含級間相對浮動的兩級行星傳動系統(tǒng)均載特性研究

陸崇山， 王曉筍， 冷曉魯， 巫世晶

(武漢大學 動力與機械學院，武漢 430072)

行星齒輪傳動具有結構緊湊、傳動比大、承載能力強等優(yōu)點，其載荷由多個行星輪共同承擔，有效減小了齒輪嚙合力，增加了齒輪壽命，廣泛應用于電力、航空、船舶等行業(yè)。在實際應用中，由于制造安裝誤差，配合間隙等因素的影響，各行星輪的受力并非完全相同，載荷無法實現(xiàn)理想化的均勻分流，容易產生沖擊和噪聲，影響系統(tǒng)的承載能力。多級行星齒輪傳動系統(tǒng)相比單級系統(tǒng)結構更加復雜，影響因素更多，更容易因載荷分配不均而影響正常使用。

目前，國內外不少研究者對行星齒輪傳動的動力學建模和均載特性進行了相關研究。Kahraman[1-2]采用集總參數(shù)法建立了單級行星齒輪的動力學模型，考慮了制造和安裝誤差，提出動態(tài)均載系數(shù)用以衡量行星輪系的均載特性；Singh[3]采用一種系統(tǒng)級的建模方法，分析了制造誤差和軸承支撐剛度對行星輪系載荷分配的影響；周璐等[4-6]建立了考慮多種非線性因素的2K-H行星輪系“平移-扭轉”耦合動力學模型，并分析了誤差和中心構件浮動對系統(tǒng)均載特性的影響。以多級行星齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，肖正明等[7]建立了三級減速器行星齒輪系統(tǒng)純扭轉動力學模型，求解了系統(tǒng)的動態(tài)響應；劉輝等[8]建立了兩級行星齒輪傳動系統(tǒng)“平移-扭轉”耦合動力學模型，研究了兩級行星減速系統(tǒng)在不同載荷下的嚙合力頻率耦合現(xiàn)象和均載特性；Sheng等[9-10]分析了兩級行星齒輪傳動系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)均載系數(shù)以及中心齒輪的運動軌跡規(guī)律，并進行了實驗驗證。

以上關于多級行星傳動系統(tǒng)的研究中均沒有考慮級間連接構件的相對浮動。本文考慮了時變嚙合剛度、嚙合誤差、齒側間隙等非線性內部激勵，首次在動力學模型中引入級間相對浮動，建立了兩級行星齒輪傳動系統(tǒng)“平移-扭轉”耦合動力學模型，對系統(tǒng)的均載特性進行了分析，為進一步研究多級行星輪系動力學特性提供了理論基礎，對多級行星輪系的優(yōu)化設計具有一定參考意義。

1 系統(tǒng)動力學模型

1.1 模型分析

本文以風電機等設備使用較多的兩級增速行星齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象[11]，系統(tǒng)結構簡圖如圖1所示，由兩級2K-H行星輪系串聯(lián)組成，輸入端為第一級行星架c1，輸出端為第二級太陽輪s2，兩級內齒圈r1,r2固定在齒輪箱外殼上，第一級的太陽輪s1與第二級的行星架c2之間存在相對浮動間隙Δbr，pn，qn(n=1，…，N，N為行星輪個數(shù))分別表示第一級和第二級行星輪。

圖1 兩級行星傳動系統(tǒng)簡圖

采用集總參數(shù)法建立系統(tǒng)動力學模型[12-13]，將齒輪的嚙合等效為彈簧阻尼系統(tǒng)。因串聯(lián)的兩級輪系結構相同，僅以第一級為例，其“平移-扭轉”耦合動力學模型如圖2所示。圖中下標s1，c1，r1，pn分別為太陽輪、行星架、內齒圈和行星輪，定坐標系OXY和行星架隨動坐標系Oxy均以太陽輪理論回轉中心為原點，Oxy以行星架的理論角速度ωc1相對于OXY旋轉。圖中各構件擁有3個自由度，xi，yi(i=s1，c1，r1，pn)為構件在x，y方向的平移位移，θi為構件的扭轉角度。mi，Ii分別為各構件的質量和轉動慣量；ri為分度圓半徑，其中rc=rs+rp；ki，kit分別為各構件的平移支承剛度和扭轉剛度；kj，2bj，cj，ej(j=s1pn，r1pn)分別為各嚙合副的嚙合剛度、齒側間隙、嚙合阻尼和綜合嚙合誤差。

