橋梁墩臺放樣坐標(biāo)計算模板的設(shè)計

王福喜

中鐵一局集團有限公司廣州分公司 廣東 廣州 511430

1 、概述

在鐵路工程建設(shè)的施工階段，需要進行海量的測量計算。以城際雙線鐵路橋梁施工為例，線下工程施工前需要計算樁基、承臺、墩身、墊石、支座中心等放樣坐標(biāo)，形成文檔，經(jīng)施工方測量負(fù)責(zé)人、項目總工簽字確認(rèn)后，一式數(shù)份報送監(jiān)理工程師審核、簽認(rèn)；監(jiān)理站的測量工程師在進行上述資料的簽字前，也要進行計算復(fù)核并形成相應(yīng)的監(jiān)理文件，以備業(yè)主（工程建設(shè)指揮部）對測量監(jiān)理工程師進行履職考核、監(jiān)理信譽評價時使用。進行上述坐標(biāo)計算的計算工具種類繁多，在鐵路、公路施工測量施工現(xiàn)場有很多用戶使用Casio Fx 9750GII，Casio Fx 9860GII SD 進行計算，目前其升級版為Casio Fx 9860GIII。Casio Fx 9860GII SD 的內(nèi)存61K+1.5MB, 而Casio Fx9860GIII的內(nèi)存為61K+3MB。CASIO FX 系列可編程計算器的優(yōu)點是體積小，便于攜帶，易于編程，特別適合于施工現(xiàn)場應(yīng)用；例如，Casio Fx 9860GII SD 計算器系列計算器，具有64K閃存，其中可供用戶使用的內(nèi)存容量為62K；內(nèi)置6個串列文件（相當(dāng)于列數(shù)組文件）File1～File6,每個串列文件有26個串列（串列相當(dāng)于26個一維列數(shù)組）每個串列單元均可存貯復(fù)數(shù)；使用類BASIC結(jié)構(gòu)化程序語言，并可與計算機進行通信。覃輝教授專門編寫的可在Casio Fx 9750GII 、Casio Fx 9860GII SD上運行、適用于公路、鐵路測量計算的軟件Q2V8和Q2X8，在公路、鐵路工程的測量人員中擁有大量用戶。使用Q2V8和Q2X8進行鐵路橋梁放樣坐標(biāo)的計算，確實很方便和實用，但計算的結(jié)果如何導(dǎo)入到計算機中去，以便形成文件進行貯存、打印、歸檔等方面，存在一些問題。理論上講，Casio Fx 9750GII 、Casio Fx 9860GII SD 計算器是可以通過FA-124軟件與計算機進行通信的，但FA-124軟件只能裝在WINDOW XP操作系統(tǒng)下；覃輝教授對自己針對Casio Fx 9750GII 、Casio Fx 9860GII SD開發(fā)的部分程序（并非全部程序），如Q2V8附有成果整理程序H2X8，但這些整理程序，只能運行在WINDOWS 98、WINDOWS XP、WINDOWS 7 /32Bit 版的操作系統(tǒng)下，對于沒有在自己的計算機上安裝有上述操作系統(tǒng)的用戶，有諸多不便；對于用戶自己開發(fā)的Casio Fx 9750GII 、Casio Fx 9860GII SD 程序，其計算結(jié)果要么要手工輸入到計算機形成文檔，要么得自己開發(fā)整理程序；用手工輸入，不但效率低，而且易于出錯；對大部分用戶而言，沒有實力自己開發(fā)成果整理程序。利用筆者設(shè)計的MS EXCEL計算模板進行有關(guān)的計算，可極大地提高了工作效率。

2 、橋梁EXCEL坐標(biāo)計算模板的設(shè)計的預(yù)備知識復(fù)習(xí)

為了敘述完整起見，在進行介紹之前，先復(fù)習(xí)一下相關(guān)的知識。

2.1 復(fù)數(shù)的知識

復(fù)數(shù)Z被定義為二元有序?qū)崝?shù)對(a,b)，記為z=a+bi,這里a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，且（a，b是任意實數(shù)）。

