相對論量子體系的相空間規(guī)范變換

王懷玉

(清華大學(xué) 物理系， 北京 100084)

0 引言

在文獻(xiàn)[1]中，給出了量子體系的相空間規(guī)范變換。就是對于坐標(biāo)和動量做一個尺度變換，尺度變換因子α>0，而體系的能量譜保持不變。因此這個變換的特點(diǎn)是保能量的。該規(guī)范變換是適用于薛定諤方程的。也就是在低動量運(yùn)動時的規(guī)范變換。

本文將相空間規(guī)范變換推廣到狹義相對論的情形。我們發(fā)現(xiàn)，在狹義相對論的情況，為了繼續(xù)保能量，光速常數(shù)需要做一個與坐標(biāo)一樣的尺度變換。

1 相對論相空間的規(guī)范變換

在文獻(xiàn)[1]中，當(dāng)一個粒子服從量子力學(xué)的薛定諤方程

(1)

可以對于坐標(biāo)和動量做如下的尺度變換，

r→r/α=r′,p→pα=p′

(2)

我們此處用黑斜體表示矢量。它們可以是一維、二維和三維空間中的量。做了這樣的變換后，只要哈密頓量中的參量做相應(yīng)的尺度變換，則哈密頓量的形式保持不變。相應(yīng)地，能量本征值譜保持不變。所以說，這樣的變換是保能量譜的。

文獻(xiàn)[1]給出了兩個典型的粒子體系。一個是簡諧振子模型，其哈密頓量是

(3)

注意，其中勢能項已經(jīng)按照文獻(xiàn)[1]那樣，寫成一個彈性系數(shù)k的形式。對此哈密頓量做式(2)的尺度變換，相當(dāng)于質(zhì)量和彈性系數(shù)做如下的變換，

m→mα2=m′,k→kα2=k′

(4)

哈密頓量(3)式就成為

(5)

可見，式(3)哈密頓量的形式保持不變。因而，本征波函數(shù)和本征值的形式也保持不變。由于頻率ω并未變化，說明能譜也沒有變化。因此，這個變換是保能量的。

另一個例子是氫原子勢。哈密頓量為

(6)

除了做(2)的變換，同時令

e2→e2/α=e′2

(7)

那么，哈密頓量(6)就成為

(8)

哈密頓量的形式就保持不變。由于本征能量的表達(dá)式中含有因子me4，因此也是保能量的。

我們現(xiàn)在要把式(2)的這種尺度變換推廣到狹義相對論的情況。

在狹義相對論中，時空坐標(biāo)構(gòu)成四維矢量。不同慣性參照系的四維矢量之間是通過洛倫茲變換相聯(lián)系的。本文所涉及的是兩個基本的四維量：時空坐標(biāo)和四維能量-動量。

x=(r,ict),p=(p,iE/c)

(9)

首先想到的是，四維量如三維量一樣，按照式(2)做尺度變換。即對式(2)添加時間和能量分量即可。經(jīng)過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)不是這樣的。

現(xiàn)在我們把相對論量子力學(xué)方程寫下來。它們是自旋為0的克萊因-高登方程

(10)

和自旋為1/2的狄拉克方程。

(11)

先考慮自由粒子的情況，即在上兩式中，令勢能V=0.我們立即可以看到，除了做式(2)的尺度變換之外，還要對于光速常數(shù)做如下的尺度變換：

c→c/α=c′.

(12)

如此，自由粒子的哈密頓量的形式可以保持不變。注意，既然現(xiàn)在是保能量的變換，哈密頓量就應(yīng)該保持不變，相應(yīng)地，時間變量也不需要做變換。這一點(diǎn)與作者前面的預(yù)想不一樣。我們注意到，將變換式(2)和(12)應(yīng)用于(9)式的四維量，

x→(r/α,i(c/α)t)=(r′,ic′t)=x′，p→(pα,iEα/c)=(p′,iE/c′)=p′

(13)

時間和能量確實就不需要做變換了。反過來，由于時間不做尺度變換，因此，速度與坐標(biāo)具有同樣尺度變換。此處對于式(13)中的四維矢量要有一個說明。空時四維矢量x的第四個分量如果稱為時間分量，是不確切的。真正的時間是t?？諘r矢量的第四個分量是ict。同理，動量能量四維矢量的第四個分量iE/c不是真正的能量，能量是E。

