例談發(fā)散思維在數(shù)學解題過程中的運用

張曼

【摘要】初中階段的學生隨著對數(shù)學更抽象的認識和探索，在解決平面幾何問題中逐漸會產(chǎn)生類似“解題方法是怎么思考出來的”困惑，這就要求教師對所學的知識點進行剖析，并在練習中進行思維引導，培養(yǎng)學生綜合運用知識和方法的能力，也就是思維的發(fā)散能力.本文主要探討的是發(fā)散思維在平面幾何解題中的運用.通過對發(fā)散思維的鍛煉，能夠讓學生對題目中暗藏的關系更加清晰，從而達到用“老法”解“新題”的效果.

【關鍵詞】關系發(fā)散;變式解題;平面幾何

初中階段是學生開始構建抽象思維的階段.在解決數(shù)學問題時，學生需要具有一定的邏輯思維能力.

在教學過程中，我曾經(jīng)歷過很多次這樣的事情：在給學生評講完一個錯誤率較高的題目之后，學生常會發(fā)出恍然大悟的呼聲.這個時候也會有善于思考的學生會提出疑惑：為什么老師能夠想到這個思路？為什么要用這個方法去解題？為什么老師能夠在短時間內(nèi)找到正確方法？我的思路在哪里出了岔路？

如果教師對這幾個問題細細思量就會發(fā)現(xiàn)，其實很多基礎很好的學生做不出并不是因為知識儲備量不夠，而是在尋找解題思路時思維沒有打開.這也正是教師需要培養(yǎng)學生的能力——創(chuàng)新和應用能力.

托尼·巴贊認為發(fā)散思維具有兩個含義，一方面是來自一個中心點的聯(lián)想過程;另一方面是指思維的爆發(fā).發(fā)散思維也能派生出很多具體的方法和技巧，數(shù)學中經(jīng)常運用到的有組合發(fā)散法、因果發(fā)散法、關系發(fā)散法等.下面就其中的關系發(fā)散法在平面幾何中的運用進行詳述.

一、何為關系發(fā)散

關系發(fā)散法常被用來對題目進行變式，從而得到結論依附的必需條件.通過關系發(fā)散，題目可以產(chǎn)生不同的變式，如將已知變成未知，將未知變成已知，從而達到循序漸進、難度攀升和加強對題目理解的效果.

二、關系發(fā)散在新授課中的運用

1.關系發(fā)散在教科書中的運用

在蘇科版八年級下冊學習平行四邊形一章的“三角形的中位線”這一節(jié)中，討論四邊形的中點四邊形時，用到了這樣的例題：

【例1-1】已知：如圖1所示，在四邊形ABCD中，AC=BD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.求證：四邊形EFGH是菱形.

這個問題中，已知條件為“四邊形對角線AC，BD相等”，結論為“四邊形的中點四邊形是菱形”.利用三角形中位線的性質(zhì)可證這個命題是真命題.因此我們將“四邊形對角線相等”與“中點四邊形為菱形”作為已知和結論建立了關系，如果將已知未知互換的話，就得到了這樣的問題：

【例1-2】已知：如圖2所示，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，四邊形EFGH是菱形.

求證：AC=BD.

善于思考的同學此時會仿照上述關系發(fā)散思維，將已知未知進行調(diào)換，甚至可以將以上兩個條件刪減或者疊合到一起猜測得到的四邊形是什么特殊四邊形.從這一變式中，很容易發(fā)現(xiàn)中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線決定的，而在證明過程中，運用的都是三角形中位線的性質(zhì).

以上是比較基礎的對中點衍生出的猜測與結論，而在后續(xù)的練習中，除了對四邊形的中點四邊形形狀的討論之外，還經(jīng)?？疾閷W生將其中的證明方法活用到解題之中.學生在對以上知識構架相對熟悉的基礎上，很快就能發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.例如下面的例題：

【例1-3】如圖3所示，在四邊形ABCD中，AB=DC，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，BD，AC的中點.四邊形EGFH是怎樣的四邊形？證明你的結論.

