考慮路面不平順隨機性的汽車過橋動力響應分析

謝娟娟， 李 晉， 田 震， 甄龍信， 谷 雨， 勞曉東， 張成光

(1. 周口師范學院 機械與電氣工程學院，河南 周口 466000; 2.燕山大學 車輛與能源學院，河北 秦皇島 066000)

隨著城市的發(fā)展以及人們對出行效率的追求，各大城市早已開始規(guī)劃起高架橋交通路線，不僅能提高利用空間，還能夠實現(xiàn)市內快速交通，提高城市效率。由于公路路面施工、損壞及溫度變形等原因，會對路面平順性造成不同程度的影響，因此需要對路面的平順性進行分級。在城市快速公路上，由于車速較快，對路面的平順性要求較高，當車輛通過橋梁時，會對橋梁產生沖擊荷載[1]，橋梁的動力響應與路面的平順性會影響車輛的運行舒適性[2-3]，此時路面的不平順相當于1個外部激勵施加于車輛與橋梁系統(tǒng)上，而路面不平順是1個隨機過程，因此整個車輛-橋梁系統(tǒng)是1個隨機系統(tǒng)，需要建立隨機車橋耦合數(shù)學模型從概率的角度對車輛的響應進行分析。

車橋耦合振動研究已經開展了數(shù)十年，F(xiàn)ryba等[4]、Yang等[5]、雷曉燕等[6-7]以及夏禾等[8]從移動荷載解析解到車橋耦合數(shù)值解均作了詳細的研究，取得了大量研究成果，在這些研究中，主要針對列車軌道橋梁系統(tǒng)。王貴春等[9]通過ANSYS有限元軟件建立了車橋耦合振動模型，并基于福建長門大橋進行了不同車速及載質量的行車舒適性分析。韓萬水等[10]將風、汽車、橋梁三者作為1個相互作用的系統(tǒng)，提出1個的風-汽車-橋梁系統(tǒng)空間耦合振動分析模型。胡昌斌等[11]路面板固化翹曲對車輛行駛舒適性的影響。

以上研究中，針對的是確定性車橋模型，為探討車輛、結構參數(shù)及路面不平順隨機下的車橋系統(tǒng)振動，桂水榮等[12]將車輛簡化為兩自由度系統(tǒng)，并基于虛擬激勵法分析了隨機車橋振動，討論了不同車速下隨機響應的變化情況。Wu等[13-14]通過混沌多項式及KL展開法將橋梁處理為隨機有限元，并將路面不平順通過KL展開形式表達，進行了包括車輛荷載識別、路面不平順程度對隨機車橋系統(tǒng)的影響，橋梁變異性的影響等較為系統(tǒng)的研究。余志武等[15-16]采用概率密度演化方法對隨機列車-橋梁系統(tǒng)進行了研究。概率密度演化方法最早由李杰等[17]提出，該方法是1個高效、精確的隨機系統(tǒng)、可靠度分析方法，目前該方法已廣泛應用于考慮結構參數(shù)或車輛參數(shù)隨機的隨機振動分析以及考慮地震激勵、軌道不平順激勵等隨機振動中。本文將基于概率密度演化方法，探討其在考慮道路不平順隨機性的汽車-橋梁耦合振動分析中的可行性，并從概率的角度分析路(橋)面不平順性對車輛動力響應的影響，從而為汽車過橋時的隨機動力響應、平穩(wěn)性分析或橋梁隨機結構動力、疲勞響應分析提供理論依據(jù)。

1 汽車-橋梁耦合振動模型

1.1 車輛運動方程

一輛汽車以勻速運動在1個簡支梁上行駛，如圖1所示，其中車輛模型為1個質量-彈簧-阻尼體系，包含1個車體、2個輪軸和2個輪對，車體包含垂向位移和點頭2個自由度，每個輪軸各有1個自由度，假設輪對與橋面密貼，因此，輪對無獨立自由度，則整個車輛體系共有4個自由度。根據(jù)拉格朗日方程可以得到車輛的動力學方程為

圖1 汽車-橋梁模型

(1)

Mv為車輛的質量矩陣，可以表示為

Mv=diag[mv,Iv,mt1,mt2]

(2)

式中：mv和Iv分別為車體的質量和轉動慣量;mt1和mt2分別為前、后輪軸的質量。

Kv為車輛剛度矩陣，可以表示為

(3)

式中:ks1和ks2分別為車體與前、后輪軸懸掛彈簧的剛度；L1和L2分別為車體重心到前、后輪軸的距離。

Cv為車輛阻尼矩陣，可以表示為

(4)

