基于非線性能量阱的隨機(jī)波浪載荷下導(dǎo)管架海洋平臺(tái)的振動(dòng)控制*

鄭中強(qiáng)， 姚志鵬， 常宗瑜，2

(1. 中國海洋大學(xué)工程學(xué)院， 山東 青島 266100； 2. 山東省海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山東 青島 266100)

工作在復(fù)雜海洋環(huán)境下的海洋平臺(tái)受到風(fēng)、浪、流、地震等載荷的作用，會(huì)產(chǎn)生持續(xù)的水平振動(dòng)，影響海洋平臺(tái)的使用壽命和平臺(tái)上工作人員的安全。隨著對(duì)海上能源需求的增加，海洋平臺(tái)越來越多的被應(yīng)用于海上油氣資源的開發(fā)，減小平臺(tái)的振動(dòng)日趨重要。

通過線性動(dòng)力吸振器被動(dòng)吸收平臺(tái)的振動(dòng)已經(jīng)得到廣泛的研究，其中調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)應(yīng)用較多。Li等[1]針對(duì)海洋平臺(tái)在隨機(jī)波浪載荷下的振動(dòng)，通過控制位移標(biāo)準(zhǔn)差的最大減小量，得到了TMD的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并分析了不同波浪參數(shù)對(duì)TMD最優(yōu)參數(shù)的影響。Wang等[2]研究了海洋平臺(tái)在沖擊載荷作用下的振動(dòng)控制問題，從能量傳遞與耗散的角度對(duì)TMD的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。Yue等[3]研究了海洋平臺(tái)在受冰激載荷時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)，分析了最優(yōu)參數(shù)的TMD并應(yīng)用到海洋平臺(tái)上，結(jié)果表明TMD可有效控制冰激激勵(lì)下海洋平臺(tái)產(chǎn)生的振動(dòng)。嵇春艷[4]通過模態(tài)分析的方法，研究了TMD對(duì)海洋平臺(tái)不同模態(tài)的減振效果，結(jié)果表明TMD只對(duì)單一模態(tài)的振動(dòng)有較好的控制效果。然而，TMD的頻率魯棒性較差，一旦TMD的固有頻率與主系統(tǒng)的固有頻率發(fā)生偏離，其振動(dòng)控制效果會(huì)顯著降低[5]。所處惡劣環(huán)境中的海洋平臺(tái)等結(jié)構(gòu)很容易發(fā)生破損、腐蝕，在平臺(tái)上安裝各種設(shè)備導(dǎo)致質(zhì)量增加，這些影響可能使結(jié)構(gòu)的固有頻率發(fā)生變化。因此，必須尋找新的方法以克服TMD減振頻帶窄的缺點(diǎn)。

