形狀因子及復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解的計(jì)算方法

徐有杰 劉啟國(guó) 李曉平 楊思涵 張 楷 譚曉華

1.“油氣藏地質(zhì)及開(kāi)發(fā)工程”國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·西南石油大學(xué) 2.中國(guó)石油西南油氣田公司勘探開(kāi)發(fā)研究院

0 引言

油氣藏形狀位置因子（以下簡(jiǎn)稱形狀因子）是影響油氣井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解及產(chǎn)能指數(shù)的重要參數(shù)，從而會(huì)對(duì)油氣井生產(chǎn)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生直接影響。1954年，Matthews等[1]基于壓力恢復(fù)試井解釋方法，得到了矩形封閉油藏平均地層壓力隨時(shí)間的變化曲線?；谠摲椒ǎ珼ietz[2]推導(dǎo)出不同邊界形狀因子計(jì)算式，并且確定了擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)開(kāi)始的時(shí)間。上述兩位學(xué)者在計(jì)算形狀因子時(shí)，都是假定油氣井以定產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)。Ozkan等[3]針對(duì)常規(guī)直井、水平井和無(wú)限導(dǎo)流壓裂直井，采用解析解的方法，得到了圓形和矩形封閉形狀因子計(jì)算式。然而，上述學(xué)者僅僅給出了油氣井定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下形狀因子的計(jì)算方法。1998年，Helmy等[4]推導(dǎo)出油氣井定壓生產(chǎn)條件下的形狀因子計(jì)算方法，并與Dietz[2]計(jì)算的形狀因子（以下簡(jiǎn)稱Dietz形狀因子）進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)在油氣井定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下的形狀因子大于定壓生產(chǎn)條件下的形狀因子。2005年，Haryanto[5]采用數(shù)值模擬方法計(jì)算了有限導(dǎo)流壓裂直井定壓生產(chǎn)條件下的形狀因子，并且分析了形狀因子與導(dǎo)流能力的關(guān)系。

對(duì)于一些簡(jiǎn)單井型，采用解析解的方法求取擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解較容易，但是對(duì)于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)井（多段壓裂水平井、多分支水平井等）[6]，則難度較大。因此，尋求一種實(shí)用、有效的形狀因子計(jì)算方法，對(duì)于準(zhǔn)確獲取復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解及產(chǎn)能指數(shù)具有重要意義。為此，筆者針對(duì)不同形狀封閉邊界油氣藏中直井，根據(jù)試井分析曲線——壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線之間的關(guān)系，重新計(jì)算形狀因子，并且與Dietz形狀因子進(jìn)行對(duì)比；在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解，并且進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而繪制Blasingame遞減曲線典型圖版。

1 矩形封閉邊界油氣藏直井井底壓力解

假設(shè)矩形封閉邊界油氣藏中有一口定產(chǎn)量生產(chǎn)的直井，該井所處位置如圖1所示，圖中L1、L2、L3、L4分別表示井距離矩形封閉油氣藏上、左、下、右邊界的距離，xe、ye分別表示矩形封閉邊界油氣藏長(zhǎng)度與寬度；流體在儲(chǔ)層中的流動(dòng)滿足達(dá)西滲流規(guī)律，流體溫度保持恒定；忽略毛細(xì)管力和重力的影響。

基于點(diǎn)源函數(shù)法，Ozkan等[7]推導(dǎo)出無(wú)限大外邊界油氣藏在Laplace空間任意位置的壓力解，即

其中

根據(jù)鏡像反映法，得到矩形封閉邊界油氣藏所有鏡像井的井底壓力解，即

其中

矩形封閉邊界油氣藏中直井井底壓力解為式（1）、（2）之和，即

通過(guò)Stehfest數(shù)值反演，計(jì)算得到矩形封閉邊界油氣藏中直井在實(shí)空間的井底壓力解，進(jìn)而繪制井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線。

2 形狀因子計(jì)算及驗(yàn)證

對(duì)于圓形封閉邊界油氣藏，處于擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段的直井井底壓力漸近解為[4]：

式中pwD表示實(shí)空間無(wú)因次井底壓力或擬壓力；tDA表示基于油氣藏面積定義的無(wú)因次時(shí)間；A表示油氣藏面積，cm2；γ表示歐拉常數(shù)；CA表示形狀因子，無(wú)量綱；rw表示井筒半徑，cm。

根據(jù)試井分析曲線——壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線可以進(jìn)行流動(dòng)階段劃分。而由式（4）看出，可以將等式右邊第2項(xiàng)看作油氣井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段pwD和p'wDtDA之差，因此，對(duì)式（4）關(guān)于lntDA求導(dǎo)，pwD和p'wDtDA之差即是擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解系數(shù)，即

