3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于任務(wù)空間的優(yōu)化設(shè)計

馬春生 尹曉秦 米文博 馬振東

(中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

并聯(lián)機(jī)器人相對于串聯(lián)機(jī)器人擁有更好的剛度和承載力，而且運(yùn)動性能優(yōu)異[1]，末端執(zhí)行器可以獲得很高的加速度和運(yùn)動速度，有著越來廣泛的應(yīng)用[2-7]。并聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)化對于彌補(bǔ)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的缺點(diǎn)，有效利用并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)有著十分重要的意義[8]。但是大多數(shù)文章的研究對象為機(jī)構(gòu)的工作空間[2-3, 9-10]，忽視了機(jī)器人完成特定任務(wù)只利用了機(jī)器人可達(dá)空間的一部分，是機(jī)器人可達(dá)空間的子空間。因此對于特定任務(wù)的機(jī)器人應(yīng)當(dāng)根據(jù)任務(wù)確定和劃分機(jī)器人任務(wù)空間為研究對象，分析機(jī)器人在不同機(jī)構(gòu)參數(shù)下任務(wù)空間整體的性能變化。

而對于流水線上的機(jī)器人，尤其是以機(jī)械臂和末端執(zhí)行器為結(jié)構(gòu)的機(jī)器人，特別是流水線中的安裝和拆卸等工序，其任務(wù)空間通常相似。而且隨著可回收機(jī)械的發(fā)展，拆卸類機(jī)械器人已經(jīng)成為人們研究的熱點(diǎn)。因此本文以一種基于3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的零件拆卸機(jī)器人為例，繪制機(jī)器人的性能圖譜，研究機(jī)器人在不同的機(jī)構(gòu)參數(shù)下機(jī)器人任務(wù)空間的體積變化和運(yùn)動/力傳遞性能變化[11]。對機(jī)器人的設(shè)計參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，對于在流水線上工作，工作空間相似的機(jī)器人都有著指導(dǎo)意義。優(yōu)化的流程如圖1所示。

1 機(jī)構(gòu)描述與應(yīng)用

并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡圖如圖2a所示，由靜平臺，動平臺和三條支鏈構(gòu)成。靜平臺固結(jié)于機(jī)架，末端執(zhí)行器與動平臺相連，三條串聯(lián)型的RPS支鏈連接了動平臺和靜平臺(R——旋轉(zhuǎn)副；P——移動副；S——球副)，其中P副為驅(qū)動副。

在機(jī)器人工作時，機(jī)器人機(jī)體位于固定位置，機(jī)械臂面向流水線工作；而末端執(zhí)行器工作時的位置移動主要涉及兩個過程：移動末端執(zhí)行器至目標(biāo)零件處和將零件移入儲物筐。如圖2b所示,零件相對機(jī)械臂的位置具有一定的固定性，儲物筐和機(jī)器人的位置相對固定。這就決定了機(jī)器人完成任務(wù)所需的工作空間并非整個機(jī)器人的工作空間，而是機(jī)器人可達(dá)空間的子空間。

為了簡化分析，可以將機(jī)器人任務(wù)空間轉(zhuǎn)化為如圖2b所示的圓錐形空間。錐形空間的中心軸線垂直于靜平臺，并經(jīng)過靜平臺外接圓圓心。

2 運(yùn)動學(xué)分析

如圖2a所示，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)擁有3個自由度，分別為繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動和沿著Z軸的移動[12-13]。

根據(jù)閉環(huán)矢量法[14]：

OCi=Ry(ψ)Rx(θ)PCi+P

(1)

因此，可以得到運(yùn)動學(xué)逆解公式為：

(2)

其中，

3 任務(wù)空間分析

假設(shè)機(jī)構(gòu)的桿li在移動副驅(qū)動長度為0時的長度為l；在實體模型中，機(jī)構(gòu)的尺寸可以從0到無窮大，為了消除動靜平臺尺寸和桿長度對任務(wù)空間的影響，對機(jī)構(gòu)的尺寸進(jìn)行無量綱化[15]，令：

