多旋翼飛行器建模與控制器設(shè)計

杜 明，趙燕飛，范書瑞，賈穎淼，吳佳飛

(1.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，石家莊 050081；2.天津市海河管理中心，天津 300231；3.河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300401)

多旋翼飛行器又稱無人機，其構(gòu)造簡單緊湊、行動十分靈巧、運動格外穩(wěn)定[1]，在軍事領(lǐng)域與民用領(lǐng)域均展露出很大的應(yīng)用價值，四旋翼機已廣泛應(yīng)用于航空攝影、遙感測量、實時監(jiān)測、軍事偵察、農(nóng)藥噴灑等行業(yè)[2-4]。但是其同樣擁有續(xù)航時間短、載重量低等問題，在配送東西過程中難免會遇到懸掛的東西掉落的問題，造成無人機的不平衡，如何讓無人機在懸掛質(zhì)量突然增加或者減少的情況下能夠快速恢復(fù)平衡是一大難點。

如今，隨著無人機的研究逐漸深入，中外的諸多科研機構(gòu)和大學(xué)都對四旋翼無人機進(jìn)行了很深入的研究。目前相關(guān)專家提出了很多四旋翼無人機的控制方法，其中最經(jīng)典的就是比例積分微分(proportion integration differentiation，PID)控制[5]。PID控制有著原理簡單、控制技術(shù)成熟、易于實現(xiàn)的優(yōu)點。Ji等[6]提出了傾斜四旋翼機的新概念，獨立控制無人機的旋轉(zhuǎn)與平移，建立了一個完整的動力學(xué)模型，其中考慮了參數(shù)不確定性和外部干擾，提出了一種自適應(yīng)快速有限時間控制方法，最后通過對比仿真實驗驗證了控制器的有效性和魯棒性。Zhang等[7]提出了一種預(yù)測滑膜控制方法，并將其應(yīng)用于飛行器的運動控制中。實現(xiàn)了在干擾環(huán)境下的跨域過渡，最后通過與PID控制器的對比仿真，驗證了控制方案的可行性與魯棒性。Cervantes-Rojas等[8]開發(fā)了一種自適應(yīng)控制器來解決四旋翼機的軌跡跟蹤問題，提出了利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊推理系統(tǒng)進(jìn)行交互作用的模式。在室外環(huán)境進(jìn)行實驗，證明了基于動態(tài)域名服務(wù)(dynamic domain name server，DNNs)和高木-關(guān)野(Takagi-Sugeno，T-S)技術(shù)相結(jié)合的算法相對于經(jīng)典的控制器具有更好的性能。南京航空航天大學(xué)從1958年開始才進(jìn)行無人機方面的研究。王源等[9]提出直接坐標(biāo)法控制無人機的飛行軌跡，實現(xiàn)四旋翼無人機自主導(dǎo)航控制，有效地保證系統(tǒng)穩(wěn)定性和響應(yīng)的快速性。2015年北京航空航天大學(xué)提出了一套基于自抗擾控制的姿態(tài)解算法[10]，該算法很好地解決了無人機系統(tǒng)狀態(tài)耦合性高和建模產(chǎn)生的狀態(tài)誤差問題，所設(shè)計的自抗擾控制系統(tǒng)在快速響應(yīng)、無超調(diào)的前提下，具有很強的抗干擾能力以及較高的控制效率。2018年，王春陽等[11]提出了一種基于線性自抗擾的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計方案，可以很好地克服無人機的強耦合性、模型不確定性以及外部干擾問題，滿足無人機姿態(tài)調(diào)節(jié)快速和高穩(wěn)定度的控制要求。

在充分了解無人機的結(jié)果和飛行原理的前提下，現(xiàn)利用最簡單也最經(jīng)典的PID控制，調(diào)整PID參數(shù)，使無人機在懸掛質(zhì)量突然改變的情況下快速恢復(fù)平衡，持續(xù)穩(wěn)定飛行，在Simulink上搭建系統(tǒng)模型，得到仿真結(jié)果，證明飛行器可以得到穩(wěn)定有效的控制，提高飛行器的性能。

