基于切比雪夫不等式地震人員傷亡評(píng)估

王 野，于建杰，余世舟

(中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，中國(guó)地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150080 )

我國(guó)是一個(gè)破壞性地震頻發(fā)的國(guó)家，近幾十年來(lái)隨著經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，財(cái)富集中、人口密集，地震風(fēng)險(xiǎn)增加，為減少地震造成的損失，開(kāi)展震害預(yù)測(cè)工作對(duì)地震預(yù)防和震后應(yīng)急尤為重要。其中，地震人員傷亡評(píng)估結(jié)果是震前預(yù)防和震后應(yīng)急工作的重要參考依據(jù)[1-7]。

對(duì)比國(guó)內(nèi)外已有研究成果，地震人員傷亡的評(píng)估方法，按照結(jié)果表達(dá)方式來(lái)分，則主要分為兩類，其一是給出地震造成人員傷亡的期望值，如國(guó)外的Samardjieva等學(xué)者[8]根據(jù)1990年以來(lái)的全球范圍內(nèi)的地震震害人員傷亡統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，回歸分析得到的基于全球尺度下的人員傷亡和震級(jí)之間的公式，給出在不同震級(jí)下人員傷亡的期望值；國(guó)內(nèi)的肖光先[9]以房屋破壞間數(shù)作為主要參數(shù)，并同時(shí)考慮相對(duì)人口密度的影響，總結(jié)得出近似的人員傷亡期望值經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式；劉吉夫等[10]收集了大量國(guó)內(nèi)破壞性地震的數(shù)據(jù)，并考慮了死亡率為0時(shí)的特殊情況，擬合給出新的地震人員傷亡期望值評(píng)估模型；鄭山鎖、張睿明等[11]在考慮了不同時(shí)段人員在室率、人員密度以及不同結(jié)構(gòu)類型破壞下人員傷亡率的情況下，給出了地震傷亡評(píng)估模型，并通過(guò)算例驗(yàn)算，驗(yàn)證其評(píng)估模型的合理性和正確性。其二是給出地震造成人員傷亡數(shù)在某一范圍內(nèi)的概率，如李帆等[12]考慮了人員密度、在室率和結(jié)構(gòu)不同破壞狀態(tài)下人員死亡率，通過(guò)運(yùn)用中心極限定理，給出了在不同給定預(yù)測(cè)概率下的死亡人數(shù)上限；USGS于2007年發(fā)布的全球地震快速評(píng)估系統(tǒng)PAGER[13],在人員損失評(píng)估方面，給出基于歷史震害數(shù)據(jù)回歸分析得到的經(jīng)驗(yàn)評(píng)估模型，從而得到人員傷亡數(shù)落在某兩個(gè)閾值間的概率。

總結(jié)人員傷亡評(píng)估方法現(xiàn)狀可發(fā)現(xiàn)，有些評(píng)估方法雖然考慮到了建筑結(jié)構(gòu)易損性對(duì)傷亡的影響，但其往往只能給出人員傷亡的期望值，由于實(shí)際房屋建筑的震害表現(xiàn)具有很強(qiáng)的不確定性，單一的期望值估算不能充分評(píng)估描述震害損失的不確定性。還有些評(píng)估方法雖然能給出某一人員傷亡范圍的概率，但多是基于歷史傷亡數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果給出的，未考慮區(qū)域建筑結(jié)構(gòu)易損性差異。

因此，本文基于建筑結(jié)構(gòu)易損性，采用切比雪夫不等式分析結(jié)構(gòu)震害的不確定性變化范圍，給出地震人員傷亡評(píng)估結(jié)果的變化函數(shù)。并結(jié)合算例對(duì)比分析評(píng)估方法的適用性。

1 震害分布趨勢(shì)