所以：r1+r2+r3+r4+r5=5；為了簡化機(jī)構(gòu)的控制和分析，假設(shè)動平臺的三角形和靜平臺三角形相似，則：

(4)

因此：

(1+λ)(r1+r2)+r3=5

(5)

由于等腰三角形的幾何約束，則：r2<2r1；實際樣機(jī)的制作中，動平臺和靜平臺的比例不會過大或過小，因此假設(shè)λ∈[0.5,2]，則可以得到參數(shù)的約束為：

(6)

所以，可以得到機(jī)構(gòu)的設(shè)計參數(shù)空間如圖4a所示。

當(dāng)λ=2時，r1、r2、r3的取值范圍在ADE平面上；當(dāng)λ=0.5時，r1、r2、r3的取值范圍在ABC平面上。因此，機(jī)構(gòu)的參數(shù)在棱錐A-CDEB形成的空間內(nèi)部取值。為了更直觀地觀察機(jī)構(gòu)參數(shù)變化對機(jī)構(gòu)性能的影響，將機(jī)構(gòu)的參數(shù)映射到如圖4b所示的二維平面內(nèi)[16-17]?？臻g之間的映射方程為：

(7)

(8)

其中：

在機(jī)構(gòu)設(shè)計參數(shù)空間中，分別對λ值不同的平面進(jìn)行計算，結(jié)果如圖5所示：

從圖5a中我們可以看出，當(dāng)r2確定時，r3增大，任務(wù)空間的體積成比例的增大；當(dāng)r1、r2取最小值，r3取最大值的時候，機(jī)構(gòu)的任務(wù)空間體積達(dá)到最大，即支鏈越長空間體積越大。從圖5b～d可以看出，λ對機(jī)構(gòu)任務(wù)空間的體積范圍沒有影響，但是隨著λ的增大，機(jī)構(gòu)其他參數(shù)的設(shè)計范圍會減小。

4 運(yùn)動/力傳遞性能分析

對于裝配或拆卸機(jī)器人，拆卸速度是拆卸機(jī)器人的重要評價指標(biāo)，而拆卸的機(jī)械臂的運(yùn)動性能對于拆卸機(jī)器人的拆卸速度有著巨大的影響[18]。為了提高機(jī)械臂的運(yùn)動性能，現(xiàn)利用以螺旋理論為基礎(chǔ)的局部傳遞指標(biāo)(local transmission index ,LTI)[19]和全局傳遞指標(biāo)(global transmission index ,GTI)[2, 20-21]對機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析和優(yōu)化。

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的中的P副為主動副，則對應(yīng)的3個單位傳遞力螺旋和3個單位輸入運(yùn)動旋量分別是：

(9)

式中：si為第i條RPS支鏈中，方向與P副的軸線重合單位向量，bi為原點(diǎn)O到A點(diǎn)的方向向量

因為P副的軸線經(jīng)過R副和S副的軸線和中心，因此三條支鏈的輸入傳遞指數(shù)(input transmission index ,ITI)ηITI i=1(i=1,2,3)。說明該機(jī)構(gòu)在任何位形下輸入端的運(yùn)動都可以完全傳入機(jī)構(gòu)[19]。

利用式(10)可以求得對應(yīng)于第i個傳遞力螺旋的輸出運(yùn)動旋量$Oi[19, 22]：

(10)

式中：$Ck為第i條支鏈的約束力子空間基底[19]。

則每個支鏈的輸出端運(yùn)動/力輸出特性指標(biāo)(output transmission index ,OTI)為：

(11)

支鏈的局部傳遞指標(biāo)：

ηLTI=min{ηITI,ηOTI}=ηOTI

(12)

從圖6中我們可以看到：

(1)當(dāng)動平臺的轉(zhuǎn)動角度為0時，隨著點(diǎn)靠近動靜平臺外接圓圓心的連線，局部傳遞指標(biāo)隨之增大，等高線呈同心圓形，如圖6a所示。

