一種基于合作干擾的主竊信道安全傳輸方法

徐賽，韓帥，孟維曉

（哈爾濱工業(yè)大學通信技術研究所，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

隨著越來越多的無線設備接入通信網絡中，由設備密集帶來的安全問題越來越嚴重[1]。除了常見的采用密碼學的保密方法外，物理層安全技術通過利用物理層傳輸介質的隨機特性并進行合適的編碼和信號處理，能夠確保只有合法接收者解碼保密信息，且解碼復雜度較低[2]。與采用密碼學的保密方法不同，物理層安全完全可以忽略竊聽者的運算能力，而且也可以不考慮中心密鑰分發(fā)和管理[3]。

在物理層安全中，中繼由于可以提供額外的空間自由度，因此常用于加強合法接收者處或/和削弱竊聽者處的接收信號質量。用于物理層安全比較常見的中繼技術包括合作波束成形[4-6]、合作干擾[7-10]以及中繼選擇[11-13]。當中繼接收到的信號不十分可靠或者其周圍可能存在竊聽者時，中繼通過轉發(fā)信息并不能獲得滿意的保密性能[14]。針對這種情況，更合適的做法是將中繼用作沒有信息轉發(fā)的純粹合作干擾者，換句話說，中繼僅僅發(fā)射人工噪聲惡化竊聽者的信號接收[15-17]。雖然采用合作干擾的中繼技術能夠大幅度地提高通信系統(tǒng)的保密性能，但是現有的合作干擾技術幾乎都基于合法信道和竊聽信道二者相互獨立的假定，而這種假定不總符合實際情況。

在無線環(huán)境中，主信道（即從發(fā)射者到合法接收者的信道）和竊聽信道之間有時也可能具有一定的相關性。無線信道之間的相關程度常常與諸如無線電反射體和散射體、天線部署等一些因素有關[18]。在物理層安全研究場景中，當無線接入設備密集較高時，主竊信道存在一定程度相關性的情況時常發(fā)生。另外，也存在一種可能的相關主竊信道情況，即竊聽者主動靠近合法接收者用以誘導二者無線信道之間的相關性[19]。在主竊信道相關的情況下，參考文獻[18]中給出了保密容量的推導過程，并研究了該相關性對系統(tǒng)保密容量的影響。在此基礎上，參考文獻[20]通過推導，給出了平均保密容量和中斷概率的精確表達式。參考文獻[21]研究了分集合并與相關信道保密容量的關系，并給出了通過調整分集階數和平均信道增益比來減小天線影響的方法。在參考文獻[22]中，假定發(fā)射端采用天線選擇方案，在此前提下，通過推導得出保密中斷概率的閉合表達式。參考文獻[23]提出一種發(fā)射天線選擇方案，通過選擇最合適的中繼能夠有效地提高通信系統(tǒng)的保密性能。進一步，參考文獻[24]分析了與信道相關以及過時中繼選擇對通信系統(tǒng)安全性能的影響。另一方面，參考文獻[25]對與主竊信道相關條件下人工噪聲輔助的波束成形進行了研究。與已有的人工噪聲輔助的波束成形方案相比，本文把信道的相關性當作一種有用的信息資源，基于該信息資源人工噪聲分布得到進一步優(yōu)化。在參考文獻[26]中，合法接收者利用全雙工的方式產生人工噪聲干擾竊聽者的信號接收。通過全雙工發(fā)射人工噪聲這種方式，相關主竊信道下的保密性能得以大幅度的提高。在參考文獻[27]中，多個合作干擾者被使用，通過發(fā)射人工噪聲來干擾竊聽者的信號接收，從而降低了主竊信道之間相關性造成的不利影響。

本文研究主竊信道相關情形下，基于相關性的合作干擾保密傳輸方法，用以提升保密中斷概率約束下的保密速率。雖然已有很多參考文獻[7-10]對基于合作干擾的保密傳輸方法進行了研究，但是這些研究并不針對主竊信道相關的情況，因此通信系統(tǒng)的保密性能仍可以通過優(yōu)化進行提升。本文針對主竊信道相關的情形，優(yōu)化設計基于相關性的合作干擾輔助的波束成形，旨在最大化保密中斷概率約束下的保密速率。

