基于復(fù)變函數(shù)的斜頂巷道圍巖應(yīng)力分布解析解

賀 凱，常聚才，李萬峰，李世輝，李 冬

(1.安徽理工大學(xué)煤礦安全高效開采教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南 232001；2.淮河能源控股集團(tuán)有限責(zé)任公司，安徽 淮南 232001)

在開采傾斜煤層時(shí)，回采巷道往往沿煤層頂板掘進(jìn)，以達(dá)到不破壞巷道頂板的目的。因此，形成了應(yīng)用廣泛的斜頂巷道。斜頂巷道圍巖的應(yīng)力分布是其支護(hù)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，但是，由于斜頂巷道斷面的不規(guī)則性，其應(yīng)力分布的求解是一個(gè)難題。前蘇聯(lián)科學(xué)家穆斯海里什維利提出的復(fù)變函數(shù)法可用于求解斜頂巷道圍巖應(yīng)力分布的解析解[1]。國內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用復(fù)變函數(shù)法對(duì)不同斷面巷道圍巖應(yīng)力分布做了很多研究[1-14]。薩文[2]和陳子蔭[3]求解了各向異性彈性條件下橢圓形斷面巷道的應(yīng)力分布解析解；施高萍等[4]分析了原巖垂直應(yīng)力和水平應(yīng)力對(duì)矩形巷道頂板和巷幫中點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)分布的影響規(guī)律；陳凱等[5]采用復(fù)變函數(shù)解法對(duì)矩形巷道圍巖彈性應(yīng)力分布進(jìn)行了求解，獲得了基于曲線坐標(biāo)系的應(yīng)力張量解析解，分析了高寬比和側(cè)向壓力對(duì)圍巖應(yīng)力分布的影響規(guī)律；侯化強(qiáng)等[6]通過復(fù)變函數(shù)法和彈塑性理論提出了矩形巷道圍巖具有塑性滑動(dòng)區(qū)、裂隙擴(kuò)展區(qū)及圍巖穩(wěn)定區(qū)的“三區(qū)”理論；寧德義[7]結(jié)合復(fù)變函數(shù)法和鮑爾丁-湯姆遜黏彈性本構(gòu)模型，得到深部矩形巷道圍巖的粘彈性應(yīng)力分布；袁林等[8]結(jié)合復(fù)變函數(shù)和廣義開爾文模型推導(dǎo)出了矩形巷道周邊應(yīng)力集中系數(shù)表達(dá)式，并分析了應(yīng)力集中系數(shù)和時(shí)間的關(guān)系。其他關(guān)于不同斷面巷道圍巖應(yīng)力分布的研究還如文獻(xiàn)[9-14]所示?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)橢圓形、矩形等規(guī)則斷面巷道圍巖應(yīng)力分布研究較為充分，但是缺少針對(duì)斜頂巷道的相關(guān)研究。參考前人的研究成果，采用復(fù)變函數(shù)法求解斜頂巷道圍巖應(yīng)力分布解析解，以淮南礦業(yè)集團(tuán)潘三煤礦17102(3)運(yùn)輸巷為工程背景，討論斜頂巷道圍巖主應(yīng)力和主應(yīng)力集中系數(shù)的分布規(guī)律。

1 斜頂巷道圍巖應(yīng)力分布求解

深埋地下的斜頂巷道可以看成無限大平面的孔口問題，所受圍巖壓力用垂直壓力σV、水平壓力σH和剪應(yīng)力τ表示，斜頂巷道受力模型如圖1所示。

圖1 斜頂巷道受力模型

斜頂巷道圍巖應(yīng)力分布求解的具體步驟是：首先，將斜頂巷道外域通過共形映射函數(shù)映射到復(fù)平面上的單位圓內(nèi)；其次，依據(jù)共形映射函數(shù)和邊界條件確定兩個(gè)表征應(yīng)力分布的復(fù)位勢(shì)函數(shù)的基本形式；然后，根據(jù)邊界條件運(yùn)用復(fù)分析的相關(guān)知識(shí)求解表征應(yīng)力分布的復(fù)位勢(shì)函數(shù)；最后，由復(fù)位勢(shì)函數(shù)求得應(yīng)力分布[1-3]。

1.1 共形映射函數(shù)

黎曼映射定理表明[15，16]，通過共形映射函數(shù)ω(ξ)可將實(shí)平面上的斜頂巷道圍巖區(qū)域映射到復(fù)平面上的單位圓內(nèi)，如圖2所示。

圖2 共形映射

針對(duì)不規(guī)則斷面巷道，共形映射函數(shù)ω(ξ)無法使用有限初等函數(shù)項(xiàng)表示，將其展開為Laurent級(jí)數(shù)，并取有限項(xiàng)作為對(duì)共形映射函數(shù)ω(ξ)的近似：

