趣味數(shù)學(xué)

陳新龍

楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，楊輝三角的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的成就，它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，形成一個(gè)無限對稱的數(shù)字金字塔，這是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合（如圖1）。

1.算法分析

那么今天就和大家一起探討一下如何用Scratch和Python繪制出楊輝三角，別看楊輝三角這么復(fù)雜，但是只要我們分析出其中的規(guī)律自然就可以克服困難（如圖2）。

通過觀察我們發(fā)現(xiàn)楊輝三角的兩個(gè)腰上的數(shù)都是1，如圖2所示相加關(guān)系用箭頭標(biāo)識，中間位置的數(shù)都是它頂上兩個(gè)數(shù)之和。因此楊輝三角的每行首尾數(shù)都為1，中間每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和，比如第二行的數(shù)為【1，1】，第三行【1，2，1】其中的數(shù)字2是第二行的數(shù)1+1之和（如圖3）。

且每行數(shù)字左右對稱，由1逐漸變大，第n行的數(shù)字有n項(xiàng)，我們還可以總結(jié)出一個(gè)規(guī)律（a+b）nn的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)依次對應(yīng)楊輝三角的第（n+1）行中的每一項(xiàng)。

2.在Scratch中計(jì)算

我們可以利用上一行的數(shù)據(jù)計(jì)算出楊輝三角的下一行數(shù)據(jù)，因此可以定義兩個(gè)列表，其中a列表存儲(chǔ)上一行的數(shù)據(jù)，b列表存儲(chǔ)a列表各項(xiàng)兩兩相加的結(jié)果，這樣就獲得了下一行的除首尾兩個(gè)1以外的數(shù)據(jù)，將b列表首尾各加1個(gè)1之后存入新的a列表獲得下一行的全部數(shù)據(jù)（如圖4）。

初始的情況下我們給列表a添加了兩個(gè)數(shù)字【1，1】，代表?xiàng)钶x三角的第二層;1+1=2獲得列表b;給b的首位和末位加上1，就能獲得第三層的數(shù)據(jù)【1，2，1】，讓程序把a(bǔ)列表的數(shù)據(jù)清空，將剛剛獲得的b列表內(nèi)容在首位和末位加1存儲(chǔ)到a里面，如此一層一層地循環(huán)到需要的層數(shù)后輸出就可以了（如圖5）。

3.在Scratch中繪制

我們通過找規(guī)律，成功將圖形轉(zhuǎn)化為了數(shù)據(jù)，解決了數(shù)據(jù)來源問題。由于Scratch不能像Python或者c語言那樣將列表中的數(shù)據(jù)直接顯示到舞臺上，所以我們得想個(gè)辦法讓數(shù)字角色根據(jù)已知數(shù)據(jù)排列成我們需要的楊輝三角。

從角色庫中添加數(shù)字造型0-9，全部數(shù)字造型在一個(gè)角色中。現(xiàn)在我們只需要根據(jù)不同的數(shù)字切換出不同的造型，利用畫筆里的圖章將數(shù)繪制在舞臺上。還需要讓這些數(shù)字根據(jù)需要排列在合適的位置上（如圖6）。

第一行位置就定在舞臺中線正上方，下一行需要根據(jù)實(shí)際情況去測試和調(diào)整。經(jīng)過測試找到了一個(gè)合適的間距，為了方便調(diào)整我使用了公式：【x：0-20（行數(shù)-1），Y：Y坐標(biāo)-30】，行間距為30，數(shù)字之間的間距為30。

這個(gè)時(shí)候不知道你有沒有注意到一個(gè)問題，我們?nèi)绻敵鰞晌粩?shù)甚至三位數(shù)該怎么辦呢？比如要輸出15，但我們的角色只有0-9，這個(gè)時(shí)候我們可以使用拆分的方法，將多位數(shù)獨(dú)立拆出來。1放在前面，移動(dòng)x坐標(biāo)12，5放在后面，結(jié)合起來就是數(shù)字15了，用一個(gè)循環(huán)嵌套解決了輸出多位數(shù)的煩惱（如圖7）。

以上把用Scratch繪制楊輝三角所遇到的難題全部解決了，接下來我們可以按照整體的思路框架搭建主程序，最終可以看到我們運(yùn)行后的結(jié)果了。圖中看到等腰三角形效果，由于到下層數(shù)字越來越大，占據(jù)的寬度也越來越大，所以整體會(huì)慢慢向右移動(dòng)，后期我們還可以優(yōu)化調(diào)整（如圖8）。

4.在Python中繪制楊輝三角

在已經(jīng)分析出算法的情況下，我們再一起來思考如何用PVthon做出楊輝三角的造型。下面我會(huì)給大家展示兩種不同的做法，普通方法和進(jìn)階方法兩者大家都可以嘗試。

這個(gè)方法算法與剛才Scratch的算法一致，定義dict temp變量用來存放楊輝三角中的數(shù)值，首先賦予i變量范圍range（1，11）代表行數(shù)，接下來賦予i變量范圍（0，i）代表每行的個(gè)數(shù)，第一行一個(gè)，第二行兩個(gè)……每行首尾數(shù)字都是1，中間數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和，即第n+l行的第i個(gè)數(shù)等于第n行的第i-1個(gè)數(shù)和第i個(gè)數(shù)之和。即dict temp（i-1，1）+dict_ternp（i-1，j-1）得出結(jié)果后我們根據(jù)dict ternp中的內(nèi)容進(jìn)行輸出便可以顯示出對應(yīng)的楊輝三角。

創(chuàng)建列表nz=[1]。增加一個(gè)外循環(huán)控制行數(shù)，在循環(huán)中增加兩個(gè)條件，第一個(gè)條件是控制每行的個(gè)數(shù)，第二個(gè)條件是控制每行輸出的數(shù)字，首先我們輸出變量n，接下來給n末尾添加一個(gè)數(shù)0，通過一個(gè)循環(huán)對數(shù)進(jìn)行控制n=z[n[k]+n[k 1]for k in range（i+2）]。比如第二行的內(nèi)容是【1，1】，通過循環(huán)n[k]+n[k-1]等于【1，2，1】，這樣大大節(jié)約了代碼量，但是提高了代碼的認(rèn)知難度。

現(xiàn)在代碼只是有了正確的數(shù)字，但這些數(shù)字還沒有在正確的位置上，需要你用合適數(shù)量的空格來填滿。