在復(fù)數(shù)a+bi中，a=Re(z)稱為實部，b=Im(z)稱為虛部。當(dāng)虛部等于零時，這個復(fù)數(shù)可以視為實數(shù)；當(dāng)z的虛部不等于零時，實部等于零時，常稱z為純虛數(shù)。

在一個平面上建立直角坐標(biāo)系--測量坐標(biāo)系。工程上通常采用的是高斯-克呂格平面直角坐標(biāo)系,縱坐標(biāo)軸為x軸，X軸與中央子午線平行，并規(guī)定向北（向上）為正方向；赤道是橫坐標(biāo)軸，為Y軸，并規(guī)定向東（向右）為正方向；兩軸的交點為坐標(biāo)原點。角度從縱坐標(biāo)軸（X軸）的正向開始按順時針方向量取，象限也按順時針編號。高斯-克呂格平面直角坐標(biāo)系屬于左手坐標(biāo)系。在其上建立了高斯-克呂格直角坐標(biāo)系的平面稱為復(fù)平面（也稱為高斯平面），這時X軸叫做實軸，Y軸除去原點的部分叫做虛軸，原點表示實數(shù)0。復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)，反過來，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)，所以復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)的。在復(fù)平面上，點P可看成由原點O到P的徑矢（復(fù)數(shù)實質(zhì)上就是矢量），所以復(fù)數(shù)的運算規(guī)則與矢量（向量）的規(guī)則相同。

將復(fù)數(shù)的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該復(fù)數(shù)的模，記作 Abs （Z）=∣z∣.

即對于復(fù)數(shù)，它的模

根據(jù)極坐標(biāo)與三角函數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)z可以寫成。r是z的模，即r = |z|; θ是z的輻角，記作： Arg（z）。在0到2π間的輻角稱為輻角主值，記作：arg（z）。任意一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數(shù)倍。把適合于-π≤θ<π的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作argz。輻角的主值是唯一的。在測量坐標(biāo)系中，幅角從X軸的正向起算，順時針方向為正，反之為負(fù)。設(shè)復(fù)數(shù)Z的幅角為θ，其對應(yīng)的向量的坐標(biāo)方位角為A，則復(fù)數(shù)的幅角與測量上的坐標(biāo)方位角的關(guān)系為：如果幅角θ>0，arg z=θ=A，如果arg z<0,則θ+360=A。

復(fù)數(shù)的加法規(guī)則：兩個復(fù)數(shù)相加的和為一復(fù)數(shù)，是將兩復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相加。

復(fù)數(shù)的乘法規(guī)則：兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)，積的模為被乘數(shù)的模與乘數(shù)的模的積，幅角為乘數(shù)幅角與被乘數(shù)幅角之和。其中一個復(fù)數(shù)的模為1（即當(dāng)一個向量為幺矢）時，那么兩復(fù)數(shù)相乘等同于平面直角坐標(biāo)變換的旋轉(zhuǎn)變換。

2.2 臨時坐標(biāo)系的選擇和計算步驟

設(shè)原坐標(biāo)系為O-XY，臨時坐標(biāo)系為O'-X'Y'的X'軸為切線方位角同向，Y'軸取由切線方向順時針轉(zhuǎn)90度的方向，與測量上的高斯坐標(biāo)系同為左手坐標(biāo)系，O'點在O-XY坐標(biāo)系的復(fù)數(shù)坐標(biāo)為K(=X0+Y0i)，X'軸在O-XY中的坐標(biāo)方位角為J，點Z在O'-X'Y'中為（X'+Y'i），那么Z點在O-XY中的坐標(biāo)可通過直角坐標(biāo)變換的平移和旋轉(zhuǎn)求得，可簡潔地用公式表示為：

計算承臺角點或樁基中心在臨時坐標(biāo)系為O'-X'Y'中的坐標(biāo)十分簡單明了，心算即可，通過上式進行簡單的平移和旋轉(zhuǎn)變換，即可得到所要的放樣坐標(biāo)。