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

四旋翼無人機在空間飛行時，為了方便地描述無人機的轉(zhuǎn)動方程，建立了四旋翼飛行器的機體坐標(biāo)系，它的坐標(biāo)原點是飛行器的中心，xy水平面即是4個旋翼所在的水平面，z軸垂直于xy水平面。此種坐標(biāo)系建立在飛行器本身上最為方便,可以用B表示。地面坐標(biāo)系是建立在假設(shè)地面為水平面的基礎(chǔ)上，一般用E表示。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：θ、ψ、φ為歐拉角，用來描述E系到B系轉(zhuǎn)換需要的角度；θ為俯仰角，表示無人機與水平面之間形成的夾角；ψ為偏航角，表示無人機在地面的投影和地軸之間的夾角；φ為滾轉(zhuǎn)角，表示無人機繞中心對稱軸旋轉(zhuǎn)過的角度。

1.2 動力學(xué)數(shù)學(xué)模型

無人機的數(shù)學(xué)模型可以分為線性運動的數(shù)學(xué)模型和角運動的數(shù)學(xué)模型，線性運動的數(shù)學(xué)模型可以根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的理論來描述。由于無人機各項參數(shù)十分復(fù)雜，在最后對控制效果影響較小的前提下，做以下假設(shè)。

(1)將四旋翼飛行器視為剛體，在飛行器的聚合中心有著均勻的紋理和質(zhì)量中心分布。

(2)忽略飛行器的四個旋翼與其相應(yīng)電機之間的摩擦以及四旋翼飛行器中的空氣摩擦。

(3)由于四旋翼飛行器的飛行高度不是很高，因此受到地球重力的影響也非常小，所以認(rèn)為它受到的重力在飛行過程中受到的重力不變，即重力加速度不會改變。

(4)假設(shè)由旋翼旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的升力垂直于相應(yīng)的旋翼，則該升力的大小與旋翼的轉(zhuǎn)速的平方呈線性關(guān)系。

四旋翼飛行器飛行過程中飛行過程中主要受到3個力的影響，這3個力是旋翼產(chǎn)生的拉力，飛行過程中的阻力和來自地面的重力[12]。可得四旋翼飛行器在地面坐標(biāo)系中的受力表達(dá)式[式(6)]，四旋翼飛行器的線性運動數(shù)學(xué)模型表達(dá)式[式(7)]。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：L為電機軸中心到無人機質(zhì)心之間的距離；Jr為旋翼的轉(zhuǎn)動變量；c為空氣阻力系數(shù)；p、r、q為機體沿三軸方向的角速度分量；d為反扭矩系數(shù)，且Ω=Ω1+Ω2-Ω3-Ω4。

因為四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)對稱，所以機體整體轉(zhuǎn)動慣量可以用式(10)表示，即

(11)

式(11)中：I為剛體對定軸的轉(zhuǎn)動變量；Ixx、Iyy、Izz為3個方向上的轉(zhuǎn)動慣量。

將式(10)與式(11)綜合便可以得到四旋翼飛行器在機體坐標(biāo)系中的角運動表達(dá)式，如式(12)所示。

(12)

2 PID控制方法

2.1 PID結(jié)構(gòu)

姿態(tài)控制算法主要是采用串級PID控制[13]，這種控制系統(tǒng)不僅原理簡單、魯棒性強，而且通用性高。四旋翼飛行器運動過程中需要控制的量包括3個位置量：x、y、z和3個姿態(tài)控制量：θ、φ、ψ。單個閉環(huán)PID控制器[14]很容易減慢系統(tǒng)處理速度。由于姿態(tài)角的變化與位置坐標(biāo)的變化之間存在因果關(guān)系，因此控制系統(tǒng)采用順序控制進(jìn)行雙重設(shè)計閉環(huán)PID控制。內(nèi)環(huán)是用于調(diào)整無人機姿態(tài)角變化的姿態(tài)控制環(huán)，外環(huán)是用于控制無人機位置坐標(biāo)變化的位置控制環(huán)。這種串級控制方法往往都會取得不錯的效果。

PID的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，PID的輸入信號為e(t)，輸出信號為u(t)。它主要可以分為比例、微分和積分三部分，比例是PID控制器的基礎(chǔ)部分，一切都是圍繞比例部分作用的。積分部分是為了消除因比例部分帶來的穩(wěn)態(tài)誤差，而微分部分則是抑制積分帶來的超調(diào)作用。這三部分的不同組合將會帶來不同的作用，因此調(diào)整3個控制系數(shù)對于PID控制來說十分重要。

圖1 PID結(jié)構(gòu)

e(t)=i(t)-r(t)

(13)

(14)

式中：i(t)為PID輸入的信號；r(t)為系統(tǒng)實際輸出的信號；Kp為比例系數(shù)；Ti為積分時間常數(shù)；Td為微分時間常數(shù)。