建筑結(jié)構(gòu)易損性結(jié)果通常以易損性曲線或震害矩陣的形式給出。將建筑結(jié)構(gòu)不同的破壞等級(jí)按照震害指數(shù)進(jìn)行劃分，將各破壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的震害指數(shù)范圍中值作為橫坐標(biāo)，各破壞等級(jí)的概率為縱坐標(biāo)，則可得到在不同烈度下各破壞等級(jí)比例的散點(diǎn)圖，并將散點(diǎn)用平滑的曲線進(jìn)行連接，令其與正態(tài)函數(shù)曲線對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，其分布趨勢(shì)近似服從截?cái)嗾龖B(tài)分布?，F(xiàn)以某地的單層房屋震害矩陣為例做對(duì)比圖，如圖1及表1所示。

表1 某地單層房屋震害矩陣Table 1 Earthquake damage matrix of a single-story building in a certain area

圖1 各烈度下震害指數(shù)-概率散點(diǎn)圖與正態(tài)函數(shù)曲線趨勢(shì)圖對(duì)比圖Fig.1 Comparison of seismic damage index-probability scatter plot and normal function curve trend graph under different intensity

2 基于切比雪夫不等式的范圍限定

基于震害分布趨勢(shì)及切比雪夫不等式對(duì)分布函數(shù)曲線各區(qū)間的概率估計(jì)方法，可給出各破壞等級(jí)可能的比率限定范圍。

首先根據(jù)1中震害分布趨勢(shì)所述可知某一烈度下各破壞等級(jí)比例曲線分布趨勢(shì)近似服從截?cái)嗾龖B(tài)分布，則可根據(jù)易損性曲線或震害矩陣，以不同破壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的震害指數(shù)為橫坐標(biāo)，各破壞等級(jí)的概率為縱坐標(biāo)，進(jìn)行正態(tài)分布擬合，給出正態(tài)分布函數(shù)N(μ,δ2)。則震害分布為N(μ,δ2)/P{0≤X≤1}在[0～1]間的截?cái)嗖糠帧?/p>

其次基于切比雪夫不等式可計(jì)算出各破壞等級(jí)的比例上限，計(jì)算見(jiàn)下式(1)。

(1)

式中：P{0≤X≤1}為正態(tài)函數(shù)N(μ,δ2)在[0～1]間的概率；K為破壞等級(jí)比例約束上限；ζ1、ζ2分別為破壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的震害指數(shù)范圍的兩個(gè)邊界值到均值μ的距離，如K為建筑物基本完好比例約束上限，則ζ1、ζ2為基本完好對(duì)應(yīng)的震害指數(shù)范圍的兩個(gè)邊界值到均值μ的距離。

3 不確定性的評(píng)估方法

基于建筑結(jié)構(gòu)易損性，考慮人員在室率、各破壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)傷亡率，即可估算因建筑破壞而導(dǎo)致的人員傷亡。

根據(jù)前文切比雪夫不等式約束后的各破壞等級(jí)比例變化范圍，即可給出地震造成人員傷亡最值。其中傷亡人數(shù)最小值Dmin計(jì)算方式為：令約束后的各破壞等級(jí)比例變化范圍按照完好、輕微破壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞、損壞的順序依次在變化范圍內(nèi)取上限值，至比例累計(jì)到1時(shí)停止后續(xù)破壞等級(jí)的取值(即計(jì)算最小值時(shí)在各破壞等級(jí)比例和為1的前提下，令建筑結(jié)構(gòu)盡可能處在破壞程度輕的等級(jí))，同時(shí)考慮人員在室率、各破壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)傷亡率，即可估算因建筑破壞而導(dǎo)致的人員傷亡最小值Dmin。同理對(duì)于最大值Dmax的計(jì)算方式為：令約束后的各破壞等級(jí)比例變化范圍按照損壞、嚴(yán)重破壞、中等破壞、輕微破壞、完好的順序依次在變化范圍內(nèi)取上限值，至比例累計(jì)到1時(shí)停止后續(xù)破壞等級(jí)的取值(即計(jì)算最大值時(shí)在各破壞等級(jí)比例和為1的前提下，令建筑結(jié)構(gòu)盡可能處在破壞程度嚴(yán)重的等級(jí))，同時(shí)考慮人員在室率、各破壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)傷亡率，即可估算因建筑破壞而導(dǎo)致的人員傷亡最大值Dmax。

