基于有限元法帶邊型聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙研究

鄧微，陳曉宏

（廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣州 510430）

0 引言

聲子晶體[1]可分為Bragg和局域共振聲子晶體兩種不同結(jié)構(gòu)形式，通過局域共振結(jié)構(gòu)帶隙產(chǎn)生的機(jī)理分析，在有限的空間里，只有用小于波長兩個數(shù)量級的周期性結(jié)構(gòu)才能在低頻段產(chǎn)生帶隙，即“小尺寸控制大波長”。本文通過在單層板上敷設(shè)等效“質(zhì)量-彈簧”的局域共振子，獲取較低的帶隙起始頻率和較寬的帶隙絕對寬度，從而實(shí)現(xiàn)對500 Hz下的低頻振動及噪聲進(jìn)行減振降噪控制。

1 帶邊型局域共振模型及材料參數(shù)

為研究單層板上添加局域共振子對低頻振動特性的影響，建立合適的單板板附加共振子模型結(jié)構(gòu)，如圖1所示,其中晶格常數(shù)邊長a=0.2 m，厚h為0.0025 m，軟體層（橡膠阻尼塊）A半徑r2=0.05 m,厚度a2為0.01 m，具體參數(shù)如表1所示。圖1是kx、ky方向完全對稱的正方晶格，周期結(jié)構(gòu)的第一和不可約布里淵區(qū)可用（如圖2陰影部分）表示。

圖1 帶邊型模型

圖2 正方晶格

表1 局域振子材料

2 彈性波帶隙計算

選擇有限元法[2]對聲子晶體的帶隙特性進(jìn)行研究。對聲子晶體原胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)設(shè)置、網(wǎng)格劃分施加相應(yīng)邊界條件對結(jié)構(gòu)進(jìn)行后處理，就能得到特征頻率和波矢之間的能帶關(guān)系圖。

2.1 有限元法及Bloch原理

對二維周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元法求解，特征值方程為

式中：K、M分別為周期共振子結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量矩陣；U為原胞結(jié)構(gòu)的特征向量；ω為角頻率。

根據(jù)布洛赫（Bloch）定理[3]，沿x、y二維方向周期性結(jié)構(gòu)位移場方程為

式中：K′、M′分別為二維周期共振子結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量矩陣；μ為波矢；μx、μy滿足x、y二維方向周期性條件。

2.2 有限元法能帶計算

利用有限元法沿x、y方向?qū)Σㄊ福╧）布里淵區(qū)邊界進(jìn)行周期性掃描，選擇Floquet周期性邊界條件，在（-π/a,π/a）范圍進(jìn)行掃描。選取前10階特征頻率進(jìn)行分析，可得到沿x、y方向周期性方向的能帶結(jié)構(gòu)圖（如圖3）和高對稱點(diǎn)圖（如圖4）。

圖3 二維聲子結(jié)構(gòu)能帶結(jié)構(gòu)圖

圖4 能帶結(jié)構(gòu)圖的高對稱點(diǎn)