以下以氫原子和諧振子模型為例進(jìn)行討論。

對于氫原子勢，狄拉克哈密頓量是

(14)

做式(2)、(4)、(7)和(12)的尺度變換之后，哈密頓量的形式保持不變。狄拉克方程求解氫原子的問題，在量子力學(xué)教科書上有介紹[2]。此處就不敘述了。我們只是提到一點(diǎn)，在氫原子的本征能級的表達(dá)式中，有一個重要的常數(shù)：精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù),記為αs.它的表達(dá)式為

(15)

在式(7)和(12)的尺度變換下，精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)也保持不變。這是因為，精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)在這兒的作用是表示能級劈裂。既然整個能譜是在相空間規(guī)范變換下不變的，表示能級劈裂的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)當(dāng)然也不應(yīng)該變換。

我們再來討論諧振子模型。

一般說來，在薛定諤方程中的勢能是V，那么，在狄拉克方程中的勢能保持不變。例如，在薛定諤哈密頓量中是庫侖勢(6)式，在狄拉克哈密頓量中是加在對角元上的同樣的庫侖勢，見式(14)。可是諧振子的情況有所不同。

早在1978年，就有人考慮過相對論諧振子的問題[3]。1989年，Moshinsky和Szczepaniak基于狄拉克方程，提出了三維相對論性諧振子的模型[4]。他們就把這個模型稱為狄拉克諧振子。隨后，文獻(xiàn)[5-8]專門研究了這個模型。在文獻(xiàn)[9]中有較為詳細(xì)的介紹。三維狄拉克諧振子模型出現(xiàn)之后，自然地，有人給出了相應(yīng)的一維和二維狄拉克諧振子模型{10-11}。本文為簡便起見，只討論一維狄拉克諧振子。二維和三維的情況同此討論，只是表達(dá)式更為繁瑣。

一維狄拉克哈密頓量如下

(16)

狄拉克諧振子哈密頓量(16)式的一個特點(diǎn)是，代表勢的項是加在非對角元上的，所以是一個矢量勢，而不是加在對角元上的標(biāo)量勢。這就是前面所說的，相對論性的諧振子勢與一般的勢能不同之處。

對于式(10)做式(2)、(4)和(12)的尺度變換之后，哈密頓量的形式保持不變。而且，其中頻率ω不參與變換。

本征值中的正能量支是

(17)

相應(yīng)的歸一化本征波函數(shù)是

(18)

其中ψn(x)是歸一化的諧振子本征函數(shù)。兩個分量的下標(biāo)量子數(shù)剛好差1。兩個分量的系數(shù)如下，

(19)

我們看到，經(jīng)過尺度變換(4)和(12)式，能譜(17)式是不變的。而且系數(shù)a1和a2也保持不變。

最后我們簡單提一下二維和三維狄拉克諧振子。

二維狄拉克諧振子的哈密頓量為

(20)

正的能量本征值為

(21)

三維狄拉克諧振子的哈密頓量為

H=cα·(p-imωβr)+βmc2

(22)

三維空間中，除了自旋角動量，還有軌道角動量。求解得到的正能量本征值是

(23)

其中，l=0,1,2,…;j=l+1/2.由于總角動量是軌道角動量與自旋角動量之和，總角動量量子數(shù)總是半整數(shù)，因而j+1/2總是整數(shù)。

二維和三維狄拉克諧振子哈密頓量都是在式(2)、(4)和(12)的尺度變換之后，其形式保持不變，它們的本征函數(shù)也具有(18)和(19)式的形式。

2 討論

對于薛定諤量子體系的尺度變換[1]，為了保能量不變，除了對于坐標(biāo)和動量做式(2)的尺度變換，還需要對其它的量特別是對物理常數(shù)的尺度變換。例如對于質(zhì)量的變換(4)式和對于單位電荷的變換(7)式。在相對論量子力學(xué)體系中，還要加上對光速c這個物理常數(shù)的變換(12)式。在[1]中未涉及到對于c的變換，是因為如下的原因。

一個相對論自由粒子的能量是

(24)

文獻(xiàn)[1]中只考慮了薛定諤方程的情況，也就是粒子做低動量運(yùn)動。它的動能就是將(24)式做展開后再減去靜止能量。

(25)

