白堊系凍結(jié)砂巖動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)關(guān)系研究

秦 越，王 磊，蘇宏明，陳世官

(西安科技大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，西安 710054)

我國西部地區(qū)煤礦多為侏羅系煤層，其上覆巨厚白堊系基巖，礦井建設(shè)中為了降低地下水對井壁質(zhì)量和施工作業(yè)環(huán)境的影響，凍結(jié)法成為白堊系弱膠結(jié)軟巖地層立井施工最佳方案。在井筒開挖掘砌過程中，立井周邊凍結(jié)圍巖由于承受來自爆破與機(jī)械鑿巖等動載作用，會產(chǎn)生不同程度的損傷。因此非常有必要對該類巖石在沖擊載荷作用下動力學(xué)特性展開研究，并對其本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行表征，為相關(guān)工程開展提供理論依據(jù)。

巖石本構(gòu)理論的發(fā)展對實(shí)際工程開展的指導(dǎo)義重大，國內(nèi)外學(xué)者對此類巖石動、靜態(tài)本構(gòu)關(guān)系的研究取得了一系列有價(jià)值的成果。在靜態(tài)本構(gòu)關(guān)系研究方面，田斌等[1]通過偏應(yīng)力與孔隙坍塌理論對高孔隙砂巖破壞機(jī)理進(jìn)行分析，建立了描述高孔隙砂巖流體飽和時(shí)力學(xué)特性的蓋帽型本構(gòu)模型。劉建等[2]通過改進(jìn)的Duncan模型描述砂巖在不同水溶液作用下的水物理化學(xué)作用效應(yīng)。朱杰兵等[3]在分析砂巖三軸卸荷流變試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出考慮損傷的Burgers流變模型，能較好描述卸荷條件下砂巖的衰減蠕變階段和穩(wěn)定流變特性。姜立春等[4]對酸性溶液蝕化下砂巖開展單軸壓縮試驗(yàn)，依據(jù)Weibull函數(shù)與Lemaitre應(yīng)變等效原理建立了損傷本構(gòu)模型。鄧華鋒等[5]對經(jīng)歷水巖作用的砂巖開展三軸壓縮試驗(yàn)，根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線、連續(xù)損傷力學(xué)與統(tǒng)計(jì)理論，建立考慮損傷效應(yīng)的損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。鄭廣輝等[6]根據(jù)不同飽和度砂巖靜態(tài)壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在宏觀唯象損傷力學(xué)與Lemairte損傷模型的基礎(chǔ)上擬合得到分段式水軟化-應(yīng)變損傷本構(gòu)關(guān)系。單仁亮等[7]建立的三維蠕變模型可準(zhǔn)確反映處于三軸壓縮狀態(tài)的凍結(jié)層狀紅砂巖的軸向與徑向蠕變?nèi)^程。魏堯等[8]對白堊系飽和凍結(jié)砂巖開展不同圍壓的三軸蠕變試驗(yàn)，基于現(xiàn)有黏彈塑性模型提出考慮溫度及損傷效應(yīng)的蠕變本構(gòu)模型。在動態(tài)本構(gòu)關(guān)系研究方面，趙光明等[9]考慮軟巖的應(yīng)變硬化與塑形流動等動力學(xué)特性，將現(xiàn)有朱-王-唐模型中的非彈性彈簧用損傷體替代，構(gòu)建了能較好描述軟巖材料動力學(xué)特性的黏彈性動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷模型。蔡燦等[10]在分析中低應(yīng)變率沖擊對巖石動力學(xué)特性影響的基礎(chǔ)上，依據(jù)元件組合理論將Maxwell體、Bingham體及損傷體并聯(lián)，提出了描述中低應(yīng)變率情況下巖石動態(tài)損傷的本構(gòu)模型。江雅勤等[11]根據(jù)單軸沖擊試驗(yàn)中砂巖的應(yīng)變率效應(yīng)和損傷軟化效應(yīng)，通過元件型建模方式提出考慮損傷的砂巖本構(gòu)模型。Wang Lei等[12]以現(xiàn)有黏彈性本構(gòu)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)，考慮應(yīng)變率效應(yīng)和溫度效應(yīng)，建立了非線性體(線性體)、Maxwell體和損傷體并聯(lián)的黏彈性動態(tài)本構(gòu)模型。

由上述研究成果可知，目前有關(guān)飽和凍結(jié)砂巖動態(tài)本構(gòu)關(guān)系的研究相對較少。根據(jù)SHPB沖擊試驗(yàn)獲得凍結(jié)砂巖在不同應(yīng)變率下的動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，在分析巖石動力學(xué)特性的基礎(chǔ)上，建立基于Weibull統(tǒng)計(jì)分布、D-P破壞準(zhǔn)則及等效應(yīng)變原理研究凍結(jié)砂巖強(qiáng)度型動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)關(guān)系，通過線性回歸法確定模型參數(shù)后，將理論曲線與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，證明了模型的準(zhǔn)確性和適用性，為西部礦區(qū)立井建設(shè)中凍結(jié)爆破鑿井工程提供理論指導(dǎo)。