在能帶結(jié)構(gòu)圖中的高對稱點(diǎn)（A～F）進(jìn)行標(biāo)記，并結(jié)合原胞的振動模態(tài)逐一分析其位移振型。

分析圖3，存在三條平直模式能帶、一段完全帶隙及一個區(qū)域的方向帶隙。分析單振子位移振型圖,如圖5（a）～圖5（f）,在A點(diǎn)模態(tài)39 Hz附近，在局域共振子內(nèi)部形成一個旋轉(zhuǎn)模態(tài)，振子中心形成一個繞z軸呈渦輪狀的體位移，由于共振子未能與基體板件中的能量波進(jìn)行耦合作用，色散能帶上所有的能量均能在板內(nèi)進(jìn)行自由傳播從而形成通帶。在B、C點(diǎn)99 Hz附近，共振子和基板內(nèi)的lamb波相互作用，使縱向平面內(nèi)平移模態(tài)產(chǎn)生的水平剪切波和面外橫向模態(tài)產(chǎn)生的彎曲波相互作用形成一個剪切模態(tài)抑制z方向的扭轉(zhuǎn)模態(tài)振動，致使質(zhì)量塊（B）沿垂直方向產(chǎn)生剪切形變，產(chǎn)生z方向的垂向力分量給基體板，同樣此時的軟體層（A）橡膠阻尼起剛度彈簧的作用產(chǎn)生諧振從而打開禁帶形成帶隙的下邊界。在D點(diǎn)180 Hz頻率處，質(zhì)量體（B）沿垂直方向施加給基板產(chǎn)生一個垂向力抑制局域聲子板中的彎曲波橫向彎曲振動，引起共振子和基體板件之間反相振動，此時產(chǎn)生的垂向力致軟體層橡膠阻尼等效為受壓的彈簧裝置，產(chǎn)生形變消耗彎曲波的內(nèi)部能量，截斷帶隙形成上邊界，故在99～180 Hz范圍內(nèi)形成完全帶隙，絕對帶寬為81 Hz，如圖3在此頻率范圍內(nèi)存在完全帶隙。而在180～240 Hz之間大部分區(qū)域未出現(xiàn)本征頻率，稱之為方向帶隙，同樣在E點(diǎn)的產(chǎn)生一個z方向的垂向力，也能對面外模態(tài)的彎曲波進(jìn)行抑制。

圖5 高對稱點(diǎn)的振型圖

3 帶邊形局域共振帶隙優(yōu)化研究

3.1 尺寸因素對單振子帶隙的影響

3.1.1 晶格尺寸（a）對單振子帶隙的影響

設(shè)置步長為0.025 m的晶格尺寸0.150、0.175、0.200、0.225 m進(jìn)行分析，改變其結(jié)構(gòu)參數(shù)，基體板厚度發(fā)生相應(yīng)變化，但總質(zhì)量維持不變，如表2所示。

表2 試件模型參數(shù)

分析圖6，根據(jù)帶隙形成原理分析，帶隙下邊界起始頻率和共振子的固有頻率相近，由于基體板和共振子的質(zhì)量不變，故下邊界起始頻率維持不變。當(dāng)基體板的晶格常數(shù)（a）變大時，共振子在基體板的接觸面填充率變小，上邊界的終止頻率從200 Hz向140 Hz低頻方向移動且隨邊長的增長而逐漸減小，禁帶絕對寬度變窄。

圖6 F-1600型三缸單作用泥漿泵流量曲線

圖6 晶格常數(shù)（a）改變對帶隙影響

3.1.2 質(zhì)量塊B半徑（r1）對單振子帶隙的影響

為探究質(zhì)量塊B半徑（r1）對其第一帶隙的影響，選取步長0.01 m，r1半徑分別設(shè)置為0.04、0.05、0.06、0.07 m尺寸，局域共振子的總質(zhì)量恒定，其厚度發(fā)生改變，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示。

表3 試件模型參數(shù)

由圖7知，當(dāng)質(zhì)量塊B半徑r1從0.05 m減至0.04 m時，帶隙下邊界往低頻方向移動至90 Hz處,此時禁帶上邊界為155 Hz，完全帶寬縮至65 Hz。當(dāng)散射體B半徑r1從0.05 m增至0.07 m時，起始頻率從100 Hz往低頻拓展至72 Hz,而帶隙截止頻率保持不變，完全帶隙寬度達(dá)到了102 Hz,在軟體層半徑和厚度不變的情形下，散色體質(zhì)量塊B的半徑增大對生成帶隙的下邊界有很好的拓寬。散射體B的半徑在0.04～0.07 m的范圍內(nèi)，帶隙起始頻率先往高頻移動，然后往低頻拓寬，帶隙寬度逐漸增大。其中0.05～0.07 m半徑下截止頻率保持不變。

圖7 質(zhì)量塊B半徑改變對帶隙影響

3.1.3 軟體層A半徑（r2）對單振子帶隙的影響

為探究軟體層A半徑（r2）對其第一帶隙的影響，選取步長0.01 m，r2半徑分別設(shè)置為0.04、0.05、0.06、0.07 m尺寸，其總質(zhì)量維持不變，而對應(yīng)的厚度發(fā)生改變，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示。