式中bDpss表示擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解系數(shù)，該數(shù)值與井結(jié)構(gòu)、邊界大小及形狀等因素有關(guān)。

可以看出，通過(guò)計(jì)算擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段pwD和p'wDtDA之差，可以反求圓形封閉邊界形狀因子。若井位于矩形封閉邊界油氣藏中，可以采取同樣的方法求得形狀因子。

下面以圓形封閉邊界油氣藏為例，驗(yàn)證筆者提出的形狀因子計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。假設(shè)一口直井處于油氣藏中心位置，外邊界半徑為5 000 m，井筒半徑為0.1 m。

如圖2所示，圖中藍(lán)色線對(duì)應(yīng)擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段，該階段直井pwD和p'wDtDA的差值為10.070，則bDpss為10.070。對(duì)于圓形封閉邊界油藏，Dietz形狀因子為31.600?；诒疚姆椒ǎ?jì)算形狀因子（CA），有

可以看出，對(duì)于圓形封閉邊界油氣藏中心的一口直井，采用本文方法計(jì)算得到的形狀因子與Dietz形狀因子的相對(duì)誤差在1%以內(nèi)。然后，針對(duì)不同形狀封閉邊界油氣藏中直井，將采用本文方法計(jì)算的形狀因子與Dietz形狀因子對(duì)比，結(jié)果非常接近（表1），進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性，同時(shí)計(jì)算出擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段開(kāi)始的無(wú)因次時(shí)間（tDpss），其計(jì)算式為：

表1 不同形狀封閉邊界條件下形狀因子計(jì)算結(jié)果對(duì)比表

式中K表示儲(chǔ)層滲透率，D；t表示生產(chǎn)時(shí)間，s；表示儲(chǔ)層孔隙度；μ表示流體黏度，mPa·s；Ct表示綜合壓縮系數(shù)，10MPa－1。

3 復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解及其驗(yàn)證

計(jì)算形狀因子的主要目的是為了計(jì)算擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解，那么，既然利用pwD和p'wDtDA之差可以計(jì)算形狀因子，那么就可以利用pwD和p'wDtDA之差計(jì)算擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解。對(duì)于常規(guī)直井（含壓裂直井）、水平井，可以通過(guò)公式簡(jiǎn)化，得到實(shí)空間井底壓力漸近解，但是對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)井（如多段壓裂水平井、多分支井等），則無(wú)

法通過(guò)解析反演的方法直接得到擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解，從而無(wú)法對(duì)Blasingame遞減分析方法的物質(zhì)平衡時(shí)間進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，進(jìn)而無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)井的單井控制儲(chǔ)量。

基于前面直井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解結(jié)構(gòu)，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)井，可以采用同樣的方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解。因此，通過(guò)求取復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段pwD和p'wDtDA之差，即求得復(fù)雜結(jié)構(gòu)井的bDpss，從而可以獲得復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解，即

式中pwDps表示擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段無(wú)因次井底壓力。

下面分別對(duì)不同邊界油氣藏中復(fù)雜結(jié)構(gòu)井井底壓力漸近解進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 圓形封閉邊界油氣藏＋大斜度井

Cinco-Ley等[8]、Ozkan等[9]分別給出了均質(zhì)油氣藏中大斜度井在實(shí)空間和Laplace空間的井底壓力計(jì)算式。姜瑞忠等[10]考慮儲(chǔ)層滲透率應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度等因素，建立雙重介質(zhì)大斜度井試井?dāng)?shù)學(xué)模型并分析各參數(shù)對(duì)試井曲線的影響。任俊杰等[11]建立三重介質(zhì)油氣藏大斜度井試井?dāng)?shù)學(xué)模型并且給出了對(duì)應(yīng)的井底壓力響應(yīng)曲線。借鑒前人的研究成果，筆者此次計(jì)算得到均質(zhì)、圓形封閉邊界油氣藏中大斜度井井底壓力及其導(dǎo)數(shù)，求得兩者之差，然后，通過(guò)擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段無(wú)因次井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)差來(lái)驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，其中無(wú)因次變量的定義見(jiàn)本文參考文獻(xiàn)[9]，此處不再贅述。

圖3分別繪制出圓形封閉邊界油氣藏大斜度井（pwD－p'wDtDA）—tDA和（pwD－pwDps）—tDA曲線，圖中hD表示無(wú)因次儲(chǔ)層厚度。可以看出，在壓力波未到達(dá)封閉邊界之前，（pwD－p'wDtD）隨tDA增大而增大，當(dāng)壓力波到達(dá)封閉邊界以后，（pwDp'wDtD）為一定值，該數(shù)值即對(duì)應(yīng)式（8）中bDpss的數(shù)值。求得bDpss，即得到了大斜度井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解。繪制（pwD－pwDps）—tDA曲線，如圖3所示，在壓力波未到達(dá)封閉邊界之前，（pwDpwDps）隨tDA增大而減小，當(dāng)壓力波到達(dá)封閉邊界以后，（pwD－pwDps）為0，從而證實(shí)利用本文方法計(jì)算的擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解（pwDps）是正確的。

