基于非均勻分布復(fù)彈簧單元的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元建模

劉曉峰， 孫 偉， 方自文

(1. 東北大學(xué)機(jī)械 工程與自動化學(xué)院， 沈陽 110819；2. 東北大學(xué) 航空動力裝備振動及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 沈陽 110819)

螺栓連接幾乎應(yīng)用在所有機(jī)械裝備中，其連接界面(結(jié)合面)的力學(xué)特性對整個機(jī)械裝備的靜力學(xué)及動力學(xué)性能均有重要的影響。因而，在機(jī)械裝備設(shè)計(jì)研發(fā)過程中必須重視對螺栓結(jié)合部的性能分析與設(shè)計(jì)。而創(chuàng)建一個簡單、高效并且具有較高精度的結(jié)合部模型則是分析和設(shè)計(jì)螺栓連接結(jié)構(gòu)的重要基礎(chǔ)。

長期以來已有大量學(xué)者致力于螺栓結(jié)合部的力學(xué)建模與分析，真實(shí)的螺栓結(jié)合部處存在螺栓、螺母等構(gòu)件，在建模時(shí)若將其體現(xiàn)出來，建模過程會較復(fù)雜。這類高保真建模方式通常適用于靜力學(xué)分析，例如，Al-Nassar等[1]建立了完整的螺栓連接板三維有限元模型并對其在剪切和拉伸載荷作用下的受力性能進(jìn)行了分析。Gray等[2]提出了一種高效的螺栓連接整體三維模型建立和驗(yàn)證的方法。為了方便進(jìn)行螺栓結(jié)合部的力學(xué)研究，一些建模方法在建模時(shí)不體現(xiàn)螺栓、螺母等構(gòu)件，而是用一些如彈簧、阻尼類的具有集中參數(shù)的單元，或是利用一種虛擬介質(zhì)等來模擬結(jié)合面的力學(xué)特性。這類簡化模型的建模思路又可分為線性建模和非線性建模。

對于線性建模，通常將模擬結(jié)合部力學(xué)特性的集中參數(shù)或虛擬介質(zhì)的材料參數(shù)等視為常量，例如，Ye等[3]將虛擬材料參數(shù)導(dǎo)入有限元分析軟件，建立了包含結(jié)合部虛擬材料模擬的螺栓連接結(jié)構(gòu)有限元模型。Zhou等[4]提出了單自由度黏滑摩擦模型，對螺栓連接復(fù)合板進(jìn)行了多尺度建模和有限元分析，并與試驗(yàn)結(jié)果對照，驗(yàn)證了模型的正確性。McCarthy等[5]用彈簧單元模擬結(jié)合部建立了三螺栓連接復(fù)合材料梁的分析模型，研究螺栓孔間隙對多螺栓連接結(jié)合部載荷分布的影響。

實(shí)際螺栓連接結(jié)構(gòu)，由于受激振力變化等因素的作用，其結(jié)合部處通常會產(chǎn)生非線性的力學(xué)現(xiàn)象，此時(shí)線性建模的思想不再適用，需進(jìn)行非線性建模。如，Zhao等[6]提出了一種用非線性虛擬材料來描述螺栓連接力學(xué)特性的方法。Taheri-Behrooz等[7]建立了考慮節(jié)點(diǎn)非線性材料特性的單搭接多節(jié)點(diǎn)非線性彈簧-質(zhì)量模型來模擬螺栓結(jié)合部。 Kong等[8]提出了一種包含非線性接觸力、阻尼和連接界面幾何特性的螺栓連接結(jié)構(gòu)降階模型，降低了求解非線性動力學(xué)方程的計(jì)算成本。Armand等[9]提出了一種新的多尺度方法，將螺栓結(jié)合部界面粗糙度、接觸壓力和接觸剛度聯(lián)系起來，并與多諧波平衡求解器相結(jié)合，可以計(jì)算不同界面粗糙度下結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)響應(yīng)。

螺栓結(jié)合部的非線性建模往往更能再現(xiàn)連接結(jié)構(gòu)真實(shí)的振動行為，但是非線性建模的研究通常源于對線性模型的改進(jìn)。當(dāng)前，在用彈簧單元模擬螺栓結(jié)合部的研究中，大多是用一根彈簧單元或者剛度相等的分布彈簧單元來模擬螺栓及連接區(qū)域的剛度。這種建模方法通常無法考慮螺栓影響區(qū)剛度非均勻分布對結(jié)構(gòu)的影響。還有其彈簧單元剛度通常是以結(jié)構(gòu)、螺栓材料和螺栓載荷為參數(shù)通過經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式得到，其計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性也有待商榷。

