植根數(shù)學(xué)本質(zhì) 發(fā)展學(xué)科能力

吳英慧

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出：數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中除了掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更重要的是通過具體的知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考。義務(wù)教育教科書人教版小學(xué)數(shù)學(xué)中的最后一單元為“數(shù)學(xué)廣角”，大多數(shù)教師對(duì)于“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容的教學(xué)都停留在了數(shù)學(xué)知識(shí)和技能上，而忽略了具體知識(shí)下的學(xué)科本質(zhì)和學(xué)科能力的培養(yǎng)。本文以人教版五年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角——找次品”為例，從三個(gè)方面談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí) 。

一、創(chuàng)設(shè)情境，滲透三分原理

本單元的內(nèi)容分為兩個(gè)例題，例題1的題干是在3個(gè)產(chǎn)品中抽檢到1件次品。在該題目中，學(xué)生初識(shí)“找次品”問題，需要掌握“找次品”問題的基本思路和方法。例題2是從8個(gè)零件中找到1個(gè)次品，探索找次品的一般方法。教材例題的情境設(shè)置以天平為工具，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，讓學(xué)生在比較、猜想、驗(yàn)證的活動(dòng)中逐步感悟、總結(jié)和提煉。因此對(duì)于例題2，大多數(shù)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)為把從8個(gè)零件中找1個(gè)次品的所有分法列舉出來(lái)，通過比較觀察發(fā)現(xiàn)把8個(gè)零件平均分成3份來(lái)稱量，所需的次數(shù)是最少的。如此下來(lái)學(xué)生雖然掌握了最優(yōu)策略的技巧，但并不清楚為什么要盡量平均分成3份找到次品的次數(shù)就是最少的。

要理解到這樣的層面對(duì)于學(xué)生來(lái)說是存在一定的困難的，也是教師教學(xué)中經(jīng)常忽略的。華羅庚曾經(jīng)說過，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥乏味、神秘難懂的印象的主要原因就是脫離實(shí)際生活。因此在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)多樣的現(xiàn)實(shí)情境，易于學(xué)生理解。如上課伊始，創(chuàng)設(shè)游戲情境，4個(gè)同學(xué)為一組合作，如何最快地在100個(gè)“張”字中找到“弧”字。學(xué)生在游戲中發(fā)現(xiàn)，分工合作，把100個(gè)平均分成4份，每個(gè)人在25個(gè)中找，可以把目標(biāo)確定在更小的范圍。如果5個(gè)、6個(gè)……為一組合作，便可以盡量地平均分成5份、6份……在游戲中，滲透了找到最優(yōu)策略的依據(jù)是由人數(shù)決定的。在探究利用天平找到次品時(shí)，學(xué)生通過遷移能夠更好地理解把待測(cè)物品分成3份也是由天平?jīng)Q定的。

二、聯(lián)結(jié)知識(shí)，體會(huì)優(yōu)化本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)新舊知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)形成新結(jié)構(gòu)的過程。一直以來(lái)，教師總是習(xí)慣于根據(jù)教材編排進(jìn)行“點(diǎn)狀式”教學(xué)，忽略了把完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)給學(xué)生。結(jié)合之前所學(xué)的“沏茶問題”的優(yōu)化本質(zhì)是“能同時(shí)做的事情同時(shí)做”，“烙餅問題”的優(yōu)化本質(zhì)是“每次烙餅懂充分利用鍋位”，“打電話問題”的優(yōu)化本質(zhì)是“每分鐘都不放空接到通知的人”。

再看“找次品”問題的優(yōu)化本質(zhì)是“每次稱重都將次品限制在最少數(shù)量中”，而教材選擇的問題情境是根據(jù)天平的特點(diǎn)，次品的位置只能出現(xiàn)在左端托盤、右端托盤和剩余產(chǎn)品這三個(gè)位置中。通過“稱一次”就可以確定出次品的位置。想要達(dá)到稱量次數(shù)最少的目的，即要將完成稱量后將其限制在更小范圍內(nèi)。因此，要使得這三個(gè)位置的數(shù)量盡可能相同，這樣無(wú)論次品在三個(gè)位置中的哪一個(gè)，都是在總數(shù)的三分之一里找次品，因此“找次品問題”的優(yōu)化本質(zhì)也可以轉(zhuǎn)化為“要把天平內(nèi)外的三個(gè)位置都盡可能放滿”。

當(dāng)學(xué)完“找次品問題”，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)聯(lián)、去歸納，在豐富的情境、現(xiàn)實(shí)中去抽象出其背后共性的特質(zhì)，會(huì)發(fā)現(xiàn)最優(yōu)策略的本質(zhì)是將資源最大化地利用。

三、數(shù)學(xué)表達(dá)，發(fā)展學(xué)科能力

“找次品問題”中的教學(xué)目標(biāo)之一是學(xué)習(xí)用圖形、符號(hào)等直觀方式清晰、簡(jiǎn)明地表示數(shù)學(xué)思維的過程，培養(yǎng)邏輯思維的能力?！罢掖纹穯栴}”便涉及這樣的思維能力，需要讓學(xué)生抽象出一架虛擬的、數(shù)學(xué)化的天平，因此需要學(xué)生在腦海中建立“如果平衡……如果不平衡……”的表象進(jìn)行邏輯推理。在教學(xué)例1時(shí)可以設(shè)計(jì)“你能用自己喜歡的方式表示出稱量的過程嗎？”學(xué)生或用口頭表述;或畫出簡(jiǎn)易天平的示意圖直觀地呈現(xiàn)天平稱量的過程;或用流程圖;或用樹形圖……不管哪種方式教師都加以肯定，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行清晰、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?。到?時(shí)，零件數(shù)增多，推理步驟增加，就應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用更加簡(jiǎn)潔的方式把各種可能性表示出來(lái)進(jìn)行分析對(duì)比。在這個(gè)過程中，學(xué)生潛移默化地學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)的表達(dá)，發(fā)展了邏輯思維能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行思考，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看世界。

總之，數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該植根于知識(shí)本質(zhì)，透過知識(shí)找到數(shù)學(xué)的價(jià)值，在學(xué)生的內(nèi)心埋下理性的種子。