1 飽和凍結(jié)砂巖SHPB試驗(yàn)

1.1 SHPB裝置及工作原理

動態(tài)沖擊試驗(yàn)在西安科技大學(xué)巖石類材料動力實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行，所用SHPB系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成如圖1所示。裝置主要由加載驅(qū)動系統(tǒng)、壓桿系統(tǒng)、能量吸收系統(tǒng)、信號采集系統(tǒng)以及信號處理系統(tǒng)等組成。桿系由高強(qiáng)度合金鋼制成，其中子彈長300 mm，入射桿長3 700 mm，透射桿長2 500 mm，彈性模量E=210 GPa，密度ρ=7 800 kg/m3，理論波速C=5 172 m/s。

圖1 SHPB系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of SHPB system

彈性應(yīng)力波傳播理論是SHPB系統(tǒng)的基本工作原理，立足如下假設(shè)：①壓桿中應(yīng)力波為一維狀態(tài)；②試樣中應(yīng)力均勻；③壓桿應(yīng)力波為平面應(yīng)力波；④桿系在試驗(yàn)過程中為線彈性狀態(tài)。采集的信號可通過三波法公式(1)計(jì)算得到試樣的動態(tài)力學(xué)參數(shù)。

(1)

1.2 試驗(yàn)過程

依托甘肅省五舉煤礦，選取凍結(jié)鑿井過程中穿越的白堊系富水弱膠結(jié)紅砂巖為研究對象，其基本物理力學(xué)參數(shù)平均值如表1所示。借助烘箱和超聲波測速儀篩選出干密度與波速相近的試樣后，利用真空飽和裝置與低溫控溫箱獲得-30 ℃飽和凍結(jié)砂巖試樣進(jìn)行試驗(yàn)。

表1 砂巖物理力學(xué)參數(shù)平均值Table 1 Average physical and mechanical parameters of sandstone

試驗(yàn)共分為5組，每組至少3個試件，對試樣進(jìn)行不同沖擊氣壓的單軸沖擊試驗(yàn)，加載應(yīng)變率范圍110～220 s-1。試驗(yàn)結(jié)果在剔除離散性較大的個別數(shù)據(jù)后取均值，動態(tài)力學(xué)參數(shù)如表2所示。

表2 飽水凍結(jié)紅砂巖動態(tài)力學(xué)參數(shù)Table 2 Dynamic mechanical parameters of saturated frozen sandstone

2 動力學(xué)特性分析

2.1 強(qiáng)度與變形的應(yīng)變率效應(yīng)

-30 ℃飽和凍結(jié)砂巖在不同加載應(yīng)變率下的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖2所示。

圖2 不同應(yīng)變率下-30 ℃砂巖應(yīng)力應(yīng)變Fig.2 Stress-strain of sandstone at -30 ℃ under different strain rates

圖3 動態(tài)抗壓強(qiáng)度與應(yīng)變率的關(guān)系Fig.3 Relationship between σd and

試樣峰值應(yīng)變與應(yīng)變率關(guān)系如圖4所示。由指數(shù)函數(shù)擬合曲線變化趨勢可知：試樣峰值應(yīng)變同樣具有應(yīng)變率效應(yīng)，且應(yīng)變率越高，應(yīng)變增長幅度越大，即-30 ℃時(shí)飽和凍結(jié)砂巖屬于率相關(guān)性較強(qiáng)的材料。

圖4 峰值應(yīng)變與應(yīng)變率的關(guān)系Fig.4 Relationship between εd and

2.2 能量吸收的應(yīng)變率效應(yīng)

為了反映巖石在沖擊過程中的能量吸收情況，消除試樣尺寸的影響，從能量角度解釋應(yīng)變率效應(yīng)，采用比能量吸收值SEA來表征能量消耗情況，按下式(2)計(jì)算：

(2)

圖5 比能量吸收值與應(yīng)變率的關(guān)系Fig.5 Relationship between SEA and

(R2=0.955)

(3)

從能量吸收角度分析試樣動力學(xué)參數(shù)的應(yīng)變率效應(yīng)可知：西部白堊系弱膠結(jié)砂巖內(nèi)部隨機(jī)分布大量孔隙、裂紋等微缺陷[12]，試件在沖擊載荷下的破壞過程伴隨著裂紋的產(chǎn)生、擴(kuò)展和貫通，并且裂紋衍生所需的能量高于裂紋擴(kuò)展[13]。應(yīng)變率較低時(shí)，彈性桿中入射能較小，基本轉(zhuǎn)化成反射能和透射能，試樣吸收的能量很低，只有需要較少能量的裂紋擴(kuò)展；隨著應(yīng)變率逐漸升高，彈性桿中的應(yīng)力波會攜帶更多的能量作用在試樣上，導(dǎo)致巖石內(nèi)部用于裂隙衍生和擴(kuò)展的能量隨之變大，參與破壞過程的裂隙增多，宏觀上表現(xiàn)出動態(tài)抗壓強(qiáng)度、峰值應(yīng)變及比能量吸收值的應(yīng)變率相關(guān)性明顯。