螺栓影響區(qū)對整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動特性的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)為剛度及阻尼。因而，在考慮影響區(qū)面積的前提下，本文提出一種用剛度非均勻分布的復(fù)彈簧單元來模擬螺栓結(jié)合部力學(xué)特性的建模方法，并在螺栓連接薄板振動特性分析上進(jìn)行了實(shí)踐。文中詳細(xì)描述了上述建模方法的原理，以及利用基于遺傳算法的反推辨識技術(shù)確定復(fù)彈簧單元參數(shù)的流程。最后，以用兩個螺栓連接在一起的薄板結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行了實(shí)例研究，通過與試驗(yàn)的比對證明了上述基于非均勻分布復(fù)彈簧單元模擬螺栓結(jié)合部力學(xué)特性的合理性。

1 基于非均勻分布復(fù)彈簧單元的螺栓結(jié)合部建模

以下具體描述利用非均勻分布復(fù)彈簧單元模擬螺栓結(jié)合部力學(xué)特性的建模方法，包括建模理念以及復(fù)彈簧單元剛度及阻尼參數(shù)的確定方法。

1.1 建模理念

螺栓在固定兩個連接結(jié)構(gòu)時(shí)會在結(jié)合面產(chǎn)生一個以螺栓桿軸心為中心的一個非均勻分布近似圓形的壓力區(qū)域，稱為螺栓影響區(qū)[10]。在振動分析中，可以說對螺栓結(jié)合部的模擬，就是要對這個螺栓影響區(qū)的有效模擬，具體涉及確定影響區(qū)的面積以及影響區(qū)剛度及阻尼特性的分布等。

1.1.1 螺栓影響區(qū)的面積

如圖1所示，dw為螺栓承載面直徑，t為連接板的厚度，D為螺栓影響區(qū)域直徑。可見，獲得了螺栓影響區(qū)直徑就確定了整個影響區(qū)的面積。

(a) 螺栓連接板結(jié)構(gòu)

當(dāng)螺栓型號及連接結(jié)構(gòu)已定時(shí)，可以確定dw及t的值，而半頂角α取值范圍一般在25°≤α≤33°[11]，基于上述參數(shù)，螺栓影響區(qū)直徑的計(jì)算式可表達(dá)為

D=dw+2t·tanα

(1)

按上述理論計(jì)算的螺栓影響區(qū)面積為圓形，但在有限元建模時(shí)(尤其是在自行研發(fā)的有限元程序中)，對圓形區(qū)域劃分網(wǎng)格不夠方便，為了簡化建模，這里采用一個與圓形區(qū)域面積相接近的正方形區(qū)域來描述螺栓影響區(qū)的力學(xué)特性。因而在本研究中，螺栓影響區(qū)的面積僅作為建模時(shí)添加復(fù)彈簧單元區(qū)域的參考，并沒有將實(shí)際螺栓影響區(qū)面積引入分析模型。

1.1.2 螺栓影響區(qū)的剛度及阻尼分布假定

研究表明[12]，在螺栓影響區(qū)中靠近螺栓區(qū)域的剛度值較大而遠(yuǎn)離螺栓區(qū)域的剛度值逐漸降低，直至影響區(qū)邊界剛度降至0。因而，采用均勻分布的彈簧模擬螺栓影響區(qū)的力學(xué)特性是不恰當(dāng)?shù)摹１疚奶岢鲇萌N剛度非均勻分布彈簧單元來模擬螺栓影響區(qū)的力學(xué)特性，包括正弦、拋物線和線性分布，如圖2所示。從圖中可以較為直觀的看出，三種分布均反映了螺栓影響區(qū)中心處剛度值最大，中心區(qū)向外圍區(qū)剛度值逐漸遞減的趨勢，因而可以較為真實(shí)地描述結(jié)合面的力學(xué)行為。

(a) 正弦分布

需要說明的是在本文的建模方法中，彈簧單元僅用于模擬螺栓影響區(qū)的面外剛度，且每根彈簧的剛度定義為復(fù)剛度k*，該復(fù)剛度同時(shí)包含了結(jié)合面的剛度及阻尼，表達(dá)為

k*=k+ic

(2)