式中，ξ=ρeiθ代表單位圓所在的復(fù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)；An和Bn為實(shí)數(shù)，取值與巷道斷面形狀有關(guān)；N表示Laurent級(jí)數(shù)的階數(shù)。本文根據(jù)參考文獻(xiàn)[15，16]提出的算法，運(yùn)用科學(xué)計(jì)算軟件編程，求解An和Bn。當(dāng)N趨向無窮大時(shí)，共形映射函數(shù)在巷角處的曲率半徑趨近于0。因此，巷角處的曲率半徑可用于度量共形映射函數(shù)的精度，曲率半徑越小表明共形映射函數(shù)精度越高。曲率半徑公式為：

式中，θ0表示巷角對(duì)應(yīng)的單位圓上點(diǎn)的極角。實(shí)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)與復(fù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

式中，函數(shù)Re表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部；函數(shù)Im表示取復(fù)數(shù)的虛部。將式(3)代入式(2)即可求得巷角的曲率半徑。

設(shè)點(diǎn)A在巷道斷面邊界上，點(diǎn)B在共形映射函數(shù)ω(ξ)的映射圖形上。當(dāng)N趨向無窮大時(shí)，共形映射函數(shù)ω(ξ)的映射圖形與巷道邊界重合，此時(shí)如果點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則稱其為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)A和B表示任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，可定義共形映射函數(shù)的最大絕對(duì)誤差為：

式中，xA、xB、yA和yB表示點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；函數(shù)max()表示取最大值。

1.2 復(fù)位勢(shì)函數(shù)的求解

圍巖應(yīng)力可由2個(gè)復(fù)位勢(shì)函數(shù)φ(z)和ψ(z)確定。針對(duì)斜頂巷道圍巖應(yīng)力分布求解問題，復(fù)位勢(shì)函數(shù)形式為[1-3]：

式中，復(fù)變函數(shù)φ0(ξ)和ψ0(ξ)表示在定義域內(nèi)滿足柯西-黎曼條件的解析函數(shù)，見式(6)；α取值與圍巖所受壓力有關(guān)，見式(7)。

式(6)中系數(shù)an和bn為復(fù)數(shù)。通過巷道表面的邊界條件可求得系數(shù)an和bn。依據(jù)Harnack定理[1，2]，可將巷道表面的邊界條件等效為兩個(gè)泛函方程：

式中，γ表示巷道邊界曲線；f0與巷道邊界條件有關(guān)，取值為：

將式(6)、(7)和(9)代入式(8)，并利用Cauchy積分公式，即可求得復(fù)系數(shù)an和bn，具體求解過程見參考文獻(xiàn)[1-3]。然后可通過式(10)求得圍巖應(yīng)力分布。

由式(10)計(jì)算得到的應(yīng)力分量是基于共形映射函數(shù)ω(ξ)確定的曲線坐標(biāo)系[1]，需要將曲線坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量變換到直角坐標(biāo)系中。由微分幾何學(xué)可得曲線坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的方向余弦矩陣為：

直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力張量與曲線坐標(biāo)系中應(yīng)力張量可按下式轉(zhuǎn)換：

2 斜頂巷道應(yīng)力分析

以淮南礦業(yè)集團(tuán)潘三煤礦17102(3)工作面運(yùn)輸巷為例，分析斜頂巷道圍巖應(yīng)力和應(yīng)力集中系數(shù)分布特征。此巷道斷面如圖3所示。依據(jù)地應(yīng)力測(cè)試結(jié)果，取垂直應(yīng)力σV=16.8MPa，水平應(yīng)力σH=13.3MPa，剪應(yīng)力τ=0.5MPa。

圖3 斜頂巷道斷面(mm)

2.1 共形映射函數(shù)求解結(jié)果

依據(jù)文獻(xiàn)[15，16]中提出的共形映射函數(shù)求解方法，運(yùn)用科學(xué)計(jì)算軟件編程求解斜頂巷道外域到單位圓內(nèi)的共形映射函數(shù)的系數(shù)An和Bn。Laurent級(jí)數(shù)的階數(shù)N不同時(shí)，共形映射函數(shù)的映射圖形如圖4所示。由式(4)可計(jì)算得到共形映射函數(shù)的最大絕對(duì)誤差隨階數(shù)N增加的變化曲線，如圖5所示。