非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)作為一種新型被動(dòng)非線性動(dòng)力吸振器，其在傳統(tǒng)的線性動(dòng)力吸振器中引入非線性剛度，使得NES沒有固定的頻率，能夠保證NES在較寬的頻帶上與主結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，到達(dá)較好的振動(dòng)抑制效率。通過適當(dāng)?shù)膮?shù)設(shè)計(jì)，使主結(jié)構(gòu)與NES之間發(fā)生靶能量傳遞將主結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)能量傳遞到NES中，并由NES中的阻尼耗散。Vakakis[6]研究了附加有NES的線性振子在脈沖激勵(lì)下系統(tǒng)能量傳遞的問題，發(fā)現(xiàn)了NES能量定向傳遞的特性，經(jīng)過適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)NES可作為被動(dòng)減振器使用。Gourdon等[7]通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了NES的能量定向傳遞，并表明NES在結(jié)構(gòu)固有頻率發(fā)生變化后依然有效。Lu等[8]提出一種軌道型NES與鋼框架相結(jié)合，建立了其數(shù)學(xué)模型，通過分析不同激勵(lì)下鋼框架的位移響應(yīng)，驗(yàn)證了NES寬頻帶的振動(dòng)控制特性，并研究了不同阻尼對(duì)振動(dòng)控制效果的影響。Georgiades等[9]研究了線性簡支梁附著NES后的振動(dòng)抑制和能量傳遞的問題，并通過數(shù)值模擬的方法優(yōu)化了NES的參數(shù)和安裝位置。Ahmadabadi等[10]和Fang等[11]分別將NES與壓電材料和磁致伸縮材料相結(jié)合，減小主結(jié)構(gòu)振動(dòng)的同時(shí)收集傳遞到NES中的振動(dòng)能量，并且從能量收集的角度對(duì)NES的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。Dai等[12]研究了NES對(duì)圓柱渦激振動(dòng)抑制效果，通過對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行無量綱化后，分析了NES的無量綱阻尼、剛度和質(zhì)量對(duì)渦激振動(dòng)抑制效果的影響，并優(yōu)化了NES的參數(shù)。李爽等[13]研究了不同的沖擊激勵(lì)下NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制效果，結(jié)果表明當(dāng)沖擊能量超過一定臨界閾值時(shí)，會(huì)激發(fā)靶能量傳遞達(dá)到較好的振動(dòng)抑制效果。陳勇等[14]研究了NES對(duì)高聳結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制效果，將高聳結(jié)構(gòu)簡化為懸臂梁，通過數(shù)值分析表明 NES 可有效吸收結(jié)構(gòu)振動(dòng)，并給出了NES參數(shù)的選擇方法。Kremer等[15]提出一種帶有永磁體的NES，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)控制和能量獲取，建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)裝置在瞬態(tài)響應(yīng)下的吸振和能量采集性能進(jìn)行了仿真研究，結(jié)果表明該系統(tǒng)具有良好的能量定位能力和寬頻帶的減振能力。Wang等[16]研究了軌道NES對(duì)建筑物的振動(dòng)控制效果，主要針對(duì)建筑結(jié)構(gòu)物受到外部因素導(dǎo)致自身剛度發(fā)生變化時(shí)，對(duì)比研究了軌道NES、立方剛度NES和TMD之間減振效果的差異，結(jié)果表明NES對(duì)結(jié)構(gòu)剛度變化更具有魯棒性。Wierschem等[17]對(duì)在地震載荷下NES和TMD的減振性能進(jìn)行了對(duì)比，研究結(jié)果表明，在建筑結(jié)構(gòu)固有頻率不變的情況下，TMD的性能較好，當(dāng)固有頻率發(fā)生變化時(shí)，NES系統(tǒng)在控制結(jié)構(gòu)響應(yīng)方面表現(xiàn)出較好的性能。

本文通過建立海洋平臺(tái)耦合NES系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)譜分析法模擬隨機(jī)波浪載荷，從降低平臺(tái)位移響應(yīng)均方差的角度對(duì)隨機(jī)波浪載荷作用下NES進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)比分析了NES與TMD的振動(dòng)控制性能，通過瞬時(shí)能量傳遞和位移響應(yīng)小波變化分析了NES的振動(dòng)控制機(jī)理。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

海洋平臺(tái)的結(jié)構(gòu)和所處環(huán)境較為復(fù)雜，本文僅取海洋平臺(tái)的第一模態(tài)，將系統(tǒng)看作為單自由度系統(tǒng)(SDOF)，這是因?yàn)橄到y(tǒng)第一模態(tài)的響應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)來說最為主要，振動(dòng)危害主要發(fā)生在第一模態(tài)上。本文以一導(dǎo)管架平臺(tái)[18]為例，通過數(shù)值計(jì)算分析NES對(duì)海洋平臺(tái)的振動(dòng)控制效果，平臺(tái)具體參數(shù)見表1。建立NES—海洋平臺(tái)簡化模型,見圖1。

表1 海洋平臺(tái)主要參數(shù)

圖1 NES—海洋平臺(tái)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

(1)

式中：m1、c1、k1分別表示海洋平臺(tái)的質(zhì)量、阻尼和剛度；m2、c2、k2分別表示NES的質(zhì)量、阻尼和剛度；x1、x2分別表示海洋平臺(tái)與NES的位移；F(t)表示作用于海洋平臺(tái)上的隨機(jī)波浪載荷。

2 隨機(jī)波浪載荷

本文通過譜分析法模擬隨機(jī)波浪載荷。選用改進(jìn)后的JONSWAP譜描述不規(guī)則波：

Sη(ω)=

(2)

式中：

Hs為有效波高(m)；T為峰值周期(s)；γ為譜峰升高因子(均值為3.3)；σ為峰形系數(shù)，其取值為：

ω≤ωm,σ=0.07；

ω≥ωm,σ=0.09。

海浪的波面可以看作一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，它是由多個(gè)不同周期不同隨機(jī)初相位的余弦波疊加而成，即得海浪的波面：

(3)

作用在張力腿上的隨機(jī)波浪載荷F(t)可由Morison方程計(jì)算得到：

(4)