2 相關 MISO 竊聽信道下的合作干擾模型

相關多輸入單輸出（multiple input single output，MISO）竊聽信道下采用合作干擾的網絡模型如圖1所示，其中發(fā)射端（Alice）配備N根發(fā)射天線，合法接收者（Bob）以及K個非串通的竊聽者（Eve）均配備單根天線，合作干擾者（Jammer）配備L根發(fā)射天線。為了增強網絡的安全性，Jammer產生人工噪聲用以干擾Eve處的信號接收，從而達到擴大Bob和Eve處信號接收質量差距的目的。本模型假定 Alice能夠獲得完整的合法信道（從Alice或Jammer到Bob的信道）的信道狀態(tài)信息（channel state information，CSI），以及Alice和Jammer二者均能夠獲得竊聽信道（從Alice或Jammer到Eve的信道）的統(tǒng)計CSI。另外，本模型也假定Alice處的發(fā)射天線信道相互獨立，而合法信道與竊聽信道之間存在一定的相關性。換句話說，從Alice或Jammer處的不同發(fā)射天線到單天線接收者（本模型中指Bob或Eve）的子信道相互獨立，而從 Alice或Jammer 處的同一根發(fā)射天線到Bob和Eve處的任意子信道對之間存在相關性。

圖1 相關 MISO 竊聽信道下的合作干擾模型

hd∈CN×1、hk∈CN×1、gd∈CL×1和gk∈CL×1，(k∈ K ? {1,2,…,K})，分別指Alice到Bob、Alice到Eve、Jammer到Bob和Jammer到Eve的信道矢量?；趨⒖嘉墨I[28]，可知相關MISO竊聽信道下的合作干擾模型可以表示為：

其中，

在式（3）～式（6）中，αd、αk、βd和βk分別代表hd、hk、gd和gk的信道增益方差。對角矩陣Pk、Θk、Qk和Φk分別指從Alice到Bob和Eve的信道相關矩陣，從Alice到Bob和Eve的信道相位補償矩陣，從Jammer到Bob和Eve的信道相關矩陣，以及從Jammer到Bob和Eve的信道相位補償矩陣。并且，zh,k～CN (0,IN)和zg,k～CN (0,IL)分別為高斯白噪聲矢量，假定其均值為零，協(xié)方差矩陣為單位矩陣。不難發(fā)現，hk的協(xié)方差矩陣為，gk的協(xié)方差矩陣為。另外，也假定和二者也可以通過估計獲得。

3 保密速率最大化問題

當Alice發(fā)射承載保密信息的信號x∈CN×1，且Jammer發(fā)射人工噪聲v∈CL×1時，在Bob與第k個Eve處的接收信號分別為：

其中，nd～CN (0,1)和nk～CN (0,1)分別為Bob和第k個Eve處的零均值單位方差復高斯白噪聲。w指數據符號s～ CN (0,1)的波束成形器，為人工噪聲矢量的協(xié)方差矩陣。因此，在Bob和第k個Eve處的信干噪比為：

于是可知通信系統(tǒng)的保密容量為：

保密中斷概率常用來評估通信系統(tǒng)慢衰落信道的保密性能，其定義為：

其中，Rs指目標保密速率。不難看出，保密中斷概率描述了相干時間間隔內保密容量小于目標保密速率的概率。本文的目標是在保密中斷概率約束下最大化目標保密速率，該問題可以表述為如下數學表達式：

其中，Ps代表Alice的發(fā)射功率，Pj代表Jammer的發(fā)射功率,ε∈ (0,1)為通信系統(tǒng)所設定的保密中斷概率。

4 保密速率最大化問題求解

為了獲得非凸優(yōu)化問題（13）的可行解，本文使用半正定松弛方法將該問題提升到更高維度。具體地，定義。因為rank(W)=1,W0等價于W=wwH，所以非凸優(yōu)化問題（13）轉化為：