ATC-13方法中假定專家意見(jiàn)的結(jié)果按照對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并按照專家給出的最大和最小值構(gòu)成90%的置信區(qū)間，給出各烈度地震破壞損失率的對(duì)數(shù)正態(tài)分布[14]。本文借鑒ATC-13方法給出損失率分布函數(shù)的研究思路，以正態(tài)分布函數(shù)距均值處3倍標(biāo)準(zhǔn)差距內(nèi)構(gòu)成約99.7%為置信區(qū)間，給出人員傷亡分布函數(shù)曲線。其中以傷亡人數(shù)最大值Dmax最小值Dmin對(duì)數(shù)均值近似作為函數(shù)均值μD，計(jì)算見(jiàn)式(2)，按照滿足置信區(qū)間約為99.7%的要求，以6倍標(biāo)準(zhǔn)差距離為限值求出函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差δD，如式(3)所示，進(jìn)而給出變化函數(shù)及趨勢(shì)圖。

μD=(lg(Dmax)+lg(Dmin))/2.

(2)

δD=(lg(Dmax)-lg(Dmin))/6.

(3)

4 算例分析

基于某城市震害預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)信息，以多層砌體房屋為例，對(duì)上述方法進(jìn)行算例分析。該城市多層砌體房屋震害矩陣如下表2所示，給出該城市多層砌體房屋各烈度下的對(duì)數(shù)死亡人數(shù)函數(shù)曲線的過(guò)程為以下幾步：

表2 某城市多層砌體房屋震害矩陣Table 2 Earthquake damage matrix of a multistory masonry building in a city

表3 各烈度下正態(tài)分布函數(shù)相關(guān)參數(shù) Table 3 Relevant parameters of normal distribution function under each intensity烈度μδⅥ-0.16990.2050Ⅶ0.17090.2352Ⅷ0.45460.2277Ⅸ0.63190.2081Ⅹ1.52580.6006表4 多層砌體房屋在不同烈度下死亡人數(shù)Table 4 The death toll of multi-storey masonry houses under different intensity烈度DmaxDDminⅥ000Ⅶ1780Ⅷ258530Ⅸ6663571Ⅹ3507146427

1)將建筑物破壞等級(jí)按照震害指數(shù)進(jìn)行數(shù)值化，以破壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的震害指數(shù)為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的概率為縱坐標(biāo)，進(jìn)行正態(tài)分布擬合，給出在各烈度下的正態(tài)分布函數(shù)N(μ,δ2)，具體參數(shù)見(jiàn)表3。

2)按照式(1)，可計(jì)算得到各烈度下各破壞等級(jí)比例約束上限。并根據(jù)各破壞等級(jí)比例約束上限，按照前文所述傷亡人數(shù)最值各破壞等級(jí)比例取值方法及傷亡人數(shù)計(jì)算方式，即可計(jì)算出各烈度下人員傷亡數(shù)最大值Dmax和最小值Dmin。同時(shí)為便于對(duì)比分析，采用傳統(tǒng)基于建筑結(jié)構(gòu)易損性的傷亡人數(shù)評(píng)估方法計(jì)算出基于建筑物易損性的死亡人數(shù)期望值D。見(jiàn)表4。

3)依據(jù)公式(2)、(3)計(jì)算出該城市多層砌體房屋在不同烈度下的對(duì)數(shù)死亡人數(shù)變化函數(shù)，如下表5及圖2所示，其中表5中“-”表示在該烈度下無(wú)人員死亡，故無(wú)對(duì)數(shù)死亡人數(shù)函數(shù)曲線；圖2中圓點(diǎn)的標(biāo)注信息為采用傳統(tǒng)評(píng)估方法得到的死亡人數(shù)期望值D在該函數(shù)曲線上的對(duì)數(shù)值及超越概率。

表5 多層砌體房屋在不同烈度下對(duì)數(shù)死亡人數(shù)函數(shù)相關(guān)參數(shù)Table 5 Relevant parameters of logarithmic death toll function for multi-storey masonry buildings under different intensities