式中：cD為Morison方程拖曳力系數(shù)，cD=1.4；ρ為海水的密度，取ρ=1 025 kg/m3；D為張力腿直徑；cM為Morison方程慣性力系數(shù)，cM=2。

(5)

式中：g為重力加速度；k為波數(shù)；d為平臺(tái)工作水深。

取波浪參數(shù)Hs=8 m，T=10 s。計(jì)算得到圖2 所示的JONSWAP波浪譜, 圖3作用于平臺(tái)上的隨機(jī)波浪載荷F(t)。

圖2 JONSWAP波浪譜

圖3 隨機(jī)波浪載荷

3 導(dǎo)管架平臺(tái)的振動(dòng)控制系統(tǒng)

3.1 基于NES的振動(dòng)控制

由于海洋平臺(tái)所受到的載荷為隨機(jī)波浪載荷，其響應(yīng)也是一個(gè)零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，所以本文通過平臺(tái)第一模態(tài)位移響應(yīng)的均方差來衡量海洋平臺(tái)產(chǎn)生振動(dòng)的劇烈程度。通過式(6)表示海洋平臺(tái)位移響應(yīng)的均方差：

(6)

式中μ表示位移響應(yīng)的平均值。

本文以海洋平臺(tái)有無NES時(shí)位移均方差的變化量作為反應(yīng)NES對(duì)海洋平臺(tái)振動(dòng)控制效果的標(biāo)準(zhǔn)，其可表示為：

(7)

式中：δ0表示平臺(tái)未安裝NES時(shí)的位移響應(yīng)均方差；δn表示平臺(tái)安裝NES后的位移響應(yīng)均方差。

在對(duì)NES參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，首先確定其質(zhì)量大小為平臺(tái)質(zhì)量的5%。確定質(zhì)量后，NES需要優(yōu)化的參數(shù)為非線性剛度和線性阻尼。通過龍格-庫塔法計(jì)算海洋平臺(tái)在隨機(jī)波浪載荷下的位移響應(yīng)，得到海洋平臺(tái)位移響應(yīng)的均方差，以最大均方差減小量J=max(φ)為目標(biāo)函數(shù),在非線性剛度k2=3.283 2×106～1.969 9×108N·m-3，線性阻尼c2=6.411 5×102～1.282 3×106N·s·m-1范圍內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)求解，得到均方差減小量最大值max(φ)所對(duì)應(yīng)的k2和c2的值即為最優(yōu)非線性剛度和最優(yōu)線性阻尼。參數(shù)變化對(duì)應(yīng)的減振效果如圖4可見，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果選取NES的非線性剛度為k2=2.955×107N·m-3，線性阻尼為c2=4.424×105N·s·m-1，質(zhì)量為m2=391 270 kg。

圖4 不同NES參數(shù)下平臺(tái)的振動(dòng)控制效果

3.2 基于TMD的振動(dòng)控制

TMD選取與NES相同的質(zhì)量，仍為平臺(tái)質(zhì)量的5%，TMD的剛度和阻尼通過動(dòng)力減振器的經(jīng)驗(yàn)公式來確定最優(yōu)值。具體設(shè)計(jì)公式為：

(8)

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算可得TMD的線性剛度為kTMD=1.489×106N·m-3，線性阻尼為cTMD=2.04×105N·s·m-1，質(zhì)量為mTMD=391 270 kg。

4 NES的振動(dòng)控制分析

4.1 NES振動(dòng)控制性能分析

首先對(duì)附加質(zhì)量鎖定的鎖定系統(tǒng)、NES系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)在隨機(jī)波浪載荷作用下的平臺(tái)位移進(jìn)行分析。考慮平臺(tái)工作環(huán)境惡劣，長期工作受到腐蝕、強(qiáng)震、強(qiáng)風(fēng)等作用可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度、頻率等特性發(fā)生變化，分別分析了平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度不變即為100%時(shí)和結(jié)構(gòu)剛度下降為理論設(shè)計(jì)值的45%時(shí)不同控制系統(tǒng)下平臺(tái)的位移響應(yīng)。

由圖5可知，當(dāng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度為100%時(shí)NES系統(tǒng)的振動(dòng)控制性能雖然差于TMD系統(tǒng)的控制效果，但NES系統(tǒng)也能保持良好的減振效果，位移峰值始終低于鎖定系統(tǒng)。由圖6可知，當(dāng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度退化為原剛度的45%后，TMD系統(tǒng)的振動(dòng)控制性能明顯下降，部分時(shí)間的位移峰值甚至超過鎖定系統(tǒng)，這是因?yàn)槠脚_(tái)結(jié)構(gòu)剛度變化后導(dǎo)致自身頻率發(fā)生變化導(dǎo)致TMD與平臺(tái)失去調(diào)諧，使TMD的減振效果大幅下降。而NES系統(tǒng)依舊可以保持原有的振動(dòng)控制性能，減振效果并未發(fā)生明顯的退化。

((a)平臺(tái)的位移響應(yīng);(b)位移響應(yīng)局部放大圖。(a) Displacement response of the platform; (b) Locally enlarged view of displacement response.)