忽略秩約束條件rank(W)=1，該優(yōu)化問題可以松弛為：

該優(yōu)化問題的難點在于概率約束條件，為了求解該問題，需要將其轉換成確定的形式。具體地，該概率約束條件可以重寫為：

關系式成立，所以可以通過求解如下優(yōu)化問題（18）來獲得優(yōu)化問題（15）的可行解。

不難發(fā)現，滿足優(yōu)化問題（18）的解一定是優(yōu)化問題（15）的解。也就是說，通過求解優(yōu)化問題（18）可以獲得優(yōu)化問題（15）的一組次優(yōu)解。盡管很難獲得優(yōu)化問題（18）概率約束條件的閉合表達式，但是使用兩種方法，即范數邊界法和伯恩不等式法，能夠將其近似地轉化成確定的形式，進而獲得該優(yōu)化問題的一組近似解。

4.1 范數邊界法

范數邊界法的主要思想是，將涉及高斯信道不確定的概率約束條件轉化為具有范數邊界的約束條件，從而形成一個有界變量的優(yōu)化問題求解。根據本文中相關 MISO 竊聽信道下的合作干擾模型，作為隨機部分是一個均值為零的復高斯矢量，其協(xié)方差矩陣為。所以，位于具有2N維度橢球內的概率為：

其中：

hk代表橢球不確定區(qū)域的大小。是具有2N自由度標準差為1的χ2隨機分布的累積概率密度的反函數。采用類似方法也可知，位于具有2L維度橢球內的概率為：

其中：

gk指橢球不確定區(qū)域的大小。是具有2L自由度標準差為1的χ2隨機分布的累積概率密度的反函數?；诖?，可得：

于是，優(yōu)化問題（18）可以轉化為：

引入松弛變量β，可得：

令W=Q/ξ,V=S/ξ,ξ＞0，于是可得：

注意在優(yōu)化問題（26）中，約束條件ξ＞ 0被替換成了ξ≥ 0。需要指出的是，這種替換不會影響問題的求解結果。這是因為，變量ξ在該優(yōu)化問題中一定為正（否則Q=S=0）。由于log函數是一個單調增函數，因此可得：

應用S-procedure[30]，可得

其中，λi≥ 0,λr≥ 0,i,r∈K是松弛變量。當β固定時，該優(yōu)化問題是一個半正定規(guī)劃問題。因此，該優(yōu)化問題的最佳解和能夠通過聯合使用半正定規(guī)劃和對β的一維線性搜索求出?；趨⒖嘉墨I[31]，β的線性搜索的區(qū)間為。于是，優(yōu)化問題（18）的一組次最優(yōu)解可以通過和求出。

4.2 伯恩不等式法

伯恩不等式法也能夠將優(yōu)化問題（18）中的概率約束條件轉化成確定的形式。具體地，該優(yōu)化問題的概率約束條件通過引入中間變量Γe，可得：

其中：

根據本文建立的相關 MISO 竊聽信道下的合作干擾模型，竊聽信道hk由兩部分組成：確定的部分和統(tǒng)計的部分。同時，竊聽信道gk也由確定的部分和統(tǒng)計的部分組成。于是可得：

令：

于是，式（32）可以簡化為：

根據參考文獻[32]，涉及矩陣高斯變量二次型的概率不等式能夠得到其尾部概率的邊界?；诖?，概率約束條件（37）可以轉化為：

其中，σk=-ln(εk)。換句話說，如果式（38）成立，那么概率約束條件式（37）也一定成立。于是，優(yōu)化問題（18）可以保守地轉化為：

該優(yōu)化問題等價于：

其中，μk和νk為松弛變量。由于ck與變量Γe有關，所以該優(yōu)化問題是非凸的。幸運地是，該優(yōu)化問題可以通過Charnes-Cooper變換和變量替換轉化成一個半正定規(guī)劃問題[29]。具體地，令并考慮到可得：