由于根號只展開至一級項，所以這個動能的表達(dá)式中，不出現(xiàn)光速。因此，文獻(xiàn)[1]中未涉及對于光速的尺度變換。如果將根號展開至二級項，

(26)

那么，在動能的表達(dá)式中，光速常數(shù)就顯現(xiàn)出來。就會涉及光速的尺度變換式(12)。因為二級項體現(xiàn)了相對論修正，所以就必然涉及光速常數(shù)。

不過，普朗克常數(shù)?是不做尺度變換的。這一點(diǎn)，反映了量子力學(xué)的特征性。因為其它的量，如電荷、光速等，經(jīng)典力學(xué)中也有這樣的量。當(dāng)取經(jīng)典極限時，量子力學(xué)的尺度變換自然過渡到對應(yīng)的經(jīng)典力學(xué)的尺度變換，盡管后者可能不是保能量的。但是普朗克常數(shù)?是經(jīng)典力學(xué)所沒有的。如果?也做尺度變換，那么，當(dāng)過渡到經(jīng)典力學(xué)時，必須取?→0.從而?的變換在經(jīng)典力學(xué)就消失了，這個變換在經(jīng)典力學(xué)中就沒有對應(yīng)物，這會引起矛盾。因此，為了不導(dǎo)致矛盾，普朗克常數(shù)?不能做尺度變換。這也表明，無論空間如何在尺度變換下伸縮，能量量子是不變的。這也與保能量變換這一特點(diǎn)相一致。

上一節(jié)我們只討論狄拉克方程了。本文未對克萊因-高登方程做討論，因為討論是類似的，沒有新的內(nèi)容。

在相對論量子力學(xué)中，并不是式(9)的四維矢量都做尺度變換，而只是空間的三維矢量做變換，時間和能量不做變換。這相當(dāng)于低速或者靜止的粒子的狀態(tài)。確實，文獻(xiàn)[1]和本文所舉的體系，例如氫原子和諧振子模型，哈密頓量都與時間無關(guān)，都是計算定態(tài)薛定諤方程。

狹義相對論的時空坐標(biāo)符合洛倫茲變換。粒子在運(yùn)動時，沿運(yùn)動方向的空間會有收縮，看到的一個物體會有旋轉(zhuǎn)后的效果。

狹義相對論中粒子在運(yùn)動時，由于洛倫茲變換所感受到的空間的壓縮與空間尺度變換相比，各有特點(diǎn)。狹義相對論中，粒子運(yùn)動時，只感受到沿著運(yùn)動方向上的空間的壓縮而沒有膨脹；壓縮的程度在不同的點(diǎn)是不一樣的，而且其中涉及到時間的因素；在垂直于運(yùn)動方向上的空間尺度不變。相空間尺度變換時，空間各點(diǎn)既可以有壓縮也可以膨脹，這取決于比例因子α的數(shù)值；在空間的所有維度上都有壓縮或者膨脹；空間各點(diǎn)的壓縮 或者膨脹的比例是完全相同的，且與時間無關(guān)。

如果勢能是含時間的，那么，時間也就不得不做尺度變換。相應(yīng)地，能量也就必須做尺度變換。那時，就不能保證這樣的尺度變換是保能量的。所以，本文討論的空間尺度變換，只適用于粒子靜止或低動量運(yùn)動的體系。

3 結(jié)論

(1) 本文把量子體系的相空間規(guī)范變換推廣到相對論情形。在相對論情況下相空間規(guī)范變換是r→r/α,p→pα再加上光速常數(shù)的變換c→c/α=c′.時間和能量不做變換。因此，仍然是保能量的。

(2) 相空間規(guī)范變換有效的前提是，哈密頓量與時間無關(guān)。如果哈密頓量與時間有關(guān)，那么，為了保持哈密頓量在尺度變換下保持不變，時間就不可避免地也要做變換。相應(yīng)地，能量也必須做變換。就不能實現(xiàn)保能量。在做尺度變換時，單位電荷和光速常數(shù)等一些物理常數(shù)也會做相應(yīng)的變換。但是普朗克常數(shù)不做變換。原因是，普朗克常數(shù)只在量子力學(xué)中出現(xiàn)，而在經(jīng)典力學(xué)中沒有這個量。