式中，cs1和cs2分別為車體與前、后輪軸懸掛彈簧的阻尼系數(shù)。

Fv為車輛荷載列陣，主要由車輛自身的重力以及輪軸與車輪間的懸掛彈簧力組成，可以表示為

(5)

(6)

(7)

Δi=zti-zbi-zrou,i

(8)

式中：zti為第i個輪軸的垂向位移；zbi和zrou,i分別第i個輪軸位置處的橋梁垂向位移和路面不平順。

1.2 橋梁運動方程

橋梁采用單跨簡支歐拉-伯努利梁進行模擬。采用有限元方法建立橋梁模型，其中，每個結點包含垂向位移和轉角2個自由度，將梁單元剛度進行組裝得到總體剛度矩陣，隨后可以得到橋梁的運動方程

(9)

(10)

式中，Nb1和Nb2分別為前、后輪軸架構彈簧在橋梁上對應的插值形函數(shù)。

1.3 車橋耦合系統(tǒng)動力方程

將式(1)與式(9)聯(lián)立，得到車橋耦合系統(tǒng)的動力學方程為

(11)

在得到系統(tǒng)動力學方程后，可以采用時程逐步積分法進行求解，由式(8)可知，式(11)中的荷載列陣為隱式函數(shù)，無法直接采用隱式積分進行求解，因此需要進行迭代求解。采用Newmark-β積分對式(11)進行迭代求解，迭代的收斂條件采用文獻[19]中介紹的交叉迭代算法。

2 概率密度演化的隨機振動理論

2.1 路面不平度模擬

路面不平順是1個隨機過程，根據(jù)Wu等的研究，路面不平順是1個零均值的高斯隨機過程，其中路面不平度功率譜可以表示為

Gq(n)=Gq(n0)(n/n0)-w

(12)

式中：Gq(n0)為道路不平度系數(shù)，根據(jù)道路不平度等級進行確定;n0=0.1 m-1，w為頻率指數(shù)，一般取值為2;n為空間頻率。

可以通過快速傅里葉變換將路面譜進行模擬，如式(13)所示

式中：Lc為路面不平順長度，在本文中取3倍的橋上跨(進橋前，橋上，出橋后各1倍橋跨長度)；θk為一組獨立的服從[0, 2π]的均勻分布隨機變量。

2.2 概率密度演化方法

概率密度演化最早由李杰等提出，在余志武等研究中首次將該方法運用于考慮軌道不平度的列車橋耦合隨機振動。在本文中，僅考慮路面不平順隨機。將式(11)寫成一般動力學方程形式有

(14)

式中，Θ為基本隨機變量參數(shù)。

則式(14)得到的解是存在、唯一且連續(xù)地依賴于隨機參數(shù)Θ，為方便描述，將式(14)得到的解寫成以下形式

X=H(Θ,t)

(15)

在X中包含多個響應量，如橋梁的位移、加速度以及車輛的位移、加速度等。將所需要分析的m個響應量記為Z=(Z1,Z2,…，Zm)T，將其表示為基本隨機變量的函數(shù)有

(16)

式中，hz(Θ,t)=?Hz(Θ,t)/?t。

由于沒有其他隨機源，且已有的隨機因素未消失，則車橋耦合系統(tǒng)能夠滿足概率守恒條件，根據(jù)李杰等的研究有

(17)

式中，pzΘ(z,θ,t)為聯(lián)合概率密度函數(shù)。

由Reynold轉換定理，結合式(16)和式(17)經過一系列數(shù)學變換即可得到廣義概率密度演化方程

(18)

在實際計算中，可以依次計算單個需要的物理量從而簡化計算，則式(18)退化為以下一維方程

(19)

式(19)的初始條件為

pzΘ(z,θ,t0)=δ(z-z0)Pq

(20)

式中：z0為確定性初始值; δ為狄克拉函數(shù);Pq為附得概率。

概率密度函數(shù)隨時的演化為

(21)