盡管該優(yōu)化問題仍然是一個非凸的問題，但是當Γe固定時，該問題確實是一個半正定規(guī)劃問題。因此，該優(yōu)化問題能夠通過聯合使用半正定規(guī)劃和對Γe的一維線性搜索求出。基于參考文獻[33]，對Γe的一維線性搜索的區(qū)間是。注意：在該優(yōu)化問題中，約束條件ξ＞ 0被替換成了ξ≥ 0，并且這種替換不影響其結果。這是因為，變量ξ在該優(yōu)化問題中一定為正，否則Q=S=0?；趦?yōu)化問題（41）的解Q*和S*，可得優(yōu)化問題（18）的次優(yōu)解W*和V*。

5 波束成形矢量的恢復

通過上述的范數邊界法和伯恩不等式法，能夠求出優(yōu)化問題（18）的一組次最優(yōu)解W*和V* 。由于求解過程進行了秩松弛，所以不能確保獲得的W*是秩為 1的復厄密特矩陣。如果矩陣W*是秩為 1 的復厄密特矩陣，則能夠通過奇異值分解求出波束成形矢量w*，作為原始優(yōu)化問題（13）的近似解。如果W* 不是秩為 1 的復厄密特矩陣，則能夠通過隨機高斯方法[33]，從W*恢復一個近似的波束成形矢量w*。

6 復雜度分析

當采用范數邊界法通過內點法對優(yōu)化問題（29） 進行求解時，對于固定的β，在精度為∈1限制下，需要的迭代次數的階數為每次迭代的計算復雜度階數為，其中，。另外，對β的一維線性搜索的復雜度為，其中，∈2指搜索精度。綜上，優(yōu)化問題（29）求解的總復雜度為。

當采用伯恩不等式法通過內點法對優(yōu)化問題（41）進行求解時，對于固定的Γe，在精度為限制下，需要的迭代次數的階數為每次迭代的計算復雜度階數為其中。另外，對β的一維線性搜索的復雜度為其中，∈4指搜索精度。綜上，優(yōu)化問題（41）求解的總復雜度為C5×C6。

7 仿真結果與分析

本節(jié)通過仿真評估采用的基于相關性的合作干擾方案獲得保密性能，包括信道功率相關系數期望值、保密中斷概率、信源和合作干擾節(jié)點的發(fā)射功率以及竊聽節(jié)點數量對保密性能影響。為了更加容易地看出性能增益，本節(jié)也對傳統(tǒng)的合作干擾方法（波束成形矢量與主信道方向一致，人工噪聲均勻散布在從Jammer到Bob信道的零空間）進行了仿真。本文使用ρ表示合法信道與竊聽信道的功率相關系數的期望值，同時假設合法信道和竊聽信道的各對子信道之間的功率相關系數服從均勻分布且從[ρ- 0.1,ρ+ 0.1]中抽樣產生。另外，主信道的增益方差設置為1。由于從Alice到各個Eve的距離不同，同時考慮到Eve潛伏在Bob附近，因此，假定竊聽信道方差為，且αk服從均勻分布并從+ 0.05]中抽樣產生。合法干擾信道增益方差設置為2。由于從Jammer到各個Eve的距離不同，同時考慮到Eve潛伏在Bob附近，因此，假定竊聽信道方差為，且βk服從均勻分布并從[βd- 0.1,βd+ 0.1]中抽樣產生。本文在仿真途中使用“傳統(tǒng)、范數和伯恩”分別指傳統(tǒng)波束成形方法、范數邊界法、伯恩不等式法；N和M分別指Alice和Eve配有的天線數。