這里k表征了螺栓結(jié)合面的剛度，而c描述了結(jié)合面的阻尼，且這是一種結(jié)構(gòu)阻尼。

首先討論影響區(qū)的剛度值分布?；趫D2所描述的螺栓影響區(qū)剛度分布假定，在影響區(qū)內(nèi)任一彈簧剛度k可由影響區(qū)中心處剛度值kmax以及彈簧單元距離影響區(qū)中心距離的2倍(即圖2中的d)來綜合確定。對于正弦、拋物線和線性分布，在影響區(qū)內(nèi)任一彈簧剛度的求解式可分別描述如下

k=kmaxsin[90°(1-d/D)]

(3)

k=kmax[1-(d/D)2]

(4)

k=kmax(1-d/D)

(5)

接著討論螺栓影響區(qū)的阻尼值分布。結(jié)合面的阻尼分布與剛度分布通常是不一樣的，通常在壓力大的地方剛度大而阻尼小[13]。考慮到阻尼機(jī)理的復(fù)雜性，為了簡化建模，將每根彈簧的結(jié)構(gòu)阻尼取同一值(即將阻尼在影響區(qū)內(nèi)視為均勻分布)。

綜上，基于非均勻分布復(fù)彈簧單元的螺栓結(jié)合部建模過程可簡要描述如下：① 根據(jù)螺栓的類型確定影響區(qū)的面積；② 基于此面積完成螺栓影響區(qū)網(wǎng)格劃分，在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上建立同時(shí)包含剛度及阻尼的復(fù)彈簧單元：③ 指定一種非均勻分布來描述螺栓影響區(qū)的彈簧單元剛度，用均勻分布來描述螺栓影響區(qū)的阻尼；④ 利用參數(shù)辨識技術(shù)確定復(fù)彈簧單元的剛度及阻尼值。

1.2 復(fù)彈簧單元剛度及阻尼參數(shù)確定方法

參見式(3)～式(5)，由于假定剛度值滿足一種特定的分布，因而在實(shí)際研究中只需要確定中心區(qū)最大剛度值kmax，而阻尼值對于每根彈簧單元是一樣，即需要確定參數(shù)c的值。

這里采用反推辨識法[14-15]確定上述待定參數(shù)，反推法基本思想可概括為：將需辨識的量值定義為設(shè)計(jì)變量(這里為kmax和c)，通過一個匹配算法不斷修正理論模型中的設(shè)計(jì)變量值，使計(jì)算獲得的結(jié)構(gòu)振動特性參數(shù)與試驗(yàn)測得的相一致，進(jìn)而反推出待辨識的參數(shù)。用于模擬螺栓結(jié)合面力學(xué)特性的復(fù)彈簧單元剛度參數(shù)直接影響螺栓連接板結(jié)構(gòu)的固有頻率，而復(fù)彈簧單元的阻尼參數(shù)直接影響螺栓連接板結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)幅值。因而，這里提出通過實(shí)測螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)的固有頻率和頻響函數(shù)幅值來反推復(fù)彈簧單元的剛度及阻尼參數(shù)。

圖3為利用反推辨識法確定復(fù)彈簧單元剛度及阻尼參數(shù)的流程，主要包括三項(xiàng)內(nèi)容，分別是試驗(yàn)測試、理論計(jì)算和匹配計(jì)算。對于試驗(yàn)測試，這里通過錘擊試驗(yàn)獲得螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，進(jìn)而由頻響函數(shù)峰值處對應(yīng)的頻率值確定各階固有頻率，這就為反推辨識提供了完整的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。在理論計(jì)算中，這里主要利用自編的有限元程序來完成螺栓連接薄板的有限元建模，詳見第2章。

圖3 復(fù)彈簧單元剛度(阻尼)辨識流程

匹配計(jì)算的目標(biāo)是使理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值盡快匹配，這里采用遺傳算法[16]來實(shí)現(xiàn)參數(shù)尋優(yōu)。模型參數(shù)的確定是通過將實(shí)測的固有頻率(頻響函數(shù)值)與相應(yīng)的有限元模型預(yù)測值之間的差異最小化來實(shí)現(xiàn)的，故反推辨識彈簧剛度的目標(biāo)函數(shù)可表達(dá)為

(6)

(7)

在基于遺傳算法反推復(fù)彈簧剛度及阻尼的匹配計(jì)算中，首先，需設(shè)定好種群數(shù)量，即迭代過程中任意一代給出的個體數(shù)量(這里個體指復(fù)彈簧單元剛度或阻尼參數(shù))、變異概率(種群里個體發(fā)生變異行為的概率)、交叉概率(種群里個體發(fā)生交叉行為的概率)、迭代次數(shù)等參數(shù)；接著，實(shí)施迭代計(jì)算，遺傳算法將通過選擇、交叉和變異等遺傳操作進(jìn)行概率化的迭代尋優(yōu)；最后，當(dāng)達(dá)到所設(shè)定收斂條件(例如達(dá)到最大的迭代次數(shù))后，即可獲得待辨識的復(fù)彈簧剛度或阻尼值。

