三坐標(biāo)測量時的余弦誤差分析

朱盼盼

(安徽江淮汽車集團股份有限公司，安徽合肥 230001)

0 引言

三坐標(biāo)測量機是一種十分常見的測量工具，在機械加工、檢模夾具制造、汽車制造等的實際測量工作中具有廣泛的應(yīng)用，并且發(fā)揮著十分重要的作用。三坐標(biāo)測量機是測量汽車零部件產(chǎn)品尺寸最有效的方法之一，可以替代多種測量工具，并把復(fù)雜的測量任務(wù)簡單化、實效化。三坐標(biāo)測量機的高精度及很強的數(shù)據(jù)處理能力可以快速準(zhǔn)確地評價產(chǎn)品尺寸，為汽車零部件的質(zhì)量控制提供有效的數(shù)據(jù)信息。

三坐標(biāo)測量機是通過紅寶石測球采集元素點，利用測球的半徑補償而得到測量點坐標(biāo)的位置。在利用三坐標(biāo)測量機測量零件點時，三坐標(biāo)測量軟件在自動補償?shù)倪^程中會出現(xiàn)測球半徑補償誤差。本文作者通過對產(chǎn)生測球半徑補償誤差的分析，采取正確的測量方法，盡量減小余弦誤差，提高測量精度。

1 矢量的介紹

1.1 矢量的定義

既有大小又有方向的量稱為矢量，是一個對方向的數(shù)學(xué)描述方式。矢量可以表述成一個箭頭,箭頭的方向代表矢量的方向,箭頭的長度代表矢量的大小。

在三維直角坐標(biāo)系中，x、y、z表示點P的位置，i、j、k表示點P的方向。如圖1所示。在三坐標(biāo)測量機中，x、y、z表示坐標(biāo)位置，矢量i、j、k表示三軸的測量方向。

圖1 點P的位置及矢量方向

i、j、k值定義了一個特定矢量各向比例值。常用的6個矢量方向有：

X+:(1，0，0);X-:(-1，0，0);

Y+:(0，1，0);Y-:(0，-1，0);

Z+:(0，0，1);Z-:(0，0，-1);

用一條有方向的直線來表示矢量，矢量的方向也就是箭頭所指的方向。在三坐標(biāo)測量機中矢量被用來確定測針按照什么方向運動才能進行正確的采點測量。

1.2 i、j、k的實際意義

當(dāng)有一個矢量表達式，矢量i、j、k值介于1和-1之間，i代表了該矢量與X軸夾角的余弦值，j代表了該矢量與Y軸夾角的余弦值，k代表了該矢量與Z軸夾角的余弦值。

矢量可用i、j、k表達如下：

i=cosα,α是矢量在XY平面上的投影與X+方向的夾角；

j=cosβ,β是矢量在XY平面上的投影與Y+方向的夾角；

k=cosγ,γ是矢量在YZ平面上的投影與Z+方向的夾角。

圖2為角度45°的矢量,由圖可知，矢量與+X軸夾角為45°，其余弦值為+0.707；矢量與+Y軸夾角為45°，其余弦值為+0.707；矢量與+Z軸夾角為90°，其余弦值為0。即：i=cos45°=0.707;j=cos45°=0.707;k=cos90°=0。

圖2 角度為45°的矢量

矢量方向的重要用途是用于測頭補償，三坐標(biāo)測量時，在零件表面采點，三坐標(biāo)測量軟件應(yīng)沿測頭接觸零件表面的行進方向進行補償，而實際測量中，測頭行進方法與被測表面的矢量方向有一定的夾角，即造成了所謂的余弦誤差。

2 余弦誤差的分析

2.1 測球的半徑補償

三坐標(biāo)測球與零件表面接觸時，得到測球中心位置，沿測頭行進方向補償測球半徑r后得到零件表面測量點位置。

目前，三坐標(biāo)測量中使用最多的是接觸式觸發(fā)測量[1]。三坐標(biāo)在進行測量時，使用測針的寶石球接觸被測零件的測量部位，此時三坐標(biāo)測量機記錄的應(yīng)是寶石球的中心點坐標(biāo)。三坐標(biāo)測量軟件將自動沿著測針的采點行進方向上加一個測球半徑進行補償，作為測量點的坐標(biāo)[2]。

在實際測量時，每測量一個元素，系統(tǒng)都可以自動區(qū)分寶石球半徑的補償方向，計算正確的補償半徑。如圖3所示，當(dāng)測量方向與矢量方向有夾角時，在采點開始后，測量軟件將沿著測針接觸工件的行進方向上對寶石球進行半徑補償。但被補償點并非真正的與工件接觸點，而是測頭沿著測針接觸工件方向上測球的最低點。這樣就造成了補償誤差[3]。

圖3 測量的方向矢量

2.2 測球半徑與余弦夾角對余弦誤差的影響分析

當(dāng)三坐標(biāo)測量機沿著測量方向進行采點時，測球與零件上理論接觸點接觸，而測量軟件沿著測量方向進行補償，測得的實際點并非理論需要的點，即產(chǎn)生誤差。

法向矢量與誤差的關(guān)系如圖4所示，由圖可知，不正確的矢量等于余弦誤差。

圖4 法向矢量與誤差的關(guān)系

誤差θ=r-rcosα=r(1-cosα)

計算不同測球半徑及夾角的余弦誤差值，如表1所示。

表1 不同測球及夾角的測量誤差

以測球半徑為1.5 mm的測球為例，其余弦夾角與誤差的關(guān)系如圖5所示。

圖5 測球半徑r=1.5 mm的誤差曲線

由圖5可知，測量誤差的大小與測量方向和該工件被測面的余弦夾角有關(guān)。余弦夾角越大，誤差越大。

以30°余弦夾角為例，其不同測球半徑下的誤差曲線如圖6所示。

圖6 余弦夾角為30°時不同測球半徑的誤差曲線

根據(jù)圖6分析可知，測量誤差的大小與所使用的測球的半徑有關(guān)。所使用的測球的半徑越大，誤差越大。

實際應(yīng)用中，減小誤差的方法是盡量使用半徑較小的測球與減小余弦夾角。

3 結(jié)束語

為了提高三坐標(biāo)測量的精度，應(yīng)盡可能地減小測量人員、設(shè)備、方法等的因素對測量結(jié)果的影響。

在實際測量中，可提高測量精度的方法有：

(1)應(yīng)選擇較小的寶石測球，以減少測球的半徑補償帶來的半徑補償誤差。

(2)當(dāng)測頭與被測點接觸過程中，應(yīng)當(dāng)均勻緩慢地使測頭與被測點發(fā)生觸測，防止測頭在被側(cè)面滑動帶來誤差。

(3)采點時盡可能讓測頭的移動方向在測量點的法線方向上，使測頭的觸測方向與被測點的法向方向的夾角盡可能小。以減小余弦夾角帶來的測量誤差。

(4)在條件允許的情況下，導(dǎo)入產(chǎn)品數(shù)模，然后采用自動測量的方式測量，可以減小測量誤差，有效提高測量精度和提升效率[4]。