地震造成的人員傷亡具有很大的不確定性，傳統(tǒng)的期望值評(píng)估結(jié)果并不能反映預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性，無(wú)法給出某個(gè)數(shù)量級(jí)、某個(gè)范圍內(nèi)或超過(guò)某個(gè)關(guān)心閾值的可能性有多大。而不確定性分布函數(shù)曲線評(píng)估結(jié)果則可以根據(jù)曲線在某個(gè)范圍的積分給出相應(yīng)的概率數(shù)值表達(dá)。

分析算例評(píng)估結(jié)果：

(1)可以給出地震造成死亡人數(shù)基于超越概率的表達(dá)。某一死亡人數(shù)的超越概率即為超過(guò)此死亡人數(shù)的部分函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)軸x=0所包圍的面積。如圖2(c)中多層砌體房屋在Ⅸ度下死亡人數(shù)達(dá)到357人的超越概率為0.0079。

(2)可以給出所關(guān)注的閾值區(qū)間的概率，即為兩個(gè)死亡人數(shù)閾值區(qū)間的部分函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)軸x=0所包圍的面積。如圖2(d)中多層砌體房屋在Ⅹ度下死亡人數(shù)在100人和1000人之間的概率為0.8436。

(3)人員傷亡是結(jié)構(gòu)易損性的體現(xiàn)。本文方法是基于結(jié)構(gòu)易損性結(jié)果給出的，能很好的反映地震作用強(qiáng)度及結(jié)構(gòu)易損性的變化對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響。

(4)傳統(tǒng)的期望值評(píng)估結(jié)果，也不一定落在發(fā)生概率較高的范圍內(nèi)，而是隨地震作用強(qiáng)度、易損性結(jié)果變化而變化的。初步分析是由于傷亡是易損性結(jié)果與不同烈度對(duì)應(yīng)的死亡率相乘導(dǎo)致函數(shù)曲線的變化及對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換所造成的。

(5)與現(xiàn)有的基于建筑結(jié)構(gòu)易損性人員傷亡期望值評(píng)估方法對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，本文方法能給出更多基于概率、超越概率的表達(dá)。由于實(shí)際房屋建筑的震害表現(xiàn)具有很強(qiáng)的不確定性，本文方法更能滿足對(duì)震害損失的不確定性的描述評(píng)估?？蛇M(jìn)一步描述低數(shù)量級(jí)發(fā)生概率高與高數(shù)量級(jí)發(fā)生概率低的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)比問(wèn)題。

對(duì)擁有多種建筑結(jié)構(gòu)類型的情況，可基于卷積公式，給出同一烈度下的聯(lián)合人員傷亡概率密度函數(shù)。為便于實(shí)際應(yīng)用，再選取多個(gè)人員傷亡閾值處的概率密度函數(shù)值，擬合給出對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)。同理，給出具有不同烈度的整個(gè)評(píng)估區(qū)人員傷亡對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)。

5 總結(jié)與展望

本文提出了基于切比雪夫不等式的人員傷亡評(píng)估模型，給出人員傷亡函數(shù)曲線，得到基于概率、超越概率表達(dá)的人員傷亡評(píng)估結(jié)果，反映了建筑物易損性對(duì)傷亡評(píng)估結(jié)果的影響。相對(duì)于基于建筑物易損性的期望值評(píng)估方法則更能充分描述評(píng)估結(jié)果的不確定性。并以算例分析驗(yàn)證了評(píng)估方法的適用性。

然而本文方法仍有不足之處，如函數(shù)均值和方差是基于經(jīng)驗(yàn)方法給出的，有一定的主觀性，對(duì)數(shù)正態(tài)分布雖是常用的損失表達(dá)方式，但忽略了易損性從截?cái)嗾龖B(tài)分布到傷亡的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)變所造成的誤差。為進(jìn)一步提高人員傷亡評(píng)估模型的精確性，在今后的研究中將會(huì)用蒙特·卡洛方法對(duì)比驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)方法，進(jìn)而分析給出均值和方差的修正系數(shù)。