圖2 “平移-扭轉”耦合動力學模型

1.2 非線性參數(shù)描述

1.2.1 時變嚙合剛度

齒輪副嚙合時，處于嚙合接觸的輪齒對數(shù)在1和2之間交替變化。將一對輪齒的嚙合簡化為1個彈簧，兩對輪齒嚙合則為兩根相同的彈簧并聯(lián)，嚙合剛度用彈簧剛度來表示，隨著嚙合輪齒對數(shù)的變化呈周期變化，近似為周期矩形波的形態(tài)。將時變嚙合剛度簡化為平均剛度值和波動量的疊加，剛度波動量用三角函數(shù)表示，以第一級輪系為例，其時變嚙合剛度可表示為

(1)

1.2.2 綜合嚙合誤差

在齒輪傳動系統(tǒng)安裝時，實際安裝中心與理論安裝中心不一致會導致構件存在安裝誤差；齒輪的實際回轉中心與理論回轉中心不一致會產生偏心誤差。將嚙合副構件的各類誤差表達成嚙合線上的等效位移并進行疊加，以綜合嚙合誤差表示。以第一級為例，兩對嚙合副綜合嚙合誤差的表達式為

es1pn=As1·sin[-ωc1·t+αs1+βs1-ψpn]-

Apn·sin(αpn+βpn)+

Es1·sin[(ωs1-ωc1)·t+αs1+γs1-ψpn]-

Epn·sin[(ωpn-ωc1)·t+αs1+γpn],

er1pn=Ar1·sin[ωc1·t+αr1-βr1+ψpn]+

Apn·sin(αr1-βpn)+

Epn·sin[-(ωpn-ωc1)·t+αr1-γpn]+

Er1·sin[ωc1·t+αr1-γr1+ψpn]

(2)

式中：Ai，Ei(i=s1，r1，c1，pn)分別為各構件的安裝誤差和偏心誤差的幅值；βi，γi分別為安裝誤差和偏心誤差的初始相位；αi為壓力角；ψpn=2π(n-1)/N為第n個行星輪的位置角；ωi為構件角速度。

1.2.3 齒側間隙

由于制造和安裝過程中難以避免的偏差以及長期運轉后的磨損等因素，輪齒嚙合對之間存在齒側間隙，導致嚙合副產生沖擊。以第一級為例，存在齒側間隙時嚙合力和嚙合剛度的關系可以用1個分段非線性函數(shù)f(δj)(j=s1pn，r1pn)描述

(3)

式中：bj為齒側間隙的一半；δj為嚙合副的相對嚙合位移，表示齒輪的振動位移在嚙合線上的投影之和。定義振動位移使嚙合線壓縮為正方向，各嚙合副相對嚙合位移表達式為

δs1pn=(xpn-xs1)·sin(φs1pn)+(ys1-ypn)·

cos(φs1pn)+us1+upn-uc1·cos(αc1)-es1pn,

δr1pn=(xpn-xr1)·sin(φr1pn)+(yr1-ypn)·

cos(φr1pn)+ur1-upn-uc1·cos(αc1)-er1pn,

δpnc1x=xpn-xc1,

δpnc1y=ypn-yc1

(4)

式中：φs1pn和φr1pn為兩種嚙合副的位置方向角；ui=θi·rbi(i=s1，r1，c1，pn)為各構件的線位移，rbi為構件的基圓半徑。

1.2.4 級間相對浮動間隙

在兩級行星輪系中，第一級輸出太陽輪可以通過花鍵軸與第二級輸入行星架連接。采用間隙配合的花鍵連接在徑向可以給予兩構件一定的相對浮動間隙Δbr，在運轉時兩構件產生不同的徑向位移。相對浮動間隙的存在會影響太陽輪的徑向支承剛度，引入剛度變化系數(shù)μ

(5)

(6)

2 動力學微分方程

系統(tǒng)中各構件有3個自由度，第一級輸出太陽輪和第二級輸入行星架通過中間軸相連，視為1個整體用a表示，有1個扭轉位移，因此當存在相對浮動間隙時共有5個自由度xs1，ys1，xc2，yc2，θa。各級行星輪個數(shù)設為3，則整個系統(tǒng)有35個自由度。利用第二類拉格朗日方程，并引入上述非線性參數(shù)，得到系統(tǒng)無量綱動力學微分方程組為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

3 均載特性分析

3.1 均載系數(shù)計算

用均載系數(shù)衡量一組行星輪在嚙合中載荷不均勻的程度。以第一級為例，輪系在1個嚙合周期內的均載系數(shù)為

(14)