我們可以將上述解題方法應用在這一例題中，雖然不是討論四邊形的中點四邊形的形狀，但解題方法還是利用三角形中位線的性質(zhì)來判斷邊與邊之間的關系.

所以關系發(fā)散法的目的是讓學生能夠做到“舉一反三”.在進行思維發(fā)散的時候將題目中的條件和結論進行提取，找到其中邏輯支點，也就是教材上對應的知識點.數(shù)學習題無數(shù)，但將問題的條件和結論進行提煉，很多問題本質(zhì)上是相似的，我們可以用相同的知識點解不同的習題.

2.關系發(fā)散法在習題中的運用

關系發(fā)散法經(jīng)常被命題人運用在解答題中的壓軸題里.這些題的特征是后面的問題是前面問題的延伸，常見的延伸方法是將前面問題中的條件進行改動或者刪減，如下面的典型例題：

【例2-1】在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點D，E.若直線MN繞點C旋轉到如圖4所示的位置，求證：①△ADC≌CEB;②DE=AD+BE.

該題中給了一個鋪墊，先證明三角形全等，過程中會利用角之間的等量關系進行轉換得到全等的條件，再轉換到三條線段之間的等量關系.也被稱為“K字形”的一個經(jīng)典例題.變換MN的位置，還可得到下面的例題：

【例2-2】在例2-1中，若直線MN繞點C旋轉到如圖5所示的位置，求證DE=AD-BE.

直線旋轉前后，上述等量關系仍然存在.不同的是證明三角形全等之后線段之間的等量關系發(fā)生了變化.

從而將思維打開，轉而思考是否直線的位置對全等并無影響（排除MN與BC或AC在同一直線上的情況），全等的三個條件是否可以放寬，譬如“等腰直角三角形”去掉“直角”的條件，換為普通的“等腰三角形”之后，若要全等仍然成立，則必須對應改變AD，BE與直線MN之間的夾角.

在九年級學習相似這一章節(jié)內(nèi)容以后，這個思路可以用來解決很多問題，特別是平面直角坐標系中的問題.如果將教材中的知識點稱作知識主干的話，那么延伸出來的例題就是這個主干上長出的繁茂綠葉.雖然葉片之間并沒有明顯的觸碰，但是它們都是吸收著同一處的養(yǎng)分，究其根本也是相同的.所以要想真正弄懂一個問題，就得追根溯源知識的來源.

三、如何提升學生的關系發(fā)散能力

關系發(fā)散的前提是學生能夠構建知識點與題、題與題之間的聯(lián)系，這就要求教師在講授新課時，利用簡單有效地方式，加深學生對知識點的印象，使學生能夠在見到題干中的某些關鍵詞時，快速聯(lián)想到知識點并找到解決方法.除此之外，教師在講解練習題時，要避免單一地講解題目解決過程，多關注解題時的思路形成過程，即由哪些點聯(lián)想到這個方法可能適用.在習題講解完畢，教師要及時對講解這個問題用到的方法進行總結或者提煉，同時學會關聯(lián)題干間的相通之處.

關系思維發(fā)散法考驗學生的思維能力和應用意識;培養(yǎng)學生的關系發(fā)散思維能力、數(shù)學綜合素質(zhì)，包括幾何分析能力、邏輯推理能力，尤其是應用和創(chuàng)新意識，使學生能夠做到真正學習有意義的數(shù)學，構建屬于自己的數(shù)學框架，加深對數(shù)學的理解，也能夠將數(shù)學的方法和思維應用于生活的其他方面，鍛煉自己的思維能力，使自己成為一個理性思考、思維活躍的人.

【參考文獻】

[1]劉長春，張文娣.中學數(shù)學變式教學與能力培養(yǎng)[M].濟南：山東教育出版社，2001：11-27.

[2]劉東升.“形散神聚”的主題，“淺入深出”的環(huán)節(jié)：中考二輪微專題復習課“無處不在的邊角關系”教學流程與立意[J].教育研究與評論（中學教育數(shù)學），2018（04）：87-91.

[3]呂娜，葉錦錦.變式教學在數(shù)學概念課中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2020（09）：36-37.