深度學習應從深度備課開始
——以北師版數(shù)學教材六年級下冊“乘法運算律整理與復習”教學為例

呂振華

（丹東市金湯小學）

從學生的角度而言，深度學習指在教師引導下圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得發(fā)展的有意義的學習過程。要想使學生處于深度學習之中，教師就要進行深度教學。數(shù)學學科的深度教學，指教學應超越具體的知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學方法和策略的習得上升到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提高。要想達到數(shù)學深度教學，教師的深度備課是關鍵。做到深度備課，教師要備教學目標的深度和廣度，備學生學習的起點和切入點，備課堂教學的預設和生成。以上三點分別指向教師課堂教學的教深、教懂和教活，這樣學生才能學深、學懂、學活，進而促進核心素養(yǎng)的提升。本文以北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》六年級下冊“乘法運算律整理與復習”為例，進行了實踐探索。

一、“備”教學目標的深度和廣度

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“課程目標分從知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度等四個方面加以闡述?！薄俺朔ㄟ\算律整理與復習”一課，既要基于教材，又要形成網(wǎng)絡，使學生融會貫通。因此，我在備課時并不是直接設計教學目標，而是通過翻閱教材、教師教學用書（教參）等資料對乘法運算律教學目標的深度和廣度進行了解。

根據(jù)北師版數(shù)學教材六年級下冊的內(nèi)容安排，有一個多月的總復習階段，其教學參考書中的“總復習課時安排建議”中，對運算律的課時建議是1課時，此課時涉及與加法和乘法有關的5個運算律。在整理中我發(fā)現(xiàn)，小學數(shù)學教學內(nèi)容涉及到的簡便運算的運算定律和性質(zhì)有8個（見表1），涉及到的乘法的運算律最多，包括乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律。

表1 小學階段數(shù)學基本運算定律和性質(zhì)

學生從四年級上學期開始初次接觸乘法運算律，但隨著年級的升高，算式中逐步融入了小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)，使得運用乘法運算律進行簡便運算會越來越復雜。尤其是乘法分配律，對四至六年級的學生來說是難點中的難點。同時，乘法分配率和初中所學的提取公因式、因式分解有著密切的聯(lián)系。乘法分配律有加法、乘法兩種運算形式，做題時需要有效融匯乘法交換律和乘法結(jié)合律，而且實際教學中學生的乘法分配律錯誤率往往很高，所以我將乘法運算律單獨列為一課時，以乘法分配律為抓手來展開教學。

我查閱了四至六年級的數(shù)學教，匯總出乘法分配律的五種基本類型（見表2）。

表2 乘法分配律的五種基本類型

在翻閱教學參考書等資料之后，我對運算律本質(zhì)的理解逐漸加深。運算律改變了運算順序，但是沒有改變運算結(jié)果，同時能夠使運算變得更簡便更合理。運算律既是算理的彰顯，也是運算本質(zhì)的彰顯。算理是重要的，絕不可以簡單地把算理理解為依附于運算的一種性質(zhì)，而應當把算理理解為運算的本質(zhì)，即運算與算理等價。

運算律看似和計算有關，但它不是機械的計算，而是體現(xiàn)思維訓練的計算，不能單靠機械地學習、書山題海戰(zhàn)術來習得。運算律指向《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中“數(shù)感”和“運算能力”兩個關鍵詞。數(shù)學運算技能有三個層次，即算法的正確、簡潔和巧妙。因此，數(shù)學運算過程不僅是思維品質(zhì)不斷優(yōu)化的過程，也是不懈進取、不斷追求完美的習慣養(yǎng)成過程。計算不只是為了求得正確的結(jié)果，也不只是局限于探索多樣的算法，而是學習了多樣的算法之后，學會如何選擇合理、簡潔的運算途徑。

運算律包含著變中不變和符號化數(shù)學思想，對發(fā)展學生的辯證思維和代數(shù)思維起著非常重要的作用。乘法運算律中的字母表達式是對乘法運算律算理的高度總結(jié)和概括，所有乘法運算律的解題方法都是以字母表達式為基礎的。以乘法分配律為例，即使再難的題，都能轉(zhuǎn)化成拆分型、不完整型和等值變形，再轉(zhuǎn)化成正用型和反用型，最終回歸到字母表達式。