式中：Fs1pn，F(xiàn)r1pn分別為s1p，r1p嚙合副的嚙合力，可以通過數(shù)值方法求解微分方程組得到。此處嚙合周期Tm1=2πωd/ωm1，表示在隨動坐標系Oxy中一對輪齒的無量綱嚙合時間，與無量綱處理后的嚙合頻率相對應。嚙合副在一段時間內的均載系數(shù)用期間所有嚙合周期均載系數(shù)的最大值表示

Bs1pn=|bs1pn-1|max+1Br1pn=|br1pn-1|max+1

(15)

由式(15)可以看出，均載系數(shù)值越大，各行星輪載荷分配越不均勻，均載性能越差；值越接近1，均載性能越好。由于行星輪在兩對嚙合副的嚙合力作用下保持平衡，可知嚙合副s1pn和r1pn的嚙合力和均載系數(shù)大小相等，因此本文僅對太陽輪—行星輪嚙合副的均載系數(shù)進行分析。系統(tǒng)各構件基本參數(shù)如表1所示，第一級和第二級相同構件相應參數(shù)相同。給予系統(tǒng)輸入扭矩5 000 N·m，負載扭矩500 N·m，輸入轉速200 r/min。

表1 傳動系統(tǒng)基本參數(shù)

3.2 無級間相對浮動時誤差耦合對均載特性的影響

當不考慮級間相對浮動間隙，即當Δbr=0時，分別分析單一構件和多構件多種誤差耦合對系統(tǒng)均載特性的影響。

3.2.1 單一構件誤差耦合對均載特性的影響

由第二節(jié)分析可知，構件主要存在安裝誤差和偏心誤差兩種誤差激勵。以第一級太陽輪為例，分別計算太陽輪安裝誤差單獨作用，設幅值20 μm，即當As1=20 μm，Es1=0，以及偏心誤差單獨作用，即當Es1=20 μm，As1=0下的均載系數(shù)，每對嚙合副取200個嚙合周期，得到各級的均載系數(shù)曲線如圖3所示。由圖3可知，當?shù)谝患壧栞啺惭b誤差單獨作用時，系統(tǒng)第一級均載系數(shù)為1.139 8，第二級均載系數(shù)為1.080 9；當偏心誤差單獨作用時，系統(tǒng)第一級均載系數(shù)為1.138 7，第二級均載系數(shù)為1.079 4。兩種誤差單獨作用時，同一級的均載系數(shù)相差很小，表明安裝誤差與偏心誤差單獨作用時對系統(tǒng)均載特性的影響效果較為接近。兩種情況下第一級輪系的均載系數(shù)均大于第二級，曲線波動幅度更大。

圖3 單誤差作用下系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線

而計算第二級太陽輪安裝誤差單獨作用，即當As2=20 μm，Es2=0時兩級均載系數(shù)分別為1.025 1，1.432 3；偏心誤差單獨作用，即當Es2=20 μm，As2=0時兩級均載系數(shù)分別為1.026 8，1.427 6，此時第二級均載系數(shù)均大于第一級，由此可以看出構件的誤差主要影響所在一級的均載特性，對另一級影響程度相對較小。

當?shù)谝患壧栞啺惭b誤差與偏心誤差同時作用，即當As1=20 μm，Es1=20 μm時，系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線如圖4所示。由圖4可知，當?shù)谝患壧栞啺惭b誤差與偏心誤差同時作用時，系統(tǒng)第一級均載系數(shù)為1.268 2，第二級均載系數(shù)為1.154 8，各級均載系數(shù)相比單誤差作用時均變大，系統(tǒng)均載性能變差。此時系統(tǒng)均載系數(shù)曲線并未表現(xiàn)出周期性變化，對計算得到第一級s1p1嚙合副的動態(tài)嚙合力進行頻譜分析，濾去低幅高頻成分，結果如圖5所示，圖中坐標值均為無量綱處理后的結果。由圖5可知，嚙合力的頻譜中除去直流成分外在0.013 5和0.031 5兩個頻率點出現(xiàn)峰值。由式(2)可知第一級太陽輪安裝誤差與偏心誤差的激勵頻率分別為-ωc1和ωs1-ωc1，經無量綱處理后的值分別與頻譜圖中的兩個峰值頻率點相對應，說明系統(tǒng)此時均載特性的波動正是由兩種誤差激勵共同引起的。由于兩種誤差激勵的頻率之比不是有理數(shù)，因此疊加后的均載系數(shù)曲線未表現(xiàn)出周期性變化。