((a)平臺(tái)的位移響應(yīng);(b)位移響應(yīng)局部放大圖。(a) Displacement response of the platform; (b) Locally enlarged view of displacement response.)

針對(duì)以上現(xiàn)象，繼續(xù)探討平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度在原設(shè)計(jì)剛度的30%～130%變化時(shí)不同系統(tǒng)的振動(dòng)控制效果，用以分析不同控制系統(tǒng)剛度的魯棒性。圖7給出了平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度變化時(shí)NES系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)與鎖定系統(tǒng)的平臺(tái)位移均方差比值，比值越小說明振動(dòng)控制效果越優(yōu)，可以看出NES系統(tǒng)與鎖定系統(tǒng)的均方差比值在整個(gè)剛度變化范圍內(nèi)處于0.89～0.75之間這說明在平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化時(shí)NES始終保持一定的振動(dòng)控制效果，其振動(dòng)控制性能受平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度變化影響不大。TMD系統(tǒng)在平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度變化不大的共振區(qū)域內(nèi)可達(dá)到優(yōu)于NES的振動(dòng)控制效果，但隨著平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度的變化TMD逐漸失諧振動(dòng)控制效果下降明顯，均方差比值達(dá)到0.96以上，部分時(shí)刻甚至出現(xiàn)放大平臺(tái)位移的現(xiàn)象。與TMD系統(tǒng)相比，NES雖然在TMD的共振頻率附近振動(dòng)控制效果弱于TMD，但NES系統(tǒng)的振動(dòng)控制性能對(duì)剛度變化的敏感程度較小，NES系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的變化的魯棒性更強(qiáng)。

圖7 平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度變化對(duì)位移均方差比值的影響

4.2 NES振動(dòng)控制機(jī)理分析

在系統(tǒng)參數(shù)確定后，建立系統(tǒng)內(nèi)部瞬時(shí)能量傳遞的數(shù)學(xué)模型，通過系統(tǒng)內(nèi)部瞬時(shí)能量傳遞的情況，來分析NES的瞬態(tài)響應(yīng)和靶能量傳遞現(xiàn)象。首先根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程確定系統(tǒng)中的瞬時(shí)能量表達(dá)式：

NES中的瞬時(shí)能量

(9)

平臺(tái)中的瞬時(shí)能量

(10)

NES內(nèi)部瞬時(shí)能量占比

(11)

通過內(nèi)部瞬時(shí)能量傳遞的數(shù)學(xué)模型，對(duì)隨機(jī)波浪載荷作用下的平臺(tái)與NES之間的瞬時(shí)能量進(jìn)行分析，圖8(a)、(b)給出了平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度為100%時(shí)NES系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)中的瞬時(shí)能量傳遞情況?？梢钥闯?，在TMD系統(tǒng)中，TMD內(nèi)部瞬時(shí)能量占比在100%～1%之間持續(xù)振蕩，此現(xiàn)象說明系統(tǒng)中的能量在平臺(tái)與TMD之間的傳遞是一個(gè)可逆的過程，并且這個(gè)可逆過程持續(xù)不斷的發(fā)生，能量在平臺(tái)與TMD交換的過程中，阻尼會(huì)消耗較多能量。而從NES系統(tǒng)曲線中可以得到，NES內(nèi)部瞬時(shí)能量占比始終保持在90%以上并且曲線振蕩的幅度和頻率較小，說明在外載荷激勵(lì)下，平臺(tái)中的能量傳遞到NES后，除阻尼耗散外大多數(shù)能量儲(chǔ)存在NES中，系統(tǒng)發(fā)生了靶能量傳遞，能量傳遞到NES中后幾乎不會(huì)再發(fā)生逆向傳遞到平臺(tái)。