2.3 EXCEL工作表（WorkSheet）中復(fù)數(shù)公式的簡介

EXCEL 2007版本所使用的復(fù)數(shù)運算函數(shù)，可通過依次點擊菜單欄中“開發(fā)函數(shù)”、“公式”“其它函數(shù)”“工程”調(diào)用。

將兩實數(shù)組合成復(fù)數(shù)坐標(biāo)：COMPLEX(real_num，i_num) 其中real_num用于設(shè)置復(fù)數(shù)的實部；i_num用于設(shè)置復(fù)數(shù)的虛部。

求兩復(fù)數(shù)相加的和：IMSUM(inumber1,inumber2)

求兩復(fù)數(shù)的積：IMPRODUCT(inumber1,inumber2)

求某復(fù)數(shù)的幅角：IMARGUMENT(inumber)'返回以弧度表示的幅角值：如為正值，則為其坐標(biāo)方位角；若為負(fù)，需加上（2π）才是其坐標(biāo)方位角。

求某復(fù)數(shù)的模：IMABS(inumber)

從復(fù)數(shù)坐標(biāo)中提取實部（比如X坐標(biāo)）：IMREAL（inumber）從復(fù)數(shù)坐標(biāo)中提取虛部（比如Y坐標(biāo)）：IMAGINARY(inumber)

在上述函數(shù)的參數(shù)中，inumber，inumber1,inumber2均表示復(fù)數(shù)參數(shù)。

3 、EXCEL 直線橋梁墩臺坐標(biāo)計算模板設(shè)計示例

某客貨共線雙線鐵路某大橋位于直線上，需要計算某墩的樁基中心以及四個承臺角點的施工放樣坐標(biāo)。 已知橋梁小里程方向直線上某點的里程為DK187+400，其已知坐標(biāo)為（7654.8329,8673.7083），坐標(biāo)方位角為135°13′49″。該墩的承臺及樁基的尺寸如圖1所示。值得注意的是，在EXCEL中，角度的單位是弧度，而測量人員日常習(xí)慣用60盡職的度分秒表示，比如起始方位角135°13′49″，在計算前需要設(shè)計一個公式將其換算成弧度。例如將上述角度在C3輸入為：135.1349。在D3單元格中輸入公式“= RADI ANS(INT(C3)+INT(MOD(C3,1)*100)/60+MOD(C3*100,1)/36) 可把該角值化為相應(yīng)的弧度值。通過拖弋功能把C4的法向方位角變換為弧度值存入D4。

3.1 起始數(shù)據(jù)和臨時坐標(biāo)的輸入

新建一個工作部，在第一個工作表（Sheet 1）設(shè)計EXCEL計算模板的步驟如下：各特征點性質(zhì)的研究，在本文中，選擇每個墩的承臺中心為臨時坐標(biāo)系的原點K，其X'軸的正向為墩的粱縫分界線處的切線方位角，并與Y'軸構(gòu)成左手坐標(biāo)系K-X'Y'，如圖1所示。這樣選定的坐標(biāo)系的好處在于，各樁基中心以及承臺角點在左手坐標(biāo)系K-X'Y'的臨時坐標(biāo)十分直觀、明了，幾乎不用計算即可確定。例如，在圖1中，8根樁基和承臺4個角點的臨時坐標(biāo)很有規(guī)律性，非常直觀，不易出錯。

打開EXCEL工作表，并輸入已知數(shù)據(jù)、各特征點的臨時坐標(biāo)，將臨時坐標(biāo)用復(fù)數(shù)坐標(biāo)表示。注意直線在單元格C3、C4中輸入的方位角的格式。

其中承臺角點的臨時坐標(biāo)可根據(jù)承臺尺寸在表格中完成，比如分別在C23、D24單元格輸入公式“=-C8/2”和“=-C7/2”即得角點A的臨時坐標(biāo)。余類推。

