該如何用電像法處理導(dǎo)體球腔

姜志鋒

(鄱陽縣第一中學(xué) 江西 上饒 333100)

黃亦斌

(江西師范大學(xué)理學(xué)院 江西 南昌 330000)

1 電像法概述

電像法是處理導(dǎo)體靜電感應(yīng)問題的利器.其基本思路是：對于所研究的區(qū)域,內(nèi)部有點(diǎn)電荷，邊界為導(dǎo)體,如圖1(a)所示，希望能找到僅由點(diǎn)電荷組成的體系，如圖1(b)所示，使得所研究區(qū)域內(nèi)的電場與后一情形下對應(yīng)區(qū)域內(nèi)的電場完全相同.此時(shí)，新引入的電荷稱為像電荷.

(a)研究區(qū)域內(nèi)有點(diǎn)電荷，以接地導(dǎo)體平板為界

那么，目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)呢？有唯一性定理支持.唯一性定理指出:對于一個(gè)區(qū)域，如果給定內(nèi)部的電荷分布，又給定邊界條件，那么區(qū)域內(nèi)的電場被唯一確定.據(jù)此，如果有兩個(gè)相同的區(qū)域，只要內(nèi)部電荷分布相同，且邊界條件相同，則兩區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)分布相同.

什么是“給定邊界條件”呢？對于以導(dǎo)體為邊界的情況，常見情形包括：給定各導(dǎo)體電勢；給定各導(dǎo)體電荷量；給定部分導(dǎo)體的電勢和其他導(dǎo)體的電荷量.要注意，無法對同一個(gè)導(dǎo)體同時(shí)任意給定其電勢和電荷量.一般來說，對這種邊界條件，體系是無解的.

如果用唯一性定理解決靜電感應(yīng)問題，那么，首先，要注意所引入的像電荷必須處在所研究區(qū)域之外，否則就改變了區(qū)域內(nèi)的電荷分布.然后，要利用經(jīng)驗(yàn)和推理，研究在區(qū)域外怎樣的點(diǎn)電荷分布(連同區(qū)域內(nèi)已知的電荷分布)可以實(shí)現(xiàn)所需的邊界條件.

接地導(dǎo)體球的靜電感應(yīng)是一個(gè)經(jīng)典問題.通常的做法是，假定球內(nèi)部有一點(diǎn)電荷，設(shè)定其電荷量和位置，要求其與球外電荷一起使得球面的電勢為零.研究發(fā)現(xiàn)，這一要求可以得到滿足，且有唯一解，于是我們就找到了鏡像電荷的電荷量和位置[1]

(1)

其中，各字母的意義和所求電場如圖2所示.(圖示默認(rèn)q為正電荷，q′為負(fù)電荷，若電性相反，則電場線方向相反)

另一條思路是：首先可以證明，不等量異號電荷系統(tǒng)，一定存在唯一一個(gè)等勢面是球面，如圖3中的虛線，而且其電勢為零，其幾何性質(zhì)(球心位置、半徑)由兩電荷的電荷量和位置確定.于是，可以將導(dǎo)體球面與該等勢球面等同，從而反向推出鏡像電荷的位置和大小.圖2和圖3兩圖在球外空間的電場就完全相同.

圖2 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球之間的電場

圖3 不等量異號電荷間的電場(圖中虛線表示球面等勢面)

一個(gè)值得注意的結(jié)論是：導(dǎo)體球表面的總感應(yīng)電荷正好等于鏡像電荷.這一點(diǎn)可以用高斯定理證明.

2 導(dǎo)體球腔情形

如果是導(dǎo)體球腔內(nèi)偏心b處置一點(diǎn)電荷q′,該如何用電像法求解腔內(nèi)的電場？

實(shí)際上，圖3已經(jīng)給出了答案：其虛線內(nèi)的電場即為所求.將其重畫為圖4.此時(shí)，像電荷q的數(shù)值與離球心的距離d仍由式(1)給出.此時(shí)，腔內(nèi)任一點(diǎn)的場強(qiáng)就等于電荷q′與像電荷q在這一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)，腔內(nèi)表面的電荷在腔內(nèi)的作用可以用腔外的點(diǎn)電荷q來代替.問題就這么簡單地解決.

