控制器模態(tài)不匹配的半馬爾可夫系統(tǒng)的可達(dá)集分析

王國(guó)良，孫媛媛

（遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧撫順113001）

在過去的幾十年里，一類馬爾可夫跳變線性系統(tǒng)(MJLS)模型受到了廣泛關(guān)注[1?2]，產(chǎn)生了許多分析方法，如跳轉(zhuǎn)延遲[3]、同步[4]、保成本控制[5]、故障檢測(cè)[6]等。然而，馬爾可夫過程的駐留時(shí)間一般服從指數(shù)分布，在應(yīng)用中存在許多局限性。為克服這一缺陷，半馬爾可夫跳變線性系統(tǒng)(S?MJLS)[7]引起了人們的關(guān)注，例如在穩(wěn)定性[8]、一般不確定轉(zhuǎn)移速率[9]和H∞濾波[10]等幾個(gè)方面都進(jìn)行了廣泛的研究。

近年來，關(guān)于可達(dá)集的研究得到了廣泛的關(guān)注，并被考慮應(yīng)用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如馬爾可夫跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]、離散時(shí)間切換系統(tǒng)[12]和周期正系統(tǒng)[13]。為了滿足可達(dá)集的設(shè)計(jì)要求，需要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使可達(dá)集包含在一個(gè)給定的橢球集內(nèi)[14]。對(duì)于系統(tǒng)控制，大部分的控制方法被分為模態(tài)獨(dú)立控制[15]和模態(tài)依賴控制[16]兩種。模態(tài)獨(dú)立控制器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，但無法處理工作模態(tài)改變時(shí)的動(dòng)態(tài)行為。模態(tài)依賴控制器理論上可以跟蹤變化的模態(tài)，但是實(shí)際應(yīng)用效果不理想。近年來，提出了一些特別的控制方法，如部分模態(tài)依賴控制和無序控制[17]。但是，上述文獻(xiàn)中的控制器模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)是相對(duì)應(yīng)的，存在一種固定不變的關(guān)系，有很大的局限性。當(dāng)系統(tǒng)模態(tài)和控制器模態(tài)之間的關(guān)系不恒定時(shí)，如何設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器使可達(dá)集有界，對(duì)此問題卻很少有文獻(xiàn)研究，因此本文提出了一種控制方法來解決這個(gè)問題。

本文研究了控制器模態(tài)不匹配的半馬爾可夫系統(tǒng)的可達(dá)集問題。設(shè)計(jì)了一種控制器，當(dāng)系統(tǒng)模態(tài)與控制模態(tài)之間的關(guān)系不匹配時(shí)，使系統(tǒng)的可達(dá)集在給定橢球集內(nèi)；利用S?MJLS 和李雅普諾夫函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，得到充分條件，并進(jìn)一步推廣到矩陣的不確定性和部分已知條件；將模態(tài)不匹配的控制策略與模態(tài)依賴的控制策略和模態(tài)獨(dú)立的控制策略進(jìn)行比較，通過算例驗(yàn)證該方法的有效性。

1 問題描述

在一個(gè)概率空間(Ω,F,P)內(nèi)，考慮一個(gè)隨機(jī)跳變線性系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)方程為：

2 主要結(jié)果

3 仿真算例

給定關(guān)聯(lián)矩陣Γ值為：

給定參數(shù)λ1=-0.1，λ2=2.0，λ3=4.0 和μ=5。系統(tǒng)模態(tài)r(t)的仿真結(jié)果如圖 1 所示?？刂菩盘?hào)φ(t)的仿真結(jié)果如圖2 所示。駐留時(shí)間最大值τmax=0.5，駐留時(shí)間最小值τmin=0.3。

圖1 模態(tài)信號(hào)r(t)的仿真結(jié)果

圖2 控制信號(hào)φ(t)的仿真結(jié)果

在定理1 中得到的控制器增益分別為：K1=[ -21.852 8 4.765 9 ]；K2=[ 26.084 5 -95.806 7 ]；K3=[ -71.287 1 113.350 4 ]。

系統(tǒng)（21）的狀態(tài)響應(yīng)如圖3 所示。由圖3 可知，系統(tǒng)(21)是穩(wěn)定的，證明所提控制方法的可行性。當(dāng)初始模態(tài)為x0=[ -0.2 0.1 ]T時(shí)，系統(tǒng)（21）的狀態(tài)軌跡如圖4 所示。

圖3 系統(tǒng)（21）的狀態(tài)響應(yīng)

圖4 系統(tǒng)（21）的橢球集和可達(dá)集

通過提出的控制策略（5），可以將軌跡限制在橢球區(qū)域內(nèi)，證明系統(tǒng)(21)是有界的，起點(diǎn)用紅點(diǎn)標(biāo)出。在模態(tài)不匹配的情況下，模態(tài)依賴控制器（39）和模態(tài)獨(dú)立控制器（46）的狀態(tài)軌跡分別如圖5 和圖6 所示。由圖5 和圖6 可知，在模態(tài)不匹配情況下，系統(tǒng)狀態(tài)是發(fā)散的。因此，定理1 的方法優(yōu)于這兩種控制方法，能允許誤差模態(tài)的發(fā)生。針對(duì)以上仿真結(jié)果，對(duì)于不同的控制設(shè)計(jì)，從實(shí)用的角度來看，控制器（5）是更有效的。

圖5 系統(tǒng)（42）的橢球集和可達(dá)集

圖6 系統(tǒng)（49）的橢球集和可達(dá)集

4 結(jié) 論

研究了控制器模態(tài)不匹配的連續(xù)S?MJLS 可達(dá)集問題。首先，當(dāng)出現(xiàn)控制器和系統(tǒng)模態(tài)不匹配的情況時(shí)，基于半馬爾可夫過程的結(jié)構(gòu)特征設(shè)計(jì)模態(tài)不匹配控制器，得到使系統(tǒng)的可達(dá)集在給定橢球集內(nèi)的存在條件。然后分別分析了模態(tài)依賴控制器、模態(tài)獨(dú)立控制器的可達(dá)集在給定橢球集內(nèi)的條件。隨后考慮了相關(guān)矩陣中含有不確定概率或者相關(guān)矩陣是部分已知的情況，并得到相應(yīng)的條件。不匹配控制器將系統(tǒng)的可達(dá)集軌跡限制在橢球區(qū)域內(nèi)，對(duì)比驗(yàn)證了該方法的有效性和優(yōu)越性。本研究也適用于其他實(shí)際問題，如航海、自主車輛控制、電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)安全等方面。