2階矩陣方冪與交換性

吳 偉 才，劉 俊 吉

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南 岳陽 414006 )

0 引 言

平方交換律在代數(shù)領(lǐng)域是一種很重要的運算規(guī)則，文獻[1]中證明了Nichols代數(shù)如果是有限維的，則某些共軛類中的元必須滿足平方交換律．文獻[2]中發(fā)現(xiàn)了rack運算和平方交換之間的等價關(guān)系，利用rack理論排除掉了很大的一類無限維Nichols代數(shù)．本文證明除了某種特殊的情形，交換律和平方交換律對2階矩陣總是同時成立或不成立的．

另一方面，冪零矩陣、冪幺矩陣、冪等矩陣和(r,s)冪等矩陣是幾種常見的矩陣[3-6]．作為這些矩陣的應(yīng)用，不少學(xué)者開始研究群或者環(huán)上面的這些特殊矩陣[7-8]，但學(xué)者對于一般矩陣的方冪研究很少，一方面是因為難度太大，很難寫出任意一個矩陣的任意次方冪的顯式表達式，另一方面是研究某些特殊矩陣的冪更容易得到有趣的結(jié)果．對于任意的矩陣，要判斷它是否是冪零矩陣、冪幺矩陣、冪等矩陣和(r,s)冪等矩陣，本質(zhì)來說，歸根于對該矩陣方冪的研究．本文結(jié)合某種數(shù)列的通項公式給出2階矩陣方冪的顯式表達式，進一步地給出2階矩陣分別是冪零矩陣、廣義冪等矩陣、廣義冪幺矩陣和廣義(r,s)冪等矩陣的充要條件，在廣義冪等矩陣、廣義冪幺矩陣和廣義(r,s)冪等矩陣的結(jié)論中取θ=1，則得到冪等矩陣、冪幺矩陣和(r,s)冪等矩陣的結(jié)果．

1 基本定義

2 主要結(jié)果

引理1假定fm=fm-1α+fm-2β，f1=1，f2=α，3≤m∈N，α，β∈C．則

?m∈N．

引理2對?m∈N，k，l∈C，若k≠l，則km=lm，km-1=lm-1不能同時成立．

推論1假定fm=fm-1α+fm-2β，f1=1，f2=α，3≤m∈N，α，β∈C．若J2=αJ+βE，α，β∈C，則Jm=fmJ+fm-1βE，2≤m∈N．

證明對m用歸納法．當m=2時，J2=f2J+f1βE=αJ+βE，顯然成立．假設(shè)m=k-1時結(jié)論成立，考慮m=k的情形．Jk=Jk-1J=(fk-1J+fk-2βE)J=fk-1J2+fk-2βJ=fk-2βJ+fk-1(αJ+βE)=(fk-1α+fk-2β)J+fk-1βE=fkJ+fk-1βE．得證．

推論2假定fm=fm-1α+fm-2β，f1=1，f2=α，3≤m∈N，α，β∈C．若對某個2≤m∈N有fm=0，fm-1β=0成立，則α=0，β=0．

定理1Jm=fmJ+fm-1(bc-ad)E，2≤m∈N．這里

證明由哈密頓-凱萊定理可知，J2=tr(J)J-|J|E=(a+d)J+(bc-ad)E，再由引理1，定理得證．

注(1)Jm+2=(a+d)Jm+1+(bc-ad)Jm，1≤m∈N，若a+d=1，bc-ad=1，則J為斐波那契-盧卡斯矩陣[10]，這里不要求a=1，b=1，c=1，d=0．

(2)若J=0，則fm=0，2≤m∈N．

引理3假定J=λE．若J是廣義冪等矩陣，則λ=0或θ；若J是冪零矩陣，則λ=0；若J是指數(shù)為m的廣義冪幺矩陣，則λm=θ；若J是(r,s)冪等矩陣，則λ=0或λr-s=θ．

