復(fù)擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的改進(jìn)

林彥嘉

（西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400715）

0 引言

轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時(shí)慣性大小的量度，是研究和控制飛行體軌道及姿態(tài)所需的重要物理量，是航天航空和機(jī)密機(jī)械等領(lǐng)域進(jìn)行設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù)[1-2]，因此，對轉(zhuǎn)動慣量進(jìn)行精確測量具有重要的工程價(jià)值。對于形狀規(guī)則、質(zhì)量分布均勻的物體，可通過理論計(jì)算的方法來精確確定其轉(zhuǎn)動慣量。對于形狀不規(guī)則、表面不平整且質(zhì)量分布不均勻的物體，只能通過實(shí)驗(yàn)的方法來確定其轉(zhuǎn)動慣量。目前常用的實(shí)驗(yàn)測量方法有扭擺法（單線擺和三線擺等）和塔輪法[3]等。三線擺法雖然測量誤差小，但是并不適測量大質(zhì)量構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量；塔輪法測量轉(zhuǎn)動慣量的相對誤差則很大。有人提出用復(fù)擺法測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量[4]，但是需要事先精確測量質(zhì)心的位置限制了該方法的應(yīng)用。

該文改進(jìn)了傳統(tǒng)的復(fù)擺測量裝置，并提供了一種改進(jìn)的測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的復(fù)擺測量方法。通過對不同轉(zhuǎn)軸的復(fù)擺周期的測量來求得轉(zhuǎn)動慣量，不需要事先確定剛體的質(zhì)心位置。該方法使用編碼器的小阻尼軸為復(fù)擺轉(zhuǎn)軸，并聯(lián)合數(shù)字示波器完成剛體的擺動周期的測量。

1 測量原理

1.1 復(fù)擺

復(fù)擺裝置如圖1 所示，任意形狀的物體可繞水平軸O自由轉(zhuǎn)動。當(dāng)擺動角度q較小時(shí)（q≤5°），忽略空氣阻力的條件下，復(fù)擺的周期T的計(jì)算公式如公式（1）所示。

圖1 復(fù)擺示意圖

式中：m為物體的質(zhì)量；h為轉(zhuǎn)軸O到物體質(zhì)心C的距離；J為物體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量；g為重力加速度。

由公式（1）可推算出公式（2）。

可見，當(dāng)物體的質(zhì)心事先能確定的情況下，測得復(fù)擺的周期，即可由公式（2）計(jì)算得到物體的轉(zhuǎn)動慣量。

1.2 改進(jìn)的測量方法

如果物體質(zhì)心無法確定，不可以直接用上面的方法來求剛體轉(zhuǎn)動慣量。改進(jìn)的方法是首先以O(shè)為軸，在靜止?fàn)顟B(tài)下，在過鉛垂線向下距離為a的地方確定一點(diǎn)O′，并且要求以O(shè)′為轉(zhuǎn)軸，復(fù)擺不會倒掛。然后再分別以O(shè)和O′轉(zhuǎn)軸，測量各自的擺動周期T1和T2。

設(shè)以O(shè)為轉(zhuǎn)軸的等效擺長為l1，以O(shè)′為轉(zhuǎn)軸的等效擺長為l2，由復(fù)擺周期公式可以計(jì)算出l1和l2，如公式（3）和公式（4）所示。

式中：h1和h2是質(zhì)心到各自轉(zhuǎn)軸的距離。因?yàn)橘|(zhì)心位置不確定，所以h1和h2是未知的，但是它們滿足公式（5）。

設(shè)物體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為JC，由平行軸定理，可得J1和J2，如公式（6）和公式（7）所示。

將公式（5）和公式（7）帶入公式（4），可得公式（8）。

由公式（3）和公式（8）可得公式（9）和公式（10）

實(shí)驗(yàn)時(shí)，首先測量周期T1和T2，再帶入公式（3）和公式（4）得到等效擺長l1和l2，同時(shí)將測量值a一起帶入公式（9）和公式（10）中，即可求得剛體繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量J1和轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離h1。

2 測量系統(tǒng)

2.1 復(fù)擺的改進(jìn)

選用橫截面為9mm×9mm，長度為300 mm的硬鋁桿作為擺桿，從一端開始，每間隔20 mm 鉆1 個(gè)直徑為Φ6 mm的通孔作為轉(zhuǎn)軸位置。將旋轉(zhuǎn)編碼器的軸作為轉(zhuǎn)軸，桿上孔徑與編碼器的轉(zhuǎn)軸直徑匹配。選用編碼器型號為E6B2-CWZ3E，編碼器轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量小于10-5kg·m2。改進(jìn)的復(fù)擺裝置如圖2 所示。

圖2 改進(jìn)的復(fù)擺裝置

2.2 測量系統(tǒng)

編碼器供電電壓為5 V～12 V，輸出分S1、S2 和Z 3 路。編碼器旋轉(zhuǎn)1 周，S1 和S2 輸出2 000 個(gè)波形，Z 輸出1 個(gè)波形。S2 輸出比S1 輸出落后90°。實(shí)際使用時(shí)，選S1 和S2 中任意一路。利用輸出方波可以精確測量加速度。

測試系統(tǒng)框圖如圖3 所示。直流電源為復(fù)擺裝置上的編碼器提供12 V 的直流電壓；復(fù)擺擺動時(shí)，編碼器輸出系列方波波形，并由數(shù)字示波器記錄；通過判讀示波器上的輸出波形特征讀出復(fù)擺擺動周期T，以此來精確測量復(fù)擺周期。