另外，基于本文方法還可以計(jì)算大斜度井?dāng)M表皮因子。關(guān)于大斜度井?dāng)M表皮因子的計(jì)算，參見(jiàn)本文參考文獻(xiàn)[12-14]。根據(jù)Rogers等[15]的研究，大斜度井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力解與完全射開(kāi)的直井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力解的差即為大斜度井?dāng)M表皮因子?；诒疚姆椒?，分別計(jì)算井斜角為50°、60°、75°，hD為100、200、500、1 000、2 000、5 000條件下大斜度井?dāng)M表皮因子（圖4紅點(diǎn)），然后將計(jì)算結(jié)果與Ozkan等[9]計(jì)算的大斜度井?dāng)M表皮因子（圖4實(shí)線）相比，相對(duì)誤差在1%以內(nèi)，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

3.2 圓形封閉邊界油氣藏＋有限導(dǎo)流壓裂直井

Pratikno等[16]推導(dǎo)出圓形封閉邊界油氣藏中有限導(dǎo)流壓裂直井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解，有限導(dǎo)流壓裂直井的bDpss計(jì)算式為：

其中

u=lnCfD

a1=0.936 268 00

a2=－1.004 890 00

a3=0.319 733 00

a4=－0.042 353 20

a5=0.002 217 99

b1=－0.385 539 00

b2=－0.069 886 50

b3=－0.048 465 30

b4=－0.008 135 58

式中ReD表示無(wú)因次圓形封閉邊界的半徑；CfD表示無(wú)因次裂縫導(dǎo)流能力。

圖5分別繪制出圓形封閉邊界油氣藏有限導(dǎo)流壓裂直井（pwD－p'wDtDA）—tDA和（pwD－pwDps）—tDA曲線，可以看出，在壓力波未到達(dá)封閉邊界以前，（pwD－p'wDtDA）隨tDA增大而增大，當(dāng)壓力波到達(dá)封閉邊界以后，（pwD－p'wDtDA）為一定值，該數(shù)值即對(duì)應(yīng)式（8）中bDpss的數(shù)值。求得bDpss，即得到了有限導(dǎo)流壓裂直井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解。繪制（pwD－pwDps）—tDA曲線，如圖5所示，在壓力波未到達(dá)封閉邊界之前，（pwD－pwDps）隨tDA增大而減小，當(dāng)壓力波到達(dá)封閉邊界以后，（pwDpwDps）為0，從而證實(shí)利用本文方法計(jì)算的擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解（pwDps）是正確的。

再利用Pratikno等[16]計(jì)算的bDpss與采用本文方法計(jì)算的bDpss進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)裂縫導(dǎo)流能力無(wú)論如何變化，兩種方法計(jì)算的bDpss相對(duì)誤差都很小（表2），完全能夠滿足工程需求，同時(shí)也驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

表2 圓形封閉邊界油氣藏有限導(dǎo)流壓裂直井bDpss結(jié)果對(duì)比表

3.3 矩形封閉邊界油氣藏＋有限導(dǎo)流壓裂直井

王曉冬等[17]推導(dǎo)出矩形封閉邊界油藏有限導(dǎo)流多段壓裂水平井井底壓力解。之后，Xing等[18]基于圓形封閉邊界油氣藏有限導(dǎo)流壓裂直井井底壓力解，得到矩形封閉邊界油氣藏有限導(dǎo)流壓裂直井的bDpss，其計(jì)算式為：

其中

u=lnCfD

式中xeD、yeD分別表示矩形封閉邊界油氣藏?zé)o因次寬度與長(zhǎng)度；xwD、ywD分別表示壓裂井所在位置無(wú)因次橫、縱坐標(biāo)；xD、yD分別表示計(jì)算點(diǎn)所在位置無(wú)因次橫、縱坐標(biāo)。

圖6分別繪制出矩形封閉邊界油氣藏有限導(dǎo)流壓裂直井（pwD－p'wDtDA）—tDA和（pwD－pwDps）—tDA曲線，可以看出，在壓力波未到達(dá)封閉邊界以前，（pwD－p'wDtDA）隨tDA增大而增大，當(dāng)壓力波到達(dá)封閉邊界以后，（pwD－p'wDtDA）為一定值，該數(shù)值即對(duì)應(yīng)式（8）中bDpss的數(shù)值。求得bDpss，即得到了有限導(dǎo)流壓裂直井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解。繪制（pwD－pwDps）—tDA曲線，如圖6所示，在壓力波未到達(dá)封閉邊界之前，（pwD－pwDps）隨tDA增大而減小，當(dāng)壓力波到達(dá)封閉邊界以后，（pwDpwDps）為0，從而證實(shí)利用本文方法計(jì)算的擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解（pwDps）是正確的。