3 強(qiáng)度型動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)關(guān)系

3.1 統(tǒng)計(jì)損傷演化方程

巖石材料在沖擊載荷下?lián)p傷來源于局部微元體的非線性漸進(jìn)破壞，材料與微元體具有如下性質(zhì)：

①砂巖屬于各向異性的損傷體，初始損傷和在加載過程中產(chǎn)生的次生缺陷導(dǎo)致其發(fā)生破壞；

②微元體符合尺寸二重性要求，即宏觀上充分小，可視作連續(xù)損傷力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)；細(xì)觀上充分大，足夠包含相應(yīng)微缺陷。則細(xì)觀上微元體在破壞前服從胡克定律，但破壞后喪失承載能力；

③微元彈性體強(qiáng)度服從Weibull統(tǒng)計(jì)分布，相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

(4)

式中：F為表征微元體強(qiáng)度的分布變量；m、F0為反映巖石材料力學(xué)性質(zhì)的Weibull分布參數(shù)，m反映巖石脆性，F(xiàn)0則表示巖石的宏觀平均強(qiáng)度；P(F)是巖石強(qiáng)度為F時(shí)微元體的破壞概率密度函數(shù)。

沖擊荷載作用下不斷增長的破壞微元體數(shù)目是巖石發(fā)生破壞的主要原因，基于損傷力學(xué)理論，定義統(tǒng)計(jì)損傷變量D如下：

(5)

式中：n為已破壞的微元數(shù)目；N為巖石材料中總微元數(shù)目。

在任意區(qū)間[F,F+dF]內(nèi)發(fā)生破壞的微元體數(shù)目為NP(x)dx，當(dāng)沖擊載荷為F，即x∈[0,F]時(shí)，對應(yīng)的破壞微元數(shù)目為

(6)

聯(lián)立式(5)與式(6)，由微元體破壞概率定義統(tǒng)計(jì)損傷變量D可得巖石在外載荷作用下的統(tǒng)計(jì)損傷演化方程：

(7)

由式(7)可知，統(tǒng)計(jì)損傷變量D與微元體強(qiáng)度F呈正比，而巖石強(qiáng)度變化與應(yīng)力狀態(tài)的改變密切相關(guān)。因此，需要進(jìn)一步通過表征微元體強(qiáng)度來反映飽水凍結(jié)砂巖在沖擊載荷下的損傷演化規(guī)律。

3.2 微元體強(qiáng)度的表征

基于巖石的破壞準(zhǔn)則通式，考慮Drucker-Prager(D-P)破壞準(zhǔn)則同時(shí)兼顧中間主應(yīng)力與靜水壓力的影響，具有參數(shù)構(gòu)成簡單、適用于巖石介質(zhì)等優(yōu)點(diǎn)[14]，則微元彈性體強(qiáng)度分布變量的表達(dá)式可描述為

(8)

(9)

事不宜遲，胖子，你去附近找?guī)讉€勞力，組織一班人挖樹，組織一班人修個通道，三天內(nèi)我們把樹搞出去，我們今年一年的開銷就夠了，對村民不要說這是什么樹，就說樹形好，林業(yè)部門要依法移植到城市搞綠化，造福更多的人。何澤吩咐道。

根據(jù)Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)，即同種有損與無損材料在有效應(yīng)力作用下產(chǎn)生的應(yīng)變等價(jià)，基本關(guān)系式為

{σ*}={σ}/(1-D)=[C]{ε}/(1-D)

(10)

式中：{σ*}為有效應(yīng)力矢量；{σ}為名義應(yīng)力矢量；[C]為材料彈性矩陣；{ε}為應(yīng)變矢量。

鑒于西部白堊系弱膠結(jié)砂巖存在大量初始微缺陷，以及各向異性與不均勻性顯著的特點(diǎn)，引入初始損傷系數(shù)δ(0<δ<1)進(jìn)行表征，則損傷體有效應(yīng)力修正表達(dá)式為

{σ*}={σ}/(1-δD)=[C]{ε}/(1-δD)

(11)

由式(11)可確定損傷體有效應(yīng)力與名義應(yīng)力的關(guān)系為

(12)

微元體破壞前服從胡克定律，試樣的軸向應(yīng)變滿足下列關(guān)系式：

(13)

