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    等量異號雙環(huán)電荷在軸線上產(chǎn)生勻強(qiáng)電場條件的研究*

    2021-07-26 04:52:10周群益
    物理通報(bào) 2021年8期
    關(guān)鍵詞:主峰雙環(huán)場強(qiáng)

    周群益

    (廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

    莫云飛

    (長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長沙 410022)

    侯兆陽

    (長安大學(xué)理學(xué)院 陜西 西安 710064)

    周麗麗

    (贛南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

    1 引言

    兩個(gè)半徑和電流大小方向都相同的共軸通電線圈的距離等于半徑時(shí),中間部分接近于勻強(qiáng)磁場,這種線圈稱為亥姆霍茲線圈[1~3].兩個(gè)大小相同的共軸圓環(huán)帶有等量異號電荷時(shí),簡稱為帶電雙環(huán).當(dāng)雙環(huán)很近時(shí),在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電場等效于一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電場[4].與亥姆霍茲線圈類似,當(dāng)兩環(huán)之間的距離等于某一臨界距離時(shí),兩環(huán)之間的電場接近于勻強(qiáng)電場.文中說明了雙環(huán)之間的場強(qiáng)隨距離變化的規(guī)律,求出了臨界距離和臨界電場.

    2 軸線上的電場隨距離的變化

    如圖1所示,取z軸為兩環(huán)共軸,原點(diǎn)取在兩環(huán)正中間.設(shè)兩個(gè)圓環(huán)的半徑為a,距離為2L,均勻帶有等量異號電荷±Q.

    圖1 等量異號共軸雙環(huán)電荷的場強(qiáng)

    當(dāng)均勻正負(fù)圓環(huán)電荷中心位于原點(diǎn)時(shí),在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)為[2~4]

    (1)

    場強(qiáng)和距離無量綱化處理后關(guān)系如圖2所示,帶正電荷的圓環(huán)在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)用先負(fù)后正的虛線表示,帶負(fù)電荷的圓環(huán)在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)用先正后負(fù)的點(diǎn)虛線表示,當(dāng)兩環(huán)重合時(shí),L=0,合場強(qiáng)為零用實(shí)線表示.

    圖2 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = 0)

    兩條曲線都有一個(gè)“峰”,E±(z)對z求導(dǎo)數(shù),可得

    (2)

    (3)

    如圖3所示,正電荷向左,負(fù)電荷向右拉開雙環(huán),當(dāng)L= 0.1a時(shí),原點(diǎn)處的合場強(qiáng)形成一個(gè)“峰”,稱為“主峰”.“主峰”附近的電場并不均勻.

    圖3 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = 0.1a)

    繼續(xù)拉開雙環(huán),“主峰”不斷長高.如圖4所示,當(dāng)L= 0.707 11a時(shí),兩個(gè)環(huán)的“峰”重疊,合場強(qiáng)的“主峰”達(dá)到最高.

    圖4 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = 0.707 11a)

    繼續(xù)拉開雙環(huán),“主峰”不斷降低.如圖5所示,當(dāng)L=a時(shí),兩個(gè)環(huán)的“峰”錯(cuò)開,“主峰”降低一些.

    圖5 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = a)

    繼續(xù)拉開雙環(huán),“主峰”將分裂為兩個(gè)對稱的“次峰”.如圖6所示,當(dāng)L= 2a時(shí),“主峰”變成了“主谷”.“主谷”附近的電場也不太均勻.

    圖6 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = 2a)

    3 軸線上的臨界距離和臨界電場

    在“主谷”的兩側(cè)各有一個(gè)對稱的拐點(diǎn).如果減少雙環(huán)之間的距離,兩個(gè)拐點(diǎn)將向中垂線靠攏.當(dāng)兩個(gè)拐點(diǎn)恰好在中垂線重合時(shí),“主谷”消失,兩個(gè)“次峰”就合并為一個(gè)“平峰”,這個(gè)距離是臨界距離.

    在圖1中,左環(huán)正電荷在場點(diǎn)軸線點(diǎn)P處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

    (4)

    右環(huán)負(fù)電荷在軸線上場點(diǎn)P處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

    (5)

    合場強(qiáng)為

    E(z) =E1(z) +Ez(z)=

    (6)

    L是兩環(huán)之間的半距離,是決定場強(qiáng)分布規(guī)律的參數(shù).將E(z)對z求導(dǎo)數(shù)得

    (7)

    二階導(dǎo)數(shù)為

    (8)

    解得

    (9)

    2LC是兩環(huán)之間的臨界距離,LC就是臨界半距.這種雙環(huán)稱為臨界雙環(huán)或亥姆霍茲雙環(huán).臨界雙環(huán)在z= 0處的臨界場強(qiáng)為

    (10)

    臨界雙環(huán)的電場強(qiáng)度如圖7所示,在原點(diǎn)附近電場比較均勻.

    圖7 臨界雙環(huán)軸線上的電場強(qiáng)度(L = LC)

    4 公式的無量綱化和MATLAB程序

    取半徑a為長度單位,則無量綱的坐標(biāo)和距離為

    (11)

    (12)

    MATLAB的計(jì)算功能和圖形功能都很強(qiáng),根據(jù)公式可設(shè)計(jì)一個(gè)簡短的程序,完成各種曲線的計(jì)算和繪制(見附錄).

    5 結(jié)束語

    靜電學(xué)和恒磁學(xué)往往有一些相似的問題.既然亥姆霍茲線圈可以在軸線上產(chǎn)生均勻磁場,也應(yīng)該存在“亥姆霍茲雙環(huán)”在軸線上產(chǎn)生均勻電場.這是一種十分有趣的聯(lián)想.利用亥姆霍茲線圈磁場的求法,即可求得臨界雙環(huán)的電場.

    利用MATLAB能夠簡單地求出臨界距離,還可以將雙環(huán)電荷所形成的電場隨距離的變化過程用動(dòng)畫演示出來.

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