再利用Xing等[18]計(jì)算的bDpss與采用本文方法計(jì)算的bDpss進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)裂縫導(dǎo)流能力無(wú)論如何變化，兩種方法計(jì)算的bDpss相對(duì)誤差都很?。ū?），完全能夠滿足工程需求，同時(shí)也驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

表3 矩形封閉邊界油氣藏有限導(dǎo)流壓裂直井bDpss結(jié)果對(duì)比表（考慮CfD變化）

通過(guò)大量計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于矩形封閉邊界油氣藏而言，長(zhǎng)寬比不僅影響bDpss，還影響擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段開(kāi)始的時(shí)間。如圖7所示，圖中藍(lán)色點(diǎn)則對(duì)應(yīng)擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段開(kāi)始的數(shù)據(jù)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段開(kāi)始的時(shí)間，縱坐標(biāo)則對(duì)應(yīng)bDpss。在不同長(zhǎng)寬比條件下，將采用本文方法計(jì)算的bDpss與Xing等[18]計(jì)算的bDpss相比，相對(duì)誤差維持在0.5%左右（表4），滿足工程需求，再一次驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性。

表4 矩形封閉邊界油氣藏有限導(dǎo)流壓裂直井bDpss結(jié)果對(duì)比表（考慮長(zhǎng)寬比變化）

4 Blasingame遞減曲線典型圖版的繪制

式中tDd表示Blasingame遞減曲線無(wú)因次時(shí)間；qDd表示Blasingame遞減曲線無(wú)因次產(chǎn)量。

無(wú)因次產(chǎn)量積分及產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)曲線計(jì)算式為：

式中qDdi表示Blasingame遞減曲線無(wú)因次產(chǎn)量積分；α表示積分變量，無(wú)量綱；qDdid表示Blasingame遞減曲線無(wú)因次產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)。

基于式（11）～（14），針對(duì)常規(guī)直井繪制Blasingame遞減曲線典型圖版，如圖8所示，在擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段qDd—tDd曲線呈斜率為－1的直線，并且長(zhǎng)寬比越大，晚期線性流特征越明顯。

對(duì)于壓裂直井，假設(shè)該井位于油氣藏中心位置，裂縫延伸方向和矩形封閉邊界油氣藏的長(zhǎng)度方向一致，如圖9所示，在油氣藏外邊界長(zhǎng)度一定的情況下，若長(zhǎng)寬比越大，單井控制面積越小，bDpss越大，晚期線性流特征越明顯，Blasingame遞減曲線在非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段所處的位置越高。如圖10所示，在單井控制面積相同的情況下，若裂縫導(dǎo)流能力越高，bDpss則越小，Blasingame遞減曲線在非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段所處的位置越高。通過(guò)Blasingame圖版擬合，可以計(jì)算單井控制儲(chǔ)量，進(jìn)而確定單井控制半徑[21]。

5 結(jié)論

1）針對(duì)不同形狀邊界油氣藏直井，通過(guò)計(jì)算擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段無(wú)因次井底壓力（pwD）及其導(dǎo)數(shù)（p'wDtDA），求得兩者的差值，則可以反求形狀因子，并且采用本文方法計(jì)算的形狀因子與Dietz形狀因子結(jié)果非常接近，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

2）通過(guò)求取復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段pwD和p'wDtDA之差，則求得復(fù)雜結(jié)構(gòu)井的擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解系數(shù)（bDpss），進(jìn)而可以獲得任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)井?dāng)M穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段井底壓力漸近解。

3）基于本文方法，計(jì)算的大斜度井?dāng)M表皮因子與Ozkan等計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差在1%以內(nèi)，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

4）對(duì)于矩形封閉邊界油氣藏中常規(guī)直井，擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段Blasingame遞減曲線的無(wú)因次產(chǎn)量曲線斜率為－1，并且長(zhǎng)寬比越大，晚期線性流特征越明顯。

5）對(duì)于矩形封閉邊界油氣藏中壓裂直井，在外邊界長(zhǎng)度一定的情況下，若長(zhǎng)寬比越大，單井控制面積則越小，bDpss越大，晚期線性流特征越明顯，Blasingame遞減曲線在非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段所處的位置越高；在單井控制面積相同的情況下，若無(wú)因次裂縫導(dǎo)流能力越大，bDpss則越小，Blasingame遞減曲線在非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段所處的位置越高。