功率相關系數期望值與可實現的保密速率的關系如圖2所示，本文對功率相關系數期望值ρ和可實現的保密速率Rs的關系進行了仿真。仿真中，一些參數設置如下：ε= 0.15，Ps= 15 dBW，Pj= 10 dBW，L= 4，K= 2。圖2顯示Rs的變化依賴于ρ?？梢钥闯?，傳統(tǒng)波束成形方法的Rs隨ρ的增加迅速下降。這主要是因為，主竊信道之間的相關性會損害通信系統(tǒng)的保密性。在仿真圖中，范數邊界法和伯恩不等式法的Rs隨ρ的增加而提高，并且ρ較大時Rs增長速度更快。其原因是，當ρ較低時，竊聽信道的隨機部分所占部分過大，這導致從概率約束條件到其確定形式的轉化不夠保守。圖2也顯示相比傳統(tǒng)波束成形方法，當ρ較高時范數邊界法和伯恩不等式法實現了更高的Rs。這是因為，主竊信道之間的高相關性暗示了更多竊聽信道的信道狀態(tài)信息，這使得優(yōu)化合作干擾設計更加有效。同時也看到，當Alice具有更多發(fā)射天線時，Rs增長十分明顯。其原因是，通過提升空間自由度，能夠有效地擴大 Bob和Eve處接收信號的質量差距。通過比較，可以發(fā)現，當Alice具有更多發(fā)射天線時，范數邊界法和伯恩不等式法的優(yōu)勢相比傳統(tǒng)波束成形方法更加明顯。

圖2 功率相關系數期望值與可實現的保密速率的關系

保密中斷概率與可實現的保密速率的關系如圖3所示，呈現了保密中斷概率ε與可實現的保密速率Rs的仿真關系。仿真中，一些參數設置如下：ρ= 0.7，Ps= 15 dBW，Pj= 10 dBW，L= 4，K= 2。圖3顯示ε的增加會引起Rs的增加，這與已有的通信知識一致。另外，圖3與圖2所得的結論一致，當Alice具有更多發(fā)射天線時，范數邊界法和伯恩不等式法能夠取得更好的性能。

圖3 保密中斷概率與可實現的保密速率的關系

Eve的數量K與可實現的保密速率Rs的仿真關系如圖4所示。仿真中，一些參數設置如下：ρ=0.7，Ps=15 dBW，Pj=10 dBW，L=4，ε= 0.15。 從圖4中，很容易發(fā)現對于所有曲線，K的增加會導致Rs快速下降，但下降速度會逐漸變慢。圖4的仿真結果顯示Eve的數量K的增加會有損通信的保密性能。其原因是，隨著Eve的數量K的增加，有一個較好條件的竊聽信道概率會增加。另外，圖4的仿真結果再次證實，Alice具有更多發(fā)射天線對于范數邊界法和伯恩不等式法而言更加有利。

綜合來看圖2至圖4，范數邊界法一般要優(yōu)于伯恩不等式法和傳統(tǒng)的合作干擾方法。并且，這些方法獲得的性能增益取決于功率相關系數期望值、保密中斷概率和Eve數量的具體取值。究其原因是，范數邊界法和伯恩不等式法是通過近似手段將概率約束條件轉化成確定形式的，而其近似程度與上述變量的取值密切相關。

圖4 Eve 的數量與可實現的保密速率的關系

8 結束語

本文針對采用合作干擾的相關MISO竊聽信道，提出了一種基于相關性的合作干擾方案，能夠在一定條件下提升在保密中斷概率約束下的保密速率。首先，建立了相關MISO竊聽信道下的合作干擾模型，并形成一個在保密中斷概率約束下的保密速率最大化問題。為了求解該問題，采用范數邊界法和伯恩不等式法將概率約束條件近似保守地轉化成確定的形式，進而將該優(yōu)化問題轉化為一個凸優(yōu)化問題并獲得了波束成形矢量和人工噪聲協(xié)方差的一組近似解。根據仿真結果，在主竊信道相關性較高時，提出的基于相關性的合作干擾方案相比傳統(tǒng)方案，能夠獲得較高保密速率增益。并且，提出的合作干擾方案在發(fā)射者具有更多天線時優(yōu)勢更加明顯。