圖4 導(dǎo)體球腔的電像法示意圖

但是跟導(dǎo)體球外情形對比時(shí)，有幾個(gè)問題值得澄清.首先，此處球腔內(nèi)表面的總感應(yīng)電荷量(-q′)顯然不等于像電荷的電荷量q，而且顯然|q|>|-q′|，這會不會有問題？沒有.因?yàn)殡娤穹ㄎㄒ恍枰龅降闹皇菆鰪?qiáng)等效，而我們已經(jīng)做到了.其他結(jié)論與球外情形相同或不同，都無需揪心.

其次，研究區(qū)域中某點(diǎn)的電勢等于源電荷與像電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢之和，這一條對球外情形成立，但對球腔內(nèi)情形就不能再這么說了.原因在于：談?wù)摗半妱荨睍r(shí)，我們一般默認(rèn)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)；而“無窮遠(yuǎn)處”在球外情形屬于研究區(qū)域內(nèi)，而在球腔內(nèi)情形則不屬于.實(shí)際上，不論是哪種情形，我們能得到的，只是研究區(qū)域內(nèi)的電場，從而只能得到研究區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的電勢差.球外情形之所以可以談“電勢”，僅僅是因?yàn)殡妱萘泓c(diǎn)幸運(yùn)地處于該區(qū)域中，故而“電勢差”變成了“電勢”.球腔內(nèi)情形則沒有這種幸運(yùn)，從而只能說：腔內(nèi)某兩點(diǎn)的電勢差等于源電荷與像電荷在該兩點(diǎn)產(chǎn)生的電勢差之和.電勢疊加變成了電勢差疊加.

那么，腔內(nèi)某點(diǎn)的電勢該如何確定呢？由于腔外情形未知，從無窮遠(yuǎn)處到腔內(nèi)該點(diǎn)的場強(qiáng)分布未知，從而無法對腔內(nèi)某點(diǎn)的電勢分布下任何斷語.如果實(shí)在要給出，那么只能是下面的形式

(2)

(3)

該式的意義非常明顯.空間中任何一點(diǎn)的電勢等于源電荷、內(nèi)表面電荷以及其他電荷產(chǎn)生的電勢之和，但如果該點(diǎn)在球腔內(nèi)，那么內(nèi)表面電荷的貢獻(xiàn)可以用像電荷代替.

3 例題

茲以文獻(xiàn)[2]中的一道題為例，說明上述內(nèi)容.

【例題】如圖5所示，一個(gè)帶電荷量為q的點(diǎn)電荷置于內(nèi)外半徑分別為r1和r2、不帶電導(dǎo)體球殼的空腔內(nèi)的P點(diǎn)，其離球心的距離為a(a

(1)點(diǎn)電荷q所受的靜電力；

(2)點(diǎn)電荷q與其他電荷之間的電勢能.

圖5 例題題圖

解析：

(1)靜電感應(yīng)后，球殼內(nèi)表面的電荷非均勻分布，總電荷量為-q，外表面電荷均勻分布，總電荷量為q.q所受的靜電力為外表面電荷與內(nèi)表面電荷所施加的力之和，其中前者為零，后者由圖中像電荷q′決定[2]

于是，該力為

(4)

(5)

故

U內(nèi)P還可以用另一種方式解決：先得到內(nèi)表面電荷在空間中產(chǎn)生的電場，再通過積分得到其在P點(diǎn)的電勢.該電場分布如圖6所示，其在內(nèi)表面以外產(chǎn)生的電場如同P點(diǎn)處-q產(chǎn)生(內(nèi)表面電荷與P點(diǎn)的電荷q在內(nèi)表面以外產(chǎn)生的合場強(qiáng)為零)，而在內(nèi)表面以內(nèi)產(chǎn)生的電場如同像電荷q′產(chǎn)生(注意圖中的電荷-q和q′并不真實(shí)存在).為求P點(diǎn)的電勢，場強(qiáng)積分路徑既可以從P出發(fā)一直向右到無窮遠(yuǎn)

又可以從P點(diǎn)往左直到無窮遠(yuǎn)

二者的結(jié)果都與式(5)相同.

圖6 內(nèi)表面非均勻電荷產(chǎn)生的電場