參數(shù)整定是PID控制器的核心，也是其最難的部分，直接在控制系統(tǒng)中通過不斷的試驗去調(diào)整參數(shù)，這種方式簡單不需要很復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，并且調(diào)試成功后更加貼近實際應(yīng)用，但缺點就是太過耗費時間并且對試驗人員的經(jīng)驗要求很高。實驗調(diào)整PID的參數(shù)步驟如下。

(1)合理確定一個采樣周期，確保系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運行。

(2)調(diào)整系數(shù)的大小直到系統(tǒng)將要出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，與此同時，仔細(xì)觀察記錄比例系數(shù)和臨界振蕩周期。

(3)利用數(shù)學(xué)公式解算出PID控制器參數(shù)。

2.2 數(shù)字模型的簡化

為了方便四旋翼飛行器的控制器設(shè)計，需要考慮到實際情況增加約束條件，進(jìn)而使數(shù)學(xué)模型在合理的范圍內(nèi)得到最大程度的簡化。當(dāng)小型四旋翼飛行器在室內(nèi)慢速飛行時，由于沒有風(fēng)力的干擾，且轉(zhuǎn)動速度十分緩慢，所以能夠添加以下約束條件。

(1)忽略空氣阻力因素帶來的干擾，即把空氣阻力矩和空氣阻力的大小看作0。

(2)因為實驗用的是小型四旋翼飛行器，其4個螺旋槳無論是質(zhì)量還是尺寸都十分小，因此忽略陀螺效應(yīng)力矩，即Jr為0。

為了方便描述，令

(15)

當(dāng)在無風(fēng)條件下或者是只對無人機產(chǎn)生小角度干擾的環(huán)境下，低速穩(wěn)定飛行或到達(dá)懸停狀態(tài)時進(jìn)行無人機實驗，由于無人機的飛行姿態(tài)角度變化很小，所以空氣阻力因素和陀螺效應(yīng)都可以暫時忽略，故可以在上面的基礎(chǔ)上進(jìn)一步簡化無人機的數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到如式(16)、式(17)所示的最簡模型。

(16)

(17)

2.2 外環(huán)位置控制算法

位置控制環(huán)可通過PID計算獲得運動方向上的3個預(yù)期加速度，例如預(yù)期位移與實際位移之間的差，各方向的計算公式為

(18)

式(18)中：kPi、kIi、kDi(i=x,y,z)分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；xd、yd、zd為3個方向上的預(yù)期位移；x、y、z為實際位移。

圖2 位置控制流程圖

由式(19)可得U1，再輸入期望偏航角得出期望的滾轉(zhuǎn)角和期望的俯仰角為

U1=

(19)

(20)

式(20)中：下角標(biāo)e表示該物理量的期望值。

2.4 內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制算法

在內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制也是串級結(jié)構(gòu)，首先將外環(huán)送來的期望姿態(tài)和實際反饋回來的值輸入給角度控制器，角速度控制器根據(jù)期望角速度與實際角速度算出U2、U3和U4的值，最后將其變換為電機的期望拉力解算出各旋翼的期望轉(zhuǎn)速公式為

(22)

式中：kPi、kIi、kDi(i=2,3,4)分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。

圖3 姿態(tài)控制流程圖

期望角速度的計算公式為

(23)

白煞留下和鐵衛(wèi)連夜清理黑旗會分壇，因為與黑旗會博弈須要充裕的銀子作基礎(chǔ)，所以蕭飛羽臨走時吩咐將所有值錢的東西帶去安和莊，余下的事情交給樊虎帶領(lǐng)的伙計。白煞和鐵衛(wèi)搜索發(fā)現(xiàn)天問大師和紫陽道長要找的少林俗家弟子之首的白云飛竟然囚禁在地牢里。

經(jīng)過多次試驗，最終得到這些PID控制系數(shù)如表1所示。

表1 PID參數(shù)

2.5 Simulink仿真結(jié)果分析

利用上述求出來的PID參數(shù)進(jìn)行模型的構(gòu)建，在Simulink中進(jìn)行仿真，得到的外環(huán)位置仿真結(jié)果如圖4所示，其中黑色曲線為x軸的期望位置與實際位置，紅色曲線為y軸的期望位置與實際位置，綠色曲線是z軸的期望位置與實際位置。