圖3 測量系統(tǒng)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及不確定度分析

3.1 測量結(jié)果

復(fù)擺的擺桿質(zhì)量m1=54.47 g；待測物為內(nèi)徑6 mm、外徑20 mm 的圓柱塊，其質(zhì)量m2=36.91 g。實(shí)驗(yàn)測量擺桿繞桿端的第一個(gè)通孔轉(zhuǎn)動時(shí)的轉(zhuǎn)動慣量以及待測物距離轉(zhuǎn)軸260 mm 時(shí)的轉(zhuǎn)動慣量。測量步驟如下：1）轉(zhuǎn)軸O過第1 個(gè)通孔，空載條件下測量復(fù)擺周期，數(shù)據(jù)見表1。2）轉(zhuǎn)軸O′過桿上第3 個(gè)通孔，空載條件下測復(fù)擺周期，數(shù)據(jù)見表1。3）將待測物安裝在桿上，距離轉(zhuǎn)軸O260 mm，然后測量加載條件下復(fù)擺繞軸O的擺動周期，數(shù)據(jù)見表2。4）測量加載條件下，復(fù)擺繞O′軸的擺動周期，數(shù)據(jù)見表2。

圖4 和圖5 是示波器記錄的典型波形。A和B分別對應(yīng)圖中的實(shí)、虛豎線，代表示波器的光標(biāo)；橫軸X代表時(shí)間，縱軸Y代表電壓。圖中的稀疏部分，是復(fù)擺在最高點(diǎn)的位置，因此根據(jù)連續(xù)出現(xiàn)的3 個(gè)波形稀疏的位置，可以確定1 個(gè)擺動周期。周期的判讀波形如圖4 所示。半周期的判讀波形如圖5 所示。

圖4 空載實(shí)驗(yàn)波形（繞O 軸，周期）

圖5 空載實(shí)驗(yàn)波形（繞O′軸，半周期）

表1 中，h1是空載時(shí)質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O的距離，J1是復(fù)擺繞O軸的轉(zhuǎn)動慣量。表2 中，h1是加載時(shí)質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O的距離，J是復(fù)擺繞O軸的轉(zhuǎn)動慣量。表中的li是等效擺長。

表1 空載測量數(shù)據(jù)（a=0.04 m）

表2 加載測量數(shù)據(jù)（a=0.04 m）

空載時(shí)，h1的實(shí)驗(yàn)值為0.128 m。擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的理論距離為0.130 m。實(shí)驗(yàn)值和理論值的相對偏差為1.5%，測量精度比較高，說明該測量方法是可信的。

加載時(shí)，h1的實(shí)驗(yàn)值為0.187 m。待測物的質(zhì)量已知，擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離為0.130 m。根據(jù)平衡條件，在理論上可確定加載后復(fù)擺系統(tǒng)的質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離為0.183 m，實(shí)驗(yàn)值和理論值相對偏差為2.2%。

待測物的轉(zhuǎn)動慣量的實(shí)驗(yàn)測量值：

J測=J-J1=（3.90-1.33）×10-3=2.57×10-3kg·m2

待測物為形狀規(guī)則的空心圓柱體，由理論公式計(jì)算：

J理=0.5×m2×（0.012-0.0032）+m2×0.262

=2.50×10-3kg·m2

轉(zhuǎn)動慣量的實(shí)驗(yàn)測量值和理論計(jì)算值的相對不確定度E的計(jì)算公式如下。

3.2 測量方法的不確定度分析

設(shè)轉(zhuǎn)動慣量J 的相對不確定度為η，依據(jù)不確定度傳遞規(guī)律，η的計(jì)算公式如公式（11）所示。

式中：um為質(zhì)量測量不確定度；和為等效擺長的不確定度；ua為2 個(gè)轉(zhuǎn)軸位置間距的不確定度。各個(gè)不確定度均取最大值。C1、C2和C3分別表示下式的具體運(yùn)算值。其他符號由下面表達(dá)式表示。

以空載為例，質(zhì)量的不確定度um取0.01 g，等效擺長的不確定度ul1和ul2取0.001m，軸距a的不確定度ua取0.500 mm。帶入公式（11）計(jì)算得出，E=3.8%，小于4%。

通過理論計(jì)算以及分析表明，該方法給出的轉(zhuǎn)動慣量測量的相對不確定度可控制在4%以內(nèi)。

4 結(jié)論

剛體轉(zhuǎn)動慣量的測量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，常用的塔輪法實(shí)驗(yàn)誤差較大，傳統(tǒng)的復(fù)擺法又需要事先確定物體的質(zhì)心位置。為此該文提出了一種改進(jìn)的復(fù)擺法來測量剛體轉(zhuǎn)動慣量，該方法有以下3 個(gè)優(yōu)點(diǎn)：1）利用增量式旋轉(zhuǎn)編碼器作為復(fù)擺的轉(zhuǎn)軸來測量復(fù)擺的擺動周期，實(shí)驗(yàn)測量精度高，測試方法簡單、高效。2）通過測量擺動裝置繞不同轉(zhuǎn)軸的周期來測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量方法，不需要事先確定剛體質(zhì)心，特別適用于形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的剛體轉(zhuǎn)動慣量的測量。3）該文的改進(jìn)方法對轉(zhuǎn)動慣量的測量相對不確定度可控制在4%以內(nèi)，測量精度高。