圖4 階數(shù)N不同時(shí)共形映射函數(shù)的映射圖形

圖5 最大絕對(duì)誤差隨階數(shù)N增加的變化曲線

由圖4和圖5可知，隨著階數(shù)N的增加，共形映射函數(shù)很快收斂到巷道斷面邊界。同時(shí)，共形映射函數(shù)的最大絕對(duì)誤差迅速減小。當(dāng)階數(shù)N大于22時(shí)，共形映射函數(shù)的最大絕對(duì)誤差減小緩慢，且此時(shí)的最大絕對(duì)誤差很小。因此，取階數(shù)N為22。系數(shù)An和Bn的求解結(jié)果見表1。

表1 斜頂巷道共形映射函數(shù)系數(shù)

由圖5可知，真實(shí)巷道邊界與求解得到的斜頂巷道共形映射函數(shù)近似的巷道斷面邊界之間的最大絕對(duì)誤差為14.3mm。由式(2)可得四個(gè)巷角的曲率半徑分別為31.4mm、31.1mm、26.7mm和56.8mm。對(duì)比文獻(xiàn)[15，16]中共形映射函數(shù)的誤差可得，斜頂巷道共形映射函數(shù)精度很高，同時(shí)考慮到實(shí)際工程中超挖和欠挖現(xiàn)象，本文求解得到的共形映射函數(shù)可滿足計(jì)算要求。

2.2 斜頂巷道主應(yīng)力和主應(yīng)力集中系數(shù)分布規(guī)律

圖6 斜頂巷道主應(yīng)力分布

由圖6(a)和圖7(a)可知，斜頂巷道最大主應(yīng)力和最大主應(yīng)力集中系數(shù)呈現(xiàn)腎臟形分布。兩幫最大主應(yīng)力和最大主應(yīng)力集中系數(shù)大于頂?shù)装濉Ｔ谙锏澜屈c(diǎn)處，最大主應(yīng)力和最大主應(yīng)力集中系數(shù)達(dá)到最大值，最大主應(yīng)力最大值超過了35MPa，最大主應(yīng)力集中系數(shù)最大值超過了4.5。

由圖6(b)和圖7(b)可知，斜頂巷道最小主應(yīng)力和最小主應(yīng)力集中系數(shù)呈現(xiàn)花形分布。巷道表面的最小主應(yīng)力和最小主應(yīng)力集中系數(shù)為0。在兩幫和頂?shù)装鍑鷰r中部，最小主應(yīng)力和最小主應(yīng)力集中系數(shù)較小。在巷道角點(diǎn)處，最小主應(yīng)力和最小主應(yīng)力集中系數(shù)達(dá)到最大值，最小主應(yīng)力最大值超過了35MPa，最小主應(yīng)力集中系數(shù)最大值超過了2.5。

由圖6(c)和圖7(c)可知，兩幫最大剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力集中系數(shù)大于頂?shù)装?。由Mohr-Coulomb巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則可知，圍巖內(nèi)一點(diǎn)最大剪應(yīng)力越大，圍巖發(fā)生破壞失穩(wěn)的可能性越大。由此可知頂?shù)装遢^兩幫穩(wěn)定。在巷角處，最大剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力集中系數(shù)達(dá)到最大值，最大剪應(yīng)力最大值超過了35MPa，最大剪應(yīng)力集中系數(shù)最大值超過了8。表明巷角是斜頂巷道中穩(wěn)定性最差的部位，加強(qiáng)巷角的支護(hù)強(qiáng)度有利于維護(hù)巷道穩(wěn)定。

圖7 斜頂巷道應(yīng)力集中系數(shù)力分布

3 結(jié) 論

1)斜頂巷道的共形映射函數(shù)的最大絕對(duì)誤差為14.3mm，四個(gè)巷角的曲率半徑分別為31.4mm、31.1mm、26.7mm和56.8mm。斜頂巷道的共形映射函數(shù)精度很高，可用于斜頂巷道應(yīng)力分布求解。

2)斜頂巷道圍巖最大主應(yīng)力、最小主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力及其應(yīng)力集中系數(shù)的最大值均出現(xiàn)在巷角處，主應(yīng)力分量最大值均超過35MPa，主應(yīng)力集中系數(shù)最大值分別超過4.5、2.5和8，巷角是斜頂巷道的薄弱部位，加強(qiáng)對(duì)巷角的支護(hù)強(qiáng)度有利于提高斜頂巷道圍巖的穩(wěn)定性。

3)兩幫最大剪應(yīng)力整體上大于頂?shù)装?，同時(shí)，最大剪應(yīng)力集中系數(shù)也大于頂?shù)装澹瑑蓭头€(wěn)定性較頂?shù)装宸€(wěn)定性低，加強(qiáng)對(duì)巷道兩幫的支護(hù)強(qiáng)度有利于提高巷道整體穩(wěn)定性。