將式(12)代入式(13)化簡得：

(14)

(15)

則式(9)求解得

(16)

巖石材料受單軸沖擊時(shí)，由于σy=σz=0，則

(17)

微元體強(qiáng)度可表征如下：

(18)

3.3 強(qiáng)度型動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)關(guān)系

損傷體Da在發(fā)生損傷前處于線彈性狀態(tài)，根據(jù)等效應(yīng)變原理與式(14)可知三軸條件下?lián)p傷體的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系為

σx=Eεx(1-δD)+μ(σy+σz)

(19)

單軸沖擊時(shí)，由于σy=σz=0，則

σx=Eεx(1-δD)

(20)

將式(7)、式(18)代入式(20)化簡可得單軸沖擊條件下?lián)p傷體Da的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系式：

(21)

式(21)即為基于Weibull統(tǒng)計(jì)分布、D-P破壞準(zhǔn)則及等效應(yīng)變原理得到的白堊系凍結(jié)砂巖強(qiáng)度型動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)關(guān)系。

4 本構(gòu)關(guān)系的驗(yàn)證

4.1 基本參數(shù)確定

求解上述強(qiáng)度型動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)關(guān)系式需要確定εx、E、δ、φ、α、F0、m等7個參數(shù)。根據(jù)沖擊試驗(yàn)獲得的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可知,應(yīng)變εx用實(shí)測數(shù)據(jù)代入；參數(shù)E表示試樣初始彈性模量，取應(yīng)力應(yīng)變曲線初始上升階段的斜率；初始損傷系數(shù)δ的取值范圍為0.95～0.98[16]，可選取不同的δ值進(jìn)行擬合，根據(jù)曲線相關(guān)系數(shù)R2確定最佳值；內(nèi)摩擦角φ通過三軸壓縮試驗(yàn)確定[18]，-30 ℃時(shí)白堊系飽和凍結(jié)砂巖內(nèi)摩擦角φ=31.67°，對應(yīng)的α=0.17；Weibull分布參數(shù)F0和m通過線性回歸法擬合確定。

4.2 最佳初始損傷系數(shù)

圖6 不同δ在不同下的應(yīng)力應(yīng)變Fig.6 Stress strain of different δ under different

綜合比較可知，選取適當(dāng)?shù)摩闹祵碚摂M合結(jié)果具有顯著影響，擬合效果差異主要體現(xiàn)在試樣的彈塑性變形階段，表明δ能夠反映白堊系飽和凍結(jié)砂巖在動態(tài)沖擊作用時(shí)的彈塑性變形特征。最佳初始損傷系數(shù)δ=0.95，理論擬合曲線與試驗(yàn)結(jié)果均良好吻合。

4.3 本構(gòu)模型參數(shù)確定

根據(jù)確定的參數(shù)值，式(21)可進(jìn)一步化簡為適用于本文研究對象的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系式，其他類型巖石在應(yīng)用時(shí)代入自身相應(yīng)參數(shù)即可：

(22)

表3 模型參數(shù)取值Table 3 The value of model parameters

5 結(jié)論

1)-30 ℃飽和凍結(jié)砂巖動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線可劃分為線彈性、彈塑性及塑形軟化等3個階段；動態(tài)抗壓強(qiáng)度與峰值應(yīng)變隨應(yīng)變率變化呈指數(shù)增長，應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)顯著，砂巖屬于率相關(guān)性較強(qiáng)材料。

2)裂紋衍生消耗的能量高于裂紋擴(kuò)展，巖石用于內(nèi)部微缺陷衍生和擴(kuò)展的能量隨應(yīng)變率的升高逐漸變大，參與破壞過程的裂隙增多，宏觀上表現(xiàn)出動態(tài)抗壓強(qiáng)度、峰值應(yīng)變及比能量吸收值的應(yīng)變率相關(guān)性明顯。

3)基于微元體強(qiáng)度服從Weibull統(tǒng)計(jì)分布假設(shè)和連續(xù)損傷理論，利用微元體破壞概率定義統(tǒng)計(jì)損傷變量D；根據(jù)Drucker-Prager破壞準(zhǔn)則表征微元體強(qiáng)度分布變量，引入初始損傷系數(shù)δ修正損傷體有效應(yīng)力表達(dá)式，推導(dǎo)出強(qiáng)度型動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)關(guān)系式。δ能夠反映試樣在沖擊作用時(shí)的彈塑性變形特征，最佳初始損傷系數(shù)δ=0.95。

4)對比不同應(yīng)變率下理論擬合曲線與試驗(yàn)實(shí)測曲線可知：曲線擬合精度高，引入初始損傷系數(shù)δ建立的強(qiáng)度型動態(tài)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)關(guān)系能夠較好地反映沖擊載荷作用下應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰前階段的特征，即線彈性和彈塑性階段的強(qiáng)度分布。