表4 試件模型參數(shù)

如圖8所示，軟體層A半徑為0.04 m時其起始頻率為48 Hz,截止頻率為102 Hz。隨著r2的增大，起始頻率從95 Hz單調(diào)上升增至175 Hz,截止頻率從182 Hz升至248 Hz。r2從0.04 m增至0.05 m時，其帶隙寬度拓寬增幅較0.06、0.07 m要大。從r2增大時，其在基體板水平方向往四周進(jìn)行了擴(kuò)寬，相當(dāng)于對“彈簧”進(jìn)行并聯(lián)處理。減小厚度相當(dāng)于縮小對“彈簧”的串聯(lián)，致使共振子等效剛度增大。根據(jù)帶邊型共振帶隙形成機(jī)理，剛度降低使帶隙下邊界向高頻延伸，共振子與基體板之間的振動耦合作用增強(qiáng)，絕對帶隙寬度呈拓寬的趨勢。

圖8 軟體層A半徑改變對帶隙影響

圖8 軟體層A半徑改變對帶隙影響

3.2 材料因素對帶隙的影響

3.2.1 軟體層A彈性模量對單振子帶隙的影響

為探究軟體層A彈性模量對其第一帶隙的影響，僅改變軟體層A的彈性模量分別設(shè)置為0.1E、E、5E、10E，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，如表5所示。

表5 軟體層A彈性模量改變

如圖9，設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)彈性模量的0.1倍時（E1）時，其帶隙下邊界、帶隙上邊界分別為33、62 Hz，帶隙寬度僅有29 Hz。究其原因在共振子質(zhì)量不變時，等效剛度與振子的固有頻率成正比關(guān)系,當(dāng)彈簧等效剛度減小時相應(yīng)的固有頻率也降低。當(dāng)彈性模量降低時，使局域共振子變“軟”，其與基體板的耦合作用減弱，從而帶隙的起始頻率降低，帶隙寬度變窄。反之當(dāng)彈性模量增大5倍（E3）、10倍（E4）時，軟體層A的彈性系數(shù)相應(yīng)減小，共振子的等效剛度變大，共振子和基體板兩者之間的耦合作用增強(qiáng)，帶隙移至高頻，帶隙寬度拓寬。

圖9 軟體層A彈性模量改變對帶隙影響

3.2.2 散射體質(zhì)量塊B材料密度對單振子帶隙的影響

為探究散射體質(zhì)量塊B密度對其第一帶隙的影響，根據(jù)密度的大小依次選取鋁、鋼（標(biāo)準(zhǔn)）、銅、鉛等材料，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，如表6所示。

表6 局域振子不同材料質(zhì)量塊B

分析圖10,當(dāng)質(zhì)量塊為鋁件時，共振子的附加質(zhì)量相比原試件降低,根據(jù)等效質(zhì)量和固有頻率之間反比的關(guān)系，帶隙起始頻率移向高頻段。選用鉛質(zhì)量塊時，由于質(zhì)量塊密度增加，在等效質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)中質(zhì)量比增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率降低，帶隙的起始頻率也降低，同時共振子和基體板中間的耦合作用增強(qiáng)，拓寬帶隙寬度，但缺點(diǎn)是附加的質(zhì)量增大。

4 結(jié)論

本文運(yùn)用參數(shù)化設(shè)計在單層板上敷設(shè)局域共振子的聲子晶體結(jié)構(gòu)，分析其結(jié)構(gòu)特性，利用有限元方法仿真得到500 Hz以下頻率的的帶隙分布情況。分析并優(yōu)化各組成部分的結(jié)構(gòu)尺寸和材料因素對帶隙形成的影響。通過分析，可以將此研究結(jié)論運(yùn)用于鐵道車輛等載運(yùn)設(shè)備的外殼或者地板結(jié)構(gòu)，起到減振隔聲的作用。