(biāo)準(zhǔn)差接近，在4種情況下是最小的，并隨時(shí)間的增加而逐漸穩(wěn)定；

(2)每種情況下，當(dāng)采用反饋控制策略時(shí)，上下臂電容電壓不同，采用最近電平調(diào)制控制策略時(shí)基本相等；

(3)采用反饋控制策略時(shí)，電容電壓值更接近標(biāo)稱(chēng)值；

(4)隨著SM數(shù)的增加，電容電壓的波動(dòng)范圍增大，如每臂8個(gè)SM的MMC分別采用反饋控制策略和最近電平調(diào)制控制策略，但采用反饋控制策略時(shí)電壓波動(dòng)幅度較小，電壓波動(dòng)幅度也與電容電壓標(biāo)稱(chēng)值的降低有關(guān)。

續(xù)表

仿真情況類(lèi)別上/下臂標(biāo)稱(chēng)(初始)值/V平均值/V標(biāo)準(zhǔn)偏差/V最大值/V最小值/V波動(dòng)率/%NLC with 8 SMs上臂750723.163.13842.59617.59-17.66～12.35下臂750723.562.96842.675617.49-17.67～12.36FBC with 4 SMs上臂15001489.941.681570.91426.2-4.92～4.73下臂15001472.241.771553.51409.6-6.03～3.57FBC with 8 SMs上臂750745.5241.87836.42682.62-8.98～11.52下臂750732.7741.88812.99662.48-11.67～8.40

4 反饋增益對(duì)電流諧波的影響

上一節(jié)的仿真分析中，直接采用了反饋增益k1=12000，k2=15575。接下來(lái)將進(jìn)一步分析在不同反饋增益條件下，其對(duì)電流諧波的影響。為了充分研究，對(duì)于9電平(每臂8個(gè)SM)做了25次實(shí)驗(yàn)，k1從1550到12000變化，k2從600到20000變化，其相應(yīng)參數(shù)見(jiàn)表5所示。從數(shù)據(jù)來(lái)看，隨著增益的逐漸增大，電流THD(總諧波失真)逐漸減小，到k1=12000，k2=15575時(shí)，THD=0.52達(dá)到最小值，而之后THD緩慢增加。鑒于控制器不希望增益過(guò)大，因此進(jìn)行了25組數(shù)據(jù)后就結(jié)束了。同理也對(duì)5電平(每臂4個(gè)SM)進(jìn)行了研究，其結(jié)果趨勢(shì)和9電平相同，也是在k1=12000，k2=15575時(shí)，THD=1.03達(dá)到最小值。

表5 增益對(duì)電流諧波的影響Tab.5 Influence of gain on current harmonics

續(xù)表

因此，本文的研究采用反饋增益k1=12000，k2=15550。此時(shí)輸出電流的THD是最小的。此外還可以看到9電平的THD比5電平的THD小一半。也即是，在橋臂子模塊(SM)數(shù)量較少時(shí)，橋臂子模塊的數(shù)量與輸出電流的THD成一定的比例關(guān)系。當(dāng)然這個(gè)結(jié)論并不代表橋臂子模塊(SM)數(shù)量較大時(shí)適用。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于Lyapunov穩(wěn)定性的控制器設(shè)計(jì)方法。為了描述MMC交流側(cè)電流和環(huán)流的動(dòng)態(tài)特性，建立了模塊化多電平的數(shù)學(xué)模型。與傳統(tǒng)的控制模型不同，該模型不需要坐標(biāo)變換。上(下)臂的電壓用作控制輸入，以調(diào)整插入上(下)臂的SM數(shù)量。然后，根據(jù)輸出電流和環(huán)流反饋，對(duì)上下臂電壓進(jìn)行校正。即根據(jù)輸出電流和環(huán)流與它們各自的期望值之間的誤差來(lái)校正上(下)臂的電壓。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。與傳統(tǒng)的最近電平調(diào)制控制控制器相比，所提出的反饋控制控制器可用于包含不同SM數(shù)目的MMC中，其輸出電流和環(huán)流具有良好的動(dòng)態(tài)性能和較低的諧波分量。特別地，所提出的反饋控制控制器還具有傳統(tǒng)最近電平調(diào)制控制控制器的優(yōu)點(diǎn)，例如便于理解和計(jì)算，適合在時(shí)域中使用。