3.2 預(yù)計算 這些計算包括

3.2.1 中樁坐標(biāo)、承臺中心坐標(biāo)、幺矢坐標(biāo)分量的計算

根據(jù)起點里程、墩臺粱縫分界線里程（這時要注意設(shè)計圖中該墩有無縱向預(yù)偏心）、切向坐標(biāo)方位角和法向坐標(biāo)方位角的弧度值、線間距以及承臺尺寸，在相關(guān)的單元格中輸入相應(yīng)公式完成雙線鐵路粱縫分界線在主線（本例為左線）的中樁坐標(biāo)、承臺中心坐標(biāo)的計算；平面直角坐標(biāo)變換時用到的單位向量（幺矢，也可看成模為1的復(fù)數(shù)）坐標(biāo)分量的計算。以計算該墩粱縫分界線與左線的交點（即粱縫分界線在左線的中樁坐標(biāo)）為例，在C12單元格中輸入公式“=C11+（C6-C5）*COS（D3）”、在D12單元格中輸入公式“=D11+（C6-C5）*SIN（D3）”便可完成；同理，在C13單元格中輸入公式“=C12+C9/2*COS（D4）”、在D13單元格中輸入公式“=D12+C9/2*SIN（D4）”便計算出承臺中心的坐標(biāo)。幺矢坐標(biāo)分量的計算：在C14、D14中分別中輸入公式“=COS（D3）”和“=SIN（D3）”。注意：上面用到的三角函數(shù)，是通過依次點擊“開發(fā)工具”、“公式”、“數(shù)學(xué)和三角函數(shù)”、“COS”和“SIN”實現(xiàn)的。

3.2.2 將3.2.1中計算的坐標(biāo)以復(fù)數(shù)表示

在單元格E11中輸入公式“= COMPLEX(C11，D11)”，便可將起點的復(fù)數(shù)坐標(biāo)存入E11單元格中。調(diào)出COMPLEX的步驟為：

依次點擊菜單欄中“開發(fā)函數(shù)”、“公式”“其它函數(shù)”“工程”，找到“COMPLEX”函數(shù)后出現(xiàn)以下界面：在實部處輸入C11，將鼠標(biāo)移到虛部處輸入D11，點擊“確定”即可。

假設(shè)特征點的臨時坐標(biāo)X',Y'分別存貯在C1、D1單元格中，為了使用復(fù)數(shù)進行運算，將它們組合成復(fù)數(shù)放在E1單元格，可在E1中輸入公式E1= COMPLEX(C1，D1)實現(xiàn)，然后利用EXCEL的拖曳功能將12行至14行的C列X、D列Y坐標(biāo)統(tǒng)統(tǒng)在E列中用復(fù)數(shù)坐標(biāo)表示。

3.3 平面直角坐標(biāo)變換

輸入墩中心坐標(biāo)K=X+Yi。設(shè)將X、Y分別存入C14、D14單元格，拖曳后形成的復(fù)數(shù)坐標(biāo)存在E15單元格。

3.4 旋轉(zhuǎn)變換 這項計算分兩步進行

3.4.1 旋轉(zhuǎn)變換

首先進行序號1的臨時樁基坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換。需要記住的是：幺矢和序號1的復(fù)數(shù)坐標(biāo)分別存在單元格E14和E15、旋轉(zhuǎn)變換后得到一個復(fù)數(shù)，存入I15。依次點擊菜單欄中“開發(fā)函數(shù)”、“公式”“其它函數(shù)”“工程”，在I15中輸入公式“=IMPRODUCT（E15，$E$14）”完成旋轉(zhuǎn)變換。注意，第二個參數(shù)是幺矢，使用的是絕對引用。通過拖曳功能將其它樁基和承臺角點的臨時坐標(biāo)完成旋轉(zhuǎn)變換。