分析圖9(a)、(b)平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度下降為原剛度的45%時(shí)NES系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)中的瞬時(shí)能量傳遞情況可知，TMD系統(tǒng)中，TMD內(nèi)部瞬時(shí)能量占比依然在100%～1%之間保持較大的振蕩頻率，而NES系統(tǒng)中雖然瞬時(shí)能量占比的振蕩幅值在某幾個(gè)時(shí)刻有較大的增加，但總體上振蕩的幅度保持在80%以上，而且曲線振蕩的頻率也明顯小于TMD系統(tǒng)。這說明NES系統(tǒng)中能量逆向傳遞的發(fā)生頻率依然小于TMD系統(tǒng)，NES系統(tǒng)中平臺(tái)與NES之間依然存在靶能量傳遞。

((a)NES內(nèi)部瞬時(shí)能量占比;(b) TMD內(nèi)部瞬時(shí)能量占比。(a) Instantaneous energy ratio within NES; (b) Instantaneous energy ratio within TMD.)

((a)NES內(nèi)部瞬時(shí)能量占比;(b) TMD內(nèi)部瞬時(shí)能量占比。(a) Instantaneous energy ratio within NES; (b) Instantaneous energy ratio within TMD.)

為進(jìn)一步分析NES產(chǎn)生靶能量傳遞的內(nèi)在原因，利用小波變換對(duì)NES和TMD系統(tǒng)中平臺(tái)和減振器的相對(duì)位移(x2-x1)進(jìn)行時(shí)頻特性分析。圖10(a)、(b)給出NES和TMD系統(tǒng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度100%時(shí)系統(tǒng)小波變換時(shí)頻譜，可以看出，平臺(tái)剛度為100%時(shí)，TMD系統(tǒng)的相對(duì)位移響應(yīng)能量大都集中在與平臺(tái)固有頻率0.326 Hz相同的頻率，說明平臺(tái)與TMD多數(shù)時(shí)間以相同的頻率做同步運(yùn)動(dòng)。而NES系統(tǒng)的小波變化圖像中可以看出系統(tǒng)響應(yīng)量頻率在0～0.5 Hz之間都有分布，這說明系統(tǒng)被激發(fā)出更多的頻率分量，平臺(tái)與NES振子在更寬頻范圍內(nèi)出現(xiàn)瞬態(tài)共振俘獲，使平臺(tái)與NES之間產(chǎn)生靶能量傳遞。

((a)NES系統(tǒng)；(b) TMD系統(tǒng)。(a)System of NES; (b)System of TMD.)

從圖11(a)、(b)描繪的NES和TMD系統(tǒng)在平臺(tái)結(jié)構(gòu)剛度退化到原剛度45%時(shí)系統(tǒng)小波變換時(shí)頻譜可以看出，由于剛度退化使平臺(tái)本身固有頻率變?yōu)?.219 Hz，TMD系統(tǒng)的相對(duì)位移響應(yīng)能量依然集中在與平臺(tái)固有頻率0.219 Hz相同的頻率，但響應(yīng)能量相較于100%剛度時(shí)變小。而NES系統(tǒng)雖然相較于平臺(tái)剛度100%時(shí)的頻率分布變窄，但在某些時(shí)刻依然有高頻分量存在，產(chǎn)生寬頻范圍內(nèi)出現(xiàn)瞬態(tài)共振俘獲。這也是剛度變化后NES系統(tǒng)振動(dòng)控制效果優(yōu)于TMD系統(tǒng)的原因。

((a)NES系統(tǒng)；(b) TMD系統(tǒng)。(a) System of NES; (b) System of TMD.)

5 結(jié)語

本文針對(duì)NES對(duì)受隨機(jī)波浪載荷下導(dǎo)管架海洋平臺(tái)第一模態(tài)的振動(dòng)控制進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化和數(shù)值分析，比較了NES和TMD振動(dòng)控制效果，計(jì)算表明：在平臺(tái)的頻率調(diào)諧區(qū)域內(nèi)NES的振動(dòng)控制效果比TMD的略差，但在其余遠(yuǎn)離共振區(qū)域內(nèi)，NES的振動(dòng)控制效果顯著優(yōu)于TMD，顯示出NES可在更寬的頻帶范圍內(nèi)保持良好的振動(dòng)控制性能，NES具有更好的剛度魯棒性?；谙到y(tǒng)內(nèi)部瞬時(shí)能量傳遞的分析，得到NES系統(tǒng)中能夠激發(fā)由平臺(tái)到NES的靶能量傳遞，通過小波變換分析可知靶能量傳遞主要是由系統(tǒng)中的瞬態(tài)共振俘獲激發(fā)的。