式中，npt為計算樣本數(shù)量，在得到各個時間點響應的概率密度函數(shù)后，即可方便得到對應的均值、標準差等統(tǒng)計量。

考慮路面不平順隨機性的車輛-橋梁耦合振動的概率密度演化計算流程，如圖2所示。

圖2 計算流程圖

3 方法驗證

3.1 車橋系統(tǒng)驗證

為驗證車輛-橋梁耦合動力系統(tǒng)的可靠性，將計算結果與經典算例中的計算結果進行對比驗證。在該算例中，有一輛兩懸架汽車以20 m/s的車速經過一跨簡支梁，橋梁的具體參數(shù)如表1所示，車輛的具體參數(shù)如表2所示。由于路面不平順具有隨機性，因此得到的響應結果也具有隨機性，然而，由文獻[20]可以知道，路面不平順是1個零均值高斯隨機過程，因此耦合系統(tǒng)響應的均值可以認為是零路面不平順情況下得到的系統(tǒng)響應，因此可以將Wu等研究中均值響應結果與本文中不含路面不平度的結果進行對比。圖3為本文計算得到的橋梁跨中位置豎向位移的時程曲線與經典算例的對比結果，可以看到，本文計算結果的趨勢與經典算例的結果基本一致，最大撓度值略大于經典算例，但仍在可以接受范圍內，因此可以認為本文的車輛-橋梁耦合系統(tǒng)振動是可靠的。

表1 橋梁參數(shù)

表2 車輛參數(shù)

圖3 橋梁跨中撓度對比

3.2 精度及效率驗證

為探討概率密度演化方法在車輛-橋梁隨機振動中的適用性，將概率密度演化得到的車橋隨機響應的結果與蒙特卡洛法(Monte Carlo simulation,MCS)進行對比，蒙特卡洛法是一種簡單通用的隨機分析方法，能夠得到較為精確的解，但由于該方法需要大量的樣本才能夠達到穩(wěn)定、準確的解，耗費過多時間，因此在工程分析中受到了一些限制。同樣采用3.1節(jié)中的車輛及橋梁計算參數(shù)。橋上道路不平度為B級[21]，取路面不平度系數(shù)為0.64 mm2/m。蒙特卡洛法計算采用5 000條路面不平度樣本，概率密度演化采用130條路面不平順樣本。圖4為概率密度演化方法與蒙特卡洛法得到的橋梁跨中位置豎向位移時程曲線的均值及標準差的對比，可以看出在車輛剛進入橋梁時橋梁隨機響應的變異性較小，隨著車輛向前行駛，其變異性逐漸增大。此外，在橋梁響應均值方面，概率密度演化方法得到的結果幾乎與蒙特卡洛法得到的結果重合，對于響應的標準差，概率密度演化方法得到的結果與蒙特卡洛法得到的結果非常接近，因此可以認為概率密度演化方法可以得到足夠高的精度；蒙特卡洛法所采用的樣本數(shù)量約為概率密度演化方法的38倍，概率密度演化方法的效率比蒙特卡洛法提高了1～2個數(shù)量級。

圖4 隨機響應對比

4 算例分析

由第3章中的內容可知，概率密度演化方法能夠準確地計算車輛-橋梁耦合隨機系統(tǒng)響應。為分析不同車速、不同道路不平度情況下的車輛隨機響應，分別進行車速為5 m/s，15 m/s，25 m/s，35 m/s四種情況下的車輛-橋梁隨機系統(tǒng)計算。兩軸汽車是目前最為常用的汽車，在韓萬水等、桂水榮等和Wu等的研究中均將該類型汽車作為研究對象進行討論，因此本算例中車輛模型也選用兩軸汽車，車輛與橋梁均采用第3章中的算例參數(shù)。道路不平度，即為不平順的程度，根據(jù)GB/T 7031—2005《機械振動道路路面譜測量數(shù)據(jù)報告》，不同道路等級的不平度系數(shù)按均值取值，具體見表3。

表3 不平度系數(shù)

4.1 橋梁響應

圖5為不平度B級、不同車速情況下車輛經過橋梁過程中橋梁跨中位移隨機響應的時程曲線，其中橫坐標為汽車前車輪駛過橋梁左邊端點的距離。由圖5(a)可以看出車速變化對橋梁均值響應沒有明顯影響；由圖5(b)可以看出，車速在15 m/s和25 m/s情況下的橋梁響應接近，總體上橋梁響應標準差隨車速增大而增大，且標準差的最大值出現(xiàn)的位置基本與均值最大值一致。高車速(35 m/s)工況下其橋梁響應標準差最大值較中速度(15 m/s)提高了68%。

圖5 橋梁響應與車速關系

在概率分布中，均值加減三倍的標準差基本涵蓋了99.7%的概率值，為了分析不同道路不平度的路面不平順隨機激勵下橋梁動力響應的概率最大值，采用均值加、減三倍標準差得到的響應最大值作為概率最大值。圖6為不同路面等級情況下，不同車速通過橋梁時的跨中豎向位移概率最大值，可以發(fā)現(xiàn)，在不同道路等級工況下，位移概率最大值總體上都隨車速增大而增大，在車速小于25 m/s時增長不明顯，在車速大于25 m/s后增漲的幅值較大。在不同速度工況下，位移概率最大值隨著道路不平度的加大而增大，道路等級為E即時，位移概率最大值相對于B級提高了216%～320%。