基于以上對教材、教學參考書和乘法運算律本質(zhì)的理解，我設計了如下的教學目標：一是引導學生加深理解乘法運算律本質(zhì)，鞏固知識技能，查缺補漏；二是引導學生自主溝通知識之間的聯(lián)系，幫助學生形成知識網(wǎng)絡，自覺選擇合理、簡潔的運算途徑；三是引導學生形成自覺整理知識，回顧、反思自己學習過程中的方法和策略的良好習慣；四是引導學生進一步積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體會數(shù)學思想。

二、“備”學生學習的起點和課堂切入點

雖然對教師而言有些課的課堂效果很好，但是實際教學中若不依據(jù)學情，學生學不懂，依然不是深度學習。所以，備課時，教師要以學生的原有認知為起點，使其弱點充分顯露，要什么不會就講什么，誰不會就給誰講，要引導他們主動思考，并留出足夠的思考時間。讓學生思考為什么這樣解答，即思考每道題的解題方法，就是算理。學生把算理講明白了，這道題自然就會了。因此，講算理就是本課的切入點。為了充分展現(xiàn)學生的原有認知，備課時我是這樣做的：班級中每個學生都備有一個錯題本，讓他們提前在錯題本中或者平時接觸的習題中找一道個人沒有做對的，至今仍然不太懂的乘法運算律的題，匯總到組長處，再由組長匯總到一起作為全班錯題集。我將全班錯題集進行了分類，發(fā)現(xiàn)大部分錯題集中在乘法分配律上，于是把這些錯題分成了6類（基本類型+綜合型）。這樣，我基本掌握了全班學生的錯題趨勢。同時，這本錯題集，也是對學生平時易錯題進行的匯總，錯題集中顯露的問題也是本課的教學起點。然后，以此有針對性地引出課堂教學。

師：回想一下，我們都學習了哪些與乘法有關的運算律？字母表達式是什么？你能用語言描述一下嗎？（學生邊回答，我邊板書乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律的字母表達式）

師：我們來看這些字母表達式，等號左右兩邊的式子是相等的。看到等號左邊的字母表達式，我們就要想到右邊的（用手擋住一半）。同樣看到右邊的，就要想到左邊的。

師：老師已經(jīng)讓你們把至今仍然不太懂的乘法運算律的題目匯總到組長處，這樣每組是四道題。下面，請在組長帶領下，小組同學一起試著先解決一下。要求會的同學說明白你為什么這樣解題，不會的同學認真聽，不明白的地方直接問講題的同學。如果有誰也不會的題目，舉手告訴老師，我們寫到黑板上，一起解決。

這時的小組合作、生生互動，教師必須深入其中，聽講題的學生是怎么講的，為下一個環(huán)節(jié)做好鋪墊。在班級交流中，要規(guī)范學生的數(shù)學語言，為理解算理打好基礎。同時，教師要將小組也解決不了的題目及時寫在黑板上。這樣，在小組合作環(huán)節(jié)，講題的學生成了“小老師”，將自己對乘法運算律的理解再次提煉，聽的學生在這種氛圍下主動思考，實現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”。

在班級匯報環(huán)節(jié)和練習環(huán)節(jié)的設計上，我同樣關注學生對乘法運算律算理的理解。在傾聽學生講算理時主要關注兩個方面，即運算結(jié)構(gòu)和數(shù)字特點。比如125×8.8，這道題有兩種算法，分別是“原式=125×（8+0.8）=125×8+125×0.8=1000+100=1100”“原式=125×8×1.1=1000×1.1=1100”，這兩種算法都對。我問學生：“為什么要把8.8拆成8+0.8？”如果學生的回答圍繞運算結(jié)構(gòu)和數(shù)字特點來回答就說明他基本明白了。一個學生說：“因為把8.8拆成8+0.8就使算式符合乘法分配律的運算結(jié)構(gòu)，同時125分別和8、0.8相乘能得到整數(shù)，使計算簡便?！蔽依^續(xù)追問：“為什么要把8.8拆成8×1.1？”學生說：“因為把8.8拆成8×1.1，就使算式符合乘法結(jié)合律的運算結(jié)構(gòu)，同時125和8相乘能得到整數(shù)，使計算簡便?！碑斎?，這是備課時我的一種設想，在實際教學中學生不一定會回答得如此完美，正是因為不完美，才需要教師發(fā)揮主導作用，不斷規(guī)范學生的數(shù)學語言，使學生的思維逐步“數(shù)學化”。