命題1假定J≠0，m∈N，則Jm=0當且僅當J和m滿足m≥2，bc=-a2，d=-a．

證明顯然矩陣不可逆，有bc=ad，由Jm=0和定理1知，m≥2且fmJ=0，由J≠0，故fm=0，d=-a．命題得證．

推論3J是指數(shù)為m的冪零矩陣，則m≤2．

命題2假定J≠0，θ∈C*，則Jm=θE當且僅當J和m滿足

m≥1；

d=a，b=0，c=0；

am=θ

或

證明m=1，J=θE，當m≥2，由Jm=θE和定理1，有

fmJ=[fm-1(ad-bc)+θ]E

(1)

(1)fm=0，fm-1(ad-bc)+θ=0，顯然(a-d)2+4bc≠0，簡單計算可得

(2)fm=0，fm-1(ad-bc)+θ≠0，式(1)不成立；

(3)fm-1(ad-bc)+θ=0，fm≠0，由式(1)可知，J=0，與注(2)矛盾；

命題3假定r>s∈N0，θ∈C*且J≠0，則Jr=θJs當且僅當J和r、s滿足下列的一種：

(1)r-s≥2；

(2)d=a，b=0，c=0；

ar-s=θ

(3)s≥1；

bc=ad；

(a+d)r-s=θ

(4)s≥2；

bc=-a2；

d=-a

證明若bc≠ad，則J可逆，Jr-s=θE，由命題3知，J和r,s滿足

或

r-s≥1；

d=a，b=0，c=0；

ar-s=θ

當bc=ad，由定理1，有Jm=fmJ，2≤m∈N．這里

若s=0，則Jr=θE，左右行列式不等，矛盾．若s=1，由Jr=θJ，有(fr-θfs)J=0，由J≠0，故fr=θfs．若d=-a，不成立．若d≠-a，有

化簡得(a+d)r-1=θ．

若s≥2，由Jr=θJs，有(fr-θfs)J=0，由J≠0，故fr=θfs．若d=-a，顯然成立．若d≠-a，有

化簡得(a+d)r-s=θ．命題得證．

注命題2、3中取θ=1，可以很容易得到一個2階矩陣分別為冪等矩陣、冪幺矩陣和(r,s)冪等矩陣的充要條件．

命題4假定J1和J2是任意兩個2階矩陣，對某個2≤m∈N，有(J1J2)m=(J2J1)m成立，則J1J2=J2J1，除了下列兩種情形：

(1)tr(J1J2)2-4|J1J2|≠0；

(2)tr(J1J2)=|J1J2|=0

證明由定理1，(J1J2)m=fmJ1J2-fm-1|J1J2|E，(J2J1)m=fmJ2J1-fm-1|J2J1|E，2≤m∈N．這里

如果fm=0，(J1J2)m=-fm-1|J1J2|E=(J2J1)m．如果fm≠0，(J1J2)m-(J2J1)m=fm(J1J2-J2J1)．得證．

(1)tr(J1)2=4|J1|≠0；

(2)tr(J1)=|J1|=0

(3)tr(J2)2=4|J2|≠0；

(4)tr(J2)=|J2|=0

(2)若J1和J2對矩陣的乘法是交換的，則自然是平方交換的；若tr(J1J2)=0，則J1和J2對矩陣的乘法一定是平方交換的．除了J1J2≠J2J1，tr(J1J2)=0(滿足這種條件的兩個矩陣都是不交換且平方交換的)，有(J1J2)2=(J2J1)2當且僅當J1J2=J2J1．進一步地，J1和J2對矩陣的乘法是不交換且平方交換的充要條件是a1a2+b1c2+c1b2+d1d2=0且下列至少某一個式子成立：(i)b1c2≠c1b2；(ii)b1(a2-d2)≠b2(a1-d1)；(iii)c1(a2-d2)≠c2(a1-d1)．

3 結(jié) 語

本文研究了2階矩陣的方冪與交換性，得到了2階矩陣分別是冪零矩陣、廣義冪等矩陣、廣義冪幺矩陣和廣義(r,s)冪等矩陣的充要條件，研究結(jié)果在矩陣代數(shù)、群論等代數(shù)領(lǐng)域可以有廣泛的應(yīng)用．對于更一般的n階矩陣，它們的方冪與交換性也是一個值得研究的問題．