2 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元建模及分析

這里用非均勻分布復(fù)彈簧單元模擬螺栓影響區(qū)的力學(xué)特性，完成螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元建模與分析。為了更好地實(shí)施所研發(fā)的建模理念以及反推辨識確認(rèn)復(fù)彈簧單元的剛度及阻尼參數(shù)，這里利用Matlab軟件自行研發(fā)有限元程序。圖4為處于懸臂狀態(tài)的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)，兩塊薄板由若干個螺栓搭接在一起。以下從板單元的分析、復(fù)彈簧單元引入以及螺栓連接板結(jié)構(gòu)振動特性求解描述整個分析的過程。

圖4 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)

2.1 薄板單元分析

選用如圖5所示的4節(jié)點(diǎn)薄板單元，每個節(jié)點(diǎn)具有3個自由度，即一個位移自由度w(撓度)、兩個轉(zhuǎn)動自由度θx和θy，單元的長度及寬度分別為a和b。

圖5 4節(jié)點(diǎn)薄板單元

單元節(jié)點(diǎn)位移矢量為

δe=[w1θx1θy1…w4θx4θy4]T

(8)

每節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)可表示為

(9)

i=1,2,3,4

式中：ξ，η為介于-1和+1間的局部坐標(biāo)；ξi和ηi為第i個節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)。

根據(jù)單元剛度矩陣定義可求出單元剛度矩陣，求解式為

Ke=t?BTDBdxdy

(10)

式中：B是由幾何方程推得的單元應(yīng)變矩陣;D為由材料參數(shù)確定的彈性矩陣

相應(yīng)地，薄板單元質(zhì)量矩陣求解式可表示為

Me=t?NTρNdxdy

(11)

式中：ρ為板的密度；N為由式(9)描述的節(jié)點(diǎn)形函數(shù)組成的形函數(shù)矩陣。

2.2 復(fù)彈簧單元的引入與系統(tǒng)組集

在螺栓影響區(qū)的每個節(jié)點(diǎn)上都有一個同時(shí)包含剛度及阻尼的復(fù)彈簧單元，其剛度方向?qū)?yīng)于上述板單元的位移自由度為w(撓度)，在有限元分析時(shí)，需要將這些單元與板單元進(jìn)行有效的組集。

復(fù)彈簧單元的剛度及阻尼矩陣可分別表達(dá)為

(12)

(13)

則總的復(fù)彈簧單元復(fù)剛度矩陣表達(dá)為

(14)

引入邊界條件后，將彈簧的復(fù)剛度矩陣與兩塊板的剛度矩陣進(jìn)行組集，整個組建過程可用式(15)進(jìn)行描述。式(15)中，左上角框圈起來的部分為第一塊板的剛度組集，m表示第一塊板的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)，左下角為第二塊板的剛度組集，n表示第二塊板的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)，中間部分為搭接部分與復(fù)彈簧單元復(fù)剛度矩陣的組集，l表示復(fù)彈簧單元個數(shù)。

(15)

通過這種剛度組集方式，得到螺栓連接結(jié)構(gòu)的復(fù)剛度矩陣K*，該復(fù)剛度矩陣同時(shí)包含了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度及螺栓結(jié)合面產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)阻尼。螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量矩陣M不涉及復(fù)彈簧單元，因而總質(zhì)量矩陣可表達(dá)為

(16)

2.3 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)振動特性求解

懸臂狀態(tài)下的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)的頻域運(yùn)動方程為

(K*-ω2M)X=F

(17)

式中：ω為激振頻率;X為響應(yīng)向量;F為激振力向量。

用于求解螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的特征方程可表達(dá)為

(18)

式中：KR為復(fù)剛矩陣K*的實(shí)部，ωr和φr分別為第r階固有頻率和實(shí)模態(tài)振型。

參見式(17)，螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)復(fù)頻響函數(shù)矩陣為

(19)

本文中螺栓連接板結(jié)構(gòu)模型可認(rèn)為是小阻尼系統(tǒng)，可認(rèn)為引入的阻尼并不影響系統(tǒng)的特征向量，因而可用實(shí)模態(tài)理論分析系統(tǒng)振動行為。

利用求得的模態(tài)振型矩陣φ，對上述方程做正交變換有

(20)