三、“備”課堂教學的預設與生成

備課時若事無巨細，備足細節(jié)，那么上課時雖會有“意外”，教師也會成竹在胸，不至于手忙腳亂，可能還會有可貴的生成。備課時不僅要備教學環(huán)節(jié)，還要對每個環(huán)節(jié)進行預設：預設學生可能出現(xiàn)什么問題，如果出現(xiàn)了某種問題，該如何處理。

以本課為例，在導入環(huán)節(jié)，我設計的問題是：我們都學習了哪些與乘法有關的運算律？字母表達式是什么？你能用語言描述一下嗎？預設的方案有三種：

第一種，學生能夠順利地回答出這三個問題，這樣就直接進入下一個環(huán)節(jié)。

第二種，學生能回答出3個乘法運算律的名字，但是字母表達式不一定正確，用學生的語言描述也可能千差萬別。這時需要以訓練學生數(shù)學語言的規(guī)范性作為切入點，讓其他學生發(fā)現(xiàn)回答中的漏洞，學生之間互相補充。這樣生生互動，補充啟發(fā)，會有較好的課堂生成。

第三種，如果全班都忘記了，就由教師啟發(fā)?？梢猿鍪境朔ń粨Q律的內(nèi)容，在黑板板書乘法交換律的字母表達式和數(shù)學語言描述方法，然后選擇2～3名學生進行復述。接著，請學生想一想：乘法結(jié)合律和乘法分配律的字母表達式是什么？引導學生用語言復述。如果學生無法用自己的語言描述乘法運算律，尤其是其中的乘法分配律，教師可直接示范，即在用語言表述同時用手指黑板相應表達式幫助學生理解。

這樣，教師在上課之前便已經(jīng)將課堂可能出現(xiàn)的情況全部預設出來，無論學生出現(xiàn)哪些問題，教師基本都可以處理，從而使課堂更高效。當然，如果授課班級是教師自己班的學生，教師對學情基本了解，預設的時候可能更輕松一些；但即便如此，我們也不能掉以輕心，要對本班學生做好充分預設，最好在相應環(huán)節(jié)寫入相對應的學生姓名，根據(jù)學情，因材施教。

在小組合作和班級交流環(huán)節(jié)，我的理想設置是：小組交流中，學生有幾道題目是不會的，最好是乘法分配律6種類型都有，乘法結(jié)合律的題型也有，用磁扣把不會的題固定在黑板上，然后全班交流。引導學生分類，形成網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，每種類型解決一道題，然后進入練習環(huán)節(jié)。實際上，教學不可能如此順利，所以我進行了更多預設：如果學生在小組交流時所有的題都解決了，那就請學生歸納乘法運算律知識體系，形成網(wǎng)絡，再進入練習；如果需要全班交流的題型不全面，缺少類別，就先把黑板上的題分類解決，再讓學生補充，形成網(wǎng)絡體系。在練習環(huán)節(jié)，我設置了兩道乘法分配律的綜合型題，其中有一道是7.5×5.3+25×0.51，這道題有多種解法，同時需要學生對特殊數(shù)據(jù)有敏感度。我預設時希望學生都能總結(jié)出來，實際教學中學生可能都總結(jié)出來，也可能差強人意，所以我將所有方法都進行了匯總，以備上課之用。

其實，教師備課時的預設終是紙上談兵，因為上課時即使對所學內(nèi)容很熟悉的學生也可能會問出許多教師意想不到的問題，這是正常的；但是教師的預設可以作為緩沖區(qū)，能大大緩解教師和學生之間的課堂隔閡，使教師的“教案”向以學生為本的“學案”無限靠攏。這樣，就算課堂中出現(xiàn)了預設之外的生成，由于教師已經(jīng)提前進行了各種角度的思考，并有解決的預案，也能避免意外生成使課堂教學偏離方向。

南京大學鄭毓信教授說：“數(shù)學基礎知識的學習，不應求全，而應求聯(lián)；數(shù)學基本技能的學習，不應求全，而應求變；數(shù)學思維的學習，不應求全，而應求用?！睆土曊n尤其需要如此。學生的時間是有限的，沒有深度備課，深度教學和深度學習便無從談起。所以，上好課應從深度備課開始。