圖6 橋梁跨中豎向位移概率最大值

4.2 車輛響應

圖7為不平度B級、不同車速情況下車輛經過橋梁時的車體豎向位移響應的均值，其中橫坐標為汽車前車輪駛過橋梁左邊端點的距離?？梢钥闯?，汽車駛進橋梁的過程中，其豎向位移趨勢為先增大后逐漸減小至零，其位移主要由橋梁的豎向變形引起。車輛的位移基本隨著車速的增大而增大。此外，在低速(5 m/s)時，車輛位移響應震蕩較為明顯，在高速行駛(35 m/s)情況下，車體豎向位移響應明顯增大，其最大值相較于其他車速增大了約24%。

圖7 車體豎向位移均值

圖8為不平度B級、不同車速情況下列車經過橋梁時車體及懸架豎向位移的標準差最大值，可以看出車體位移的標準差基本隨車速增大而增大，而懸架響應的最大值與車速沒有明顯關系，總體上看，懸架的豎向位移響應的標準差最大值與車體基本一致。

圖8 車體、懸架豎向位移響應與車速關系

圖9為不平度B級、不同車速情況下車輛經過橋梁時的車體豎向加速度均值時程響應，可以看出，車體加速度均值以零為中心進行震蕩，車速越大，其震旦幅值越大，在車速超過25 m/s后，震旦幅值隨車速增大明顯增長。在高速行駛(35 m/s)情況下，車體振幅較大，且振幅頻率減小。圖10為不平度B級、車體與懸架標準差最大值隨車速的變化情況，可以看出車體與懸架的標準差最大值均隨著車速增大而增大，且懸架的增幅較車體大得多?？傮w上看，懸架的加速度標準差大于車體豎向加速度標準差。同時可以看出，車體豎向加速度均值響應基本沿著零進行小幅震蕩，而其標準差大于其均值，這主要是由于路面不平順為零均值隨機過程，其均值響應接近無不平順激勵情況下的響應，其均值響應主要由橋面變形引起。懸架的豎向加速度響應的標準差較車體大，在高車速(35 m/s)情況下，懸架的豎向加速度標準差為車體的3.7倍。

圖9 車體豎向加速度均值

圖10 車體、懸架豎向加速度標準差

圖11為不同道路等級工況下汽車以不同速度通過橋梁時的車體垂向加速度概率最大值，可以發(fā)現(xiàn)，除了道路等級D和E以外，其他不同道路等級情況下，隨著車速增大，汽車過橋的加速度基本上呈增大趨勢。車體加速度隨著道路等級變差而明顯增大。

圖11 車體垂向加速度概率最大值

5 結 論

通過引入概率密度演化方法建立了考慮橋面不平順隨機性的汽車-橋梁耦合振動模型，對比驗證了模型的適用及效率，并對不同車速情況下系統(tǒng)隨機響應進行了分析，得到主要結論如下：

(1)概率密度演化方法能夠適用于考慮路(橋)面不平順隨機的汽車-橋梁耦合振動分析，與蒙特卡洛法的對比結果表明，在保證精度情況下，采用概率密度演化方法進行計算的效果能夠提高1～2個數(shù)量級。

(2)車速對橋梁響應均值的影響不明顯，總體上，隨著車速增大，橋梁響應的標準差增大，高車速(35 m/s)下橋梁響應標準差最大值較中速度(15 m/s)提高了68%。不同道路等級工況下，橋梁位移概率最大值總體上都隨車速增大而增大。在不同速度工況下，位移概率最大值隨著道路不平度程度的加大而增大。

(3)在25 m/s車速以下，車速變化對車體位移響應均值影響較小，高速行駛(35 m/s)情況下，其位移響應均值較大，最大值相較于其他車速增大了約24%。而車體豎向位移標準差基本與車速隨線性增大關系。車體豎向加速度響應的均值及標準差均基本隨車速線性增大。除了道路等級D和E以外，其他不同道路等級情況下，隨著車速增大，汽車過橋的加速度基本上呈增大趨勢。車體加速度隨著道路等級變差而明顯增大。

(4)懸架的豎向位移響應的標準差最大值與車體基本一致，而其豎向加速度響應的標準差較車體大得多，在高車速(35 m/s)情況下，懸架的豎向加速度標準差為車體的3.7倍。