3.4.2 平移變換

將序號1經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后的復(fù)數(shù)（貯存在單元格I15中）和承臺中心的復(fù)數(shù)坐標(biāo)（貯存在E13單元格中）相加，其結(jié)構(gòu)存貯在J15：依次點擊菜單欄中“開發(fā)函數(shù)”、“公式”“其它函數(shù)”“工程”，在J15中輸入公式“=IMSUM（I15，$E$13）”即可完成序號1的平面直角坐標(biāo)變換。注意第二個復(fù)數(shù)表示承臺中心的復(fù)數(shù)坐標(biāo)，使用的是絕對引用。通過拖曳功能將其它樁基和承臺角點經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的復(fù)數(shù)坐標(biāo)完成平移變換。

在J列中，各放樣點的坐標(biāo)是以復(fù)數(shù)表示的，而且坐標(biāo)的小數(shù)點后的數(shù)位太多，不美觀。現(xiàn)場測量人員一般不習(xí)慣于使用復(fù)數(shù)形式的放樣坐標(biāo)，所以有必要設(shè)計將復(fù)數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成以X,Y形式的坐標(biāo)，分別存貯在L、M兩列。首先將1點的復(fù)數(shù)放樣坐標(biāo)（存貯在J15單元格）中提取X、Y坐標(biāo)，分別存貯L15、L16中：依次點擊菜單欄中“開發(fā)函數(shù)”、“公式”“其它函數(shù)”“工程”，在L15單元格輸入公式“=IMREAL（J15）”，在L16單元格輸入“=IMAGINARY（J15）。”通過拖曳功能完成其他點位X,Y坐標(biāo)的提取。通過點擊L、M兩列，點右鼠標(biāo)鍵，點擊“設(shè)置單元格格式”“數(shù)字”“數(shù)值”將顯示的坐標(biāo)的小數(shù)點后的數(shù)位為3，即可把計算的坐標(biāo)顯示至毫米。

3.5 計算結(jié)果的整理及存檔

某個墩的樁基和承臺坐標(biāo)計算完畢，應(yīng)將計算結(jié)果拷貝到SHEET2中形成文檔。先在Sheet2中設(shè)計好界面，如下圖所示：

選中Sheet1模板區(qū)域L14：M25，右鍵點擊“復(fù)制”，選中目標(biāo)區(qū)域，點擊“選擇性粘貼”出現(xiàn)以下界面后，選擇“數(shù)值”和“確定”即可。

3.6 其它墩臺坐標(biāo)的計算

完成1#墩的計算后，轉(zhuǎn)到Sheet1的模板，接著計算2#墩的樁基和承臺坐標(biāo)。2#墩與2#墩的承臺、樁基的相互關(guān)系與1#完全一樣，僅僅是粱縫分界線的里程不同，所以只要在模板的C6單元格輸入其里程，立馬得到2#墩的計算坐標(biāo)，存貯到Sheet2后如下圖所示：

同理可計算與1#墩同結(jié)構(gòu)的其它墩臺的坐標(biāo)。如果承臺尺寸或樁基間的間距發(fā)生變化，只要輸入承臺的長、寬以及樁基的臨時坐標(biāo)，也可很快得到計算結(jié)果。

4 、結(jié)語

設(shè)計MS EXCEL 模板進行橋梁墩臺坐標(biāo)的計算，可減少計算錯誤，利用其拖弋功能可極大地提高工作效率；利用復(fù)數(shù)進行模板設(shè)計，可方便地完成平面直角坐標(biāo)變換；計算成果便于拷貝、存貯、通過網(wǎng)絡(luò)傳送和共享、便于形成文件。模板雖然是針對直線橋梁墩臺樁基、承臺角點坐標(biāo)計算開發(fā)的，只要將墩身、墊石、支座中心的臨時坐標(biāo)正確輸入，就可以得到相應(yīng)的放樣坐標(biāo)；而對于曲線布置的墩臺放樣坐標(biāo)模板，只要讀者悟出其中奧妙，對上面的模板稍加修改，即可進行曲線橋梁墩臺坐標(biāo)的計算。