圖4 兩種誤差同時作用下系統(tǒng)均載系數(shù)曲線

圖5 兩種誤差作用下s1p1動態(tài)嚙合力頻譜圖

3.2.2 多構件誤差耦合對均載系數(shù)的影響

以第一級和第二級的太陽輪為例，當兩級太陽輪的安裝誤差和偏心誤差同時作用，且幅值相同，即As1=20 μm，Es1=20 μm，As2=20 μm，Es2=20 μm時，計算得系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線如圖6所示。由圖6可知，當兩級太陽輪兩種誤差同時作用時，系統(tǒng)第一級均載系數(shù)為1.301 9，第二級均載系數(shù)為1.893 3，均載系數(shù)相比單一構件誤差作用時較大，且曲線波動更為無序。在相同誤差幅值作用下，第二級的均載系數(shù)明顯大于第一級，這是由于在系統(tǒng)運轉時第二級行星輪承受的載荷更小，符合行星輪系載荷越小均載性能越差的理論結果[14]。

圖6 多構件誤差耦合時系統(tǒng)均載系數(shù)曲線

3.3 級間相對浮動對均載特性的影響

3.3.1 存在級間浮動時誤差耦合對均載特性的影響

當級間相對浮動間隙Δbr=10 μm時，在第一級太陽輪安裝誤差與偏心誤差同時作用下，即As1=20 μm，Es1=20 μm時，系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線如圖7所示。對比圖4與圖7可知，當存在級間相對浮動間隙時，在相同誤差幅值作用下系統(tǒng)兩級均載系數(shù)均更小，第二級達到了均載狀態(tài)，說明級間相對浮動間隙能夠有效改善系統(tǒng)的均載性能。改變第一級太陽輪兩種誤差的幅值，即當As1，Es1依次為20 μm，25 μm，30 μm，35 μm，40 μm時，計算得第一級均載系數(shù)依次為1.195 4，1.260 1，1.324 8，1.389 0，1.452 8，第二級均載系數(shù)為1.004 4，始終處于均載狀態(tài)。同樣，當?shù)诙壧栞唭煞N誤差以不同幅值作用，即當As2，Es2依次為20 μm，25 μm，30 μm，35 μm，40 μm時，第一級均載系數(shù)為1.000 3，第二級均載系數(shù)依次為1.803 2，1.962 8，2.110 1，2.262 8，2.413 8，第一級同樣始終處于均載狀態(tài)。與無級間相對浮動時的計算結果對比可知，級間相對浮動會明顯減弱構件誤差對另一級均載系特性的影響，改善整個系統(tǒng)的均載特性。

當兩級太陽輪的誤差共同作用，即當As1=20 μm，Es1=20 μm，As2=20 μm，Es2=20 μm，相對浮動間隙為10 μm時，系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線如圖8所示。由圖8可知，此時系統(tǒng)第一級均載系數(shù)為1.218 5，第二級均載系數(shù)為1.803 4，對比圖6可知存在級間相對浮動時系統(tǒng)兩級均載系數(shù)都變小，系統(tǒng)均載性能得到改善。

圖8 存在級間浮動間隙時系統(tǒng)均載系數(shù)曲線

3.3.2 級間相對浮動間隙大小對均載特性的影響

當兩級太陽輪誤差同時作用，幅值均為20 μm，改變級間相對浮動間隙的大小，得到系統(tǒng)兩級均載系數(shù)的變化趨勢如圖9所示。由圖9可知，增大級間相對浮動間隙能夠有效降低第一級的均載系數(shù)，當增大到一定值后第一級可以達到均載狀態(tài)。但是間隙增大對第二級的均載系數(shù)影響很小。

圖9 不同浮動間隙時系統(tǒng)均載系數(shù)

4 結 論

采用集總參數(shù)法，建立了考慮級間相對浮動的兩級增速行星齒輪傳動系統(tǒng)“平移-扭轉”耦合動力學模型，分別分析了有無級間相對浮動時構件多誤差耦合以及級間相對浮動間隙的大小對系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律，得到了以下結論：

(1) 在無級間相對浮動的情況下，單一構件的多種誤差共同作用會使系統(tǒng)均載性能變差，構件的誤差對所在一級的均載特性的影響程度更大。

(2) 當兩級多構件誤差同時作用時，載荷相對較小的第二級級均載性能較差，因此在傳動系統(tǒng)制造安裝過程中應當著力提高第二級構件的精度等級。

(3) 在相同誤差作用下，級間相對浮動能夠有效改善系統(tǒng)的均載性能，且會明顯減弱構件誤差對另一級均載特性的影響。

(4) 增大級間相對浮動間隙能夠有效改善第一級輪系的均載性能，而對第二級均載特性的影響很小。