(2)當(dāng)動平臺轉(zhuǎn)動一定角度時，指定平面上的LTI會變小，最大點(diǎn)會產(chǎn)生有規(guī)律的偏移，當(dāng)動平臺繞X軸正向旋轉(zhuǎn)時，LTI最大點(diǎn)會向Y軸負(fù)方向偏移；當(dāng)動平臺繞Y軸正向旋轉(zhuǎn)時，LTI最大點(diǎn)會向X軸負(fù)方向偏移，反之亦然。

(3)當(dāng)動平臺轉(zhuǎn)動一定角度時，會打破Z平面上LTI分布的各向同性，等高線呈同心三角形。順著LTI最大點(diǎn)偏移的方向LTI下降最慢。

(5)旋轉(zhuǎn)相同的角度，繞Y旋轉(zhuǎn)會導(dǎo)致的LTI減小幅度大于繞X旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的LTI減小幅度。

(6)λ的變化對各個Z平面的性能影響較小。

對于整個工作空間的評價，則使用全局傳遞指標(biāo)(GTI)進(jìn)行評價：

(13)

GTI隨著機(jī)構(gòu)參數(shù)的變化如圖7所示：

從圖7中我們可以看到，隨著動靜平臺比例λ值的變化，任務(wù)空間的最佳運(yùn)動/力傳遞性能區(qū)域的位置也在變化：r3一直處于約1.6。r2從2逐漸減小至1。r1從1減小至0.5，當(dāng)λ=1時，最佳性能區(qū)域達(dá)到最大，最佳性能的區(qū)域緊鄰任務(wù)空間體積為0的區(qū)域。任務(wù)空間體積的優(yōu)化和運(yùn)動/力性能的優(yōu)化應(yīng)當(dāng)根據(jù)任務(wù)需要取得平衡。

5 結(jié)果

綜上所述，可為3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)做出以下優(yōu)化：

(1)任務(wù)空間體積和動力學(xué)性能不能同時達(dá)到最優(yōu)，應(yīng)在保證任務(wù)空間體積的情況下，設(shè)計參數(shù)應(yīng)當(dāng)盡量靠近GTI最大值。建議設(shè)計范圍為：{0

(2)應(yīng)當(dāng)適當(dāng)調(diào)整靜平臺和地面的夾角，在拆卸零件時，盡量減少動平臺的轉(zhuǎn)動。當(dāng)無法避免轉(zhuǎn)動時，盡量使末端執(zhí)行器的工作范圍為三角形，適當(dāng)調(diào)整機(jī)構(gòu)的靜平臺位置，使動平臺處于性能最佳的位置。

(3)當(dāng)動平臺需要轉(zhuǎn)動時，盡量使動平臺繞底邊上高所在的直線轉(zhuǎn)動。

(4)根據(jù)靜平臺和地壟之間的距離，以及動平臺需要轉(zhuǎn)動的角度設(shè)計合適的支鏈長度。盡量使動平臺的工作范圍處于機(jī)構(gòu)的高效工作區(qū)間內(nèi)。

6 結(jié)語

本文利用任務(wù)空間，局部傳遞指標(biāo)(LTI)，全局傳遞指標(biāo)(GTI)為評價指標(biāo)，繪制了機(jī)構(gòu)的性能圖譜，對機(jī)構(gòu)的各個參數(shù)之間的比例，實體模型的大小進(jìn)行了性能分析和優(yōu)化。

(1)可以從全局觀察到機(jī)構(gòu)的性能和機(jī)構(gòu)參數(shù)之間的變化關(guān)系，為機(jī)構(gòu)參數(shù)的微調(diào)提供指導(dǎo)意義[23]。

(2)由于機(jī)構(gòu)的對稱性，機(jī)構(gòu)在不同方向的轉(zhuǎn)動對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動性能產(chǎn)生影響，同時降低了垂直方向的動力學(xué)性能，應(yīng)減少動平臺的轉(zhuǎn)動。

(3)對于3-RPS機(jī)構(gòu)，轉(zhuǎn)動時，使機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動軸線垂直于球副的球心之間的連線。

(4)應(yīng)當(dāng)根據(jù)任務(wù)空間的長度確定支鏈的長度，當(dāng)動平臺完成任務(wù)所需轉(zhuǎn)動角度越大時，支鏈越長。