圖4 位置仿真結(jié)果

仿真模型中預(yù)期坐標(biāo)為x=10，y=3、6、8，z=1、-3、-6、-4、-2，由仿真曲線可知，x點在4 s內(nèi)實現(xiàn)了無人機從初始坐標(biāo)到預(yù)期坐標(biāo)的平滑過渡，穩(wěn)態(tài)誤差在±4范圍內(nèi)；y點在1 s內(nèi)實現(xiàn)無人機從原來坐標(biāo)到預(yù)期坐標(biāo)的平滑過渡，穩(wěn)態(tài)誤差在±1范圍內(nèi)，超調(diào)量較小，很快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)；z點在1.4 s后趨于平穩(wěn)，高度波動較大，但響應(yīng)速度快。整體來說，系統(tǒng)可以取得較好的控制效果，使系統(tǒng)迅速穩(wěn)定下來。

在Simulink中進(jìn)行仿真得到姿態(tài)控制效果，其中俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、航偏角的變化分別如圖5所示。

圖5 俯仰角、滾轉(zhuǎn)角和航偏角曲線圖

圖5(a)和圖5(b)中，俯仰角和滾轉(zhuǎn)角在曲線波動后基本穩(wěn)定在期望值零點，其曲線波動較大，最大達(dá)到60，最小將近-100，但是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好，基本可以在1.5 s內(nèi)近似恢復(fù)期望值0。圖5(c)中，無人機偏航角賦值為1,，使無人機方向不發(fā)生變化，無人機在0.2 s內(nèi)進(jìn)入固定偏航角狀態(tài)，能夠維持穩(wěn)定。由此可以看出系統(tǒng)調(diào)整速度很快，穩(wěn)定性良好，取得了較好的控制效果。

3 滑膜控制器的設(shè)計

3.1 控制器設(shè)計

控制器所要達(dá)到的目標(biāo)是使四旋翼無人機能夠在一個固定的高度進(jìn)行相對懸停，并以指數(shù)趨近律為核心來設(shè)計滑膜動態(tài)控制器[15]。通過公式推導(dǎo)將3個歐拉角θ、ψ、φ解耦，分別對其進(jìn)行控制以實現(xiàn)整體飛行控制，以下是推導(dǎo)過程

通過反饋線性化，得到的線性系統(tǒng)公式為

(24)

(25)

(26)

(27)

為了方便后續(xù)推導(dǎo)，令

(28)

已知s=Cηi，對其求一階導(dǎo)數(shù)，可得

(29)

式(29)中：C為常系數(shù)，ε>0,k>0,i=1,2,3；-ks為指數(shù)趨近項；-εsgn(s)為等速趨近項。

將式(24)代入式(29)中，得到式(30)，即

ui=(CiBi)-1(-CiAiηi)+s

(30)

式(30)中：Ci=[15 1],Bi=[0bi]T,ε=10，k=3.5，i=1,2,3，ηi=[1 1]T,利用趨近律對四旋翼飛行器的高度z實時控制和反饋。則狀態(tài)方程為

(31)

式(31)中：f1=[0-g]T，g為重力加速度。

(32)

設(shè)切換函數(shù)為

(33)

由高度誤差變化率可得

(34)

將式(31)和式(33)代入式(29)中，可得式(35)，其中c=30,ε=10,k=3。

(35)

3.2 仿真結(jié)果分析

圖6是高度z的變化曲線，在圖6中可以看到，高度z的曲線在1.5 s內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，并且沒有超調(diào)。由此可知設(shè)計的滑?？刂破骺梢允顾男頍o人機在一個固定的高度進(jìn)行相對懸停，圖6懸停在5 m處，滑膜控制器可以實現(xiàn)對無人機的控制。

圖6 高度z的變化曲線

4 結(jié)論

分析了無人機的運動原理，建立了完備的數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上做了一個仿真驗證，實現(xiàn)了無人機的期望飛行。驗證了數(shù)學(xué)模型的正確性。得到的主要結(jié)論如下。

(1)在基本限制條件下進(jìn)行受力分析，進(jìn)一步得到了無人機運動的線性運動模型以及角運動模型，最后根據(jù)實驗條件再進(jìn)行模型的簡化，有利于后期的模型計算。

(2)在Simulink中搭建出仿真模型，經(jīng)過多次嘗試得到的PID控制系統(tǒng)參數(shù)可以有效地區(qū)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取得較好的控制效果。

(3)設(shè)計滑膜控制器，并在Simulink中搭建出相應(yīng)的仿真模型，可以實現(xiàn)期望的效果，使四旋翼無人機能夠在一個固定的高度進(jìn)行相對懸停。