式中，ηr為由復(fù)彈簧單元的阻尼部分產(chǎn)生的第r階模態(tài)損耗因子。

在實(shí)測時(shí)，通常無法也沒有必要獲得整個系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。只需獲得在i點(diǎn)激勵和j點(diǎn)拾振獲得的頻響函數(shù)，這對應(yīng)頻響函數(shù)矩陣的一個元素，可表示為

(21)

實(shí)際研究中一般只需要考慮前若干階次即可，即考慮前n0個階次。

3 實(shí)例研究

3.1 問題描述

這部分以螺栓連接鋼板為例描述本文提出的用非均勻分布復(fù)彈簧單元模擬螺栓結(jié)合部力學(xué)特性進(jìn)而完成組合結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模與分析的方法。圖6(a)為所研究的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)，其由兩塊鋼制帶孔薄板經(jīng)螺栓連接緊固構(gòu)成，相關(guān)的幾何及材料參數(shù)如表1所示。采用錘擊法對該螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行固有特性測試，對螺栓施加3 N·m的預(yù)緊力，測試中通過PCB SN 30272力錘對薄板連接結(jié)構(gòu)施加寬頻激勵，使用Polytec PDV-100激光多普勒測振儀拾振，LMS SCSDAS數(shù)據(jù)采集分析儀用于獲取激勵及響應(yīng)信號，在獲取模態(tài)振型時(shí)，錘擊點(diǎn)為圖6(a)中標(biāo)注的所有節(jié)點(diǎn)，拾振點(diǎn)位置如圖不變，利用獲取的頻響函數(shù)可得到各階固有頻率。而文中分析所選取的頻響函數(shù)在試驗(yàn)獲取時(shí)的錘擊點(diǎn)位置在圖6(a)中做了突出標(biāo)注，相關(guān)測試結(jié)果列在后續(xù)的與理論分析相對照的各表格中。

(a) 螺栓連接薄板

表1 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)中板的相關(guān)材料及幾何參數(shù)

3.2 螺栓連接薄板動力學(xué)建模

用于連接兩塊薄板的螺栓為M6外六角頭螺栓，因而參照式(1)可確定每個螺栓影響區(qū)的面積為171.37 mm2。所創(chuàng)建模的有限元模型見圖6(b)，每個板共劃分了400個單元，882個節(jié)點(diǎn)，兩塊板在螺栓影響區(qū)對應(yīng)節(jié)點(diǎn)處用復(fù)彈簧單元進(jìn)行連接。圖6(b)中的節(jié)點(diǎn)包含了圖6(a)中的所有節(jié)點(diǎn)，以保證分析獲得的頻響函數(shù)能與試驗(yàn)結(jié)果比較?？紤]到圓形影響區(qū)在有限元建模時(shí)難以模擬，因而這里用面積相近的矩形區(qū)替換實(shí)際的圓形影響區(qū)來對結(jié)合部進(jìn)行有限元建模。每個影響區(qū)共設(shè)置了16個板單元，其總的面積與前述圓形影響區(qū)面積計(jì)算值大體一致。用25個復(fù)彈簧單元模擬螺栓結(jié)合面的剛度及阻尼特性，且其中復(fù)彈簧單元的剛度值共劃分為6個梯度，分別按正弦、拋物線和線性分布賦值。參照式(3)～式(5)，每個復(fù)彈簧單元的剛度值都可以通過螺栓影響區(qū)中心處最大剛度值kmax計(jì)算獲得。

為了明確用哪種復(fù)彈簧單元分布形式模擬螺栓影響區(qū)力學(xué)特性更能提升分析模型的精度，這里進(jìn)行了對比研究。同時(shí)，為了說明這種用分布彈簧單元模擬螺栓影響區(qū)建模理念的先進(jìn)性，還對比了用單根以及均布彈簧單元模擬螺栓結(jié)合部力學(xué)特性的結(jié)果。分別采用反推辨識技術(shù)，利用實(shí)測的前5階固有頻率，針對不同的螺栓影響區(qū)建模方式，確定彈簧單元的剛度值，其中對前5階分配的權(quán)重依次為0.1、0.1、0.3、0.3和0.2，遺傳算法中種群數(shù)量、變異概率、交叉概率、迭代次數(shù)依次設(shè)置為50、0.05、0.9和50，辨識得到的螺栓影響區(qū)中心彈簧剛度值結(jié)果如表2所示。

表2 反推法辨識獲得的模擬螺栓影響區(qū)中心處的彈簧單元剛度

需要說明的是表2中的彈簧剛度值是使對應(yīng)的螺栓影響區(qū)模擬方法達(dá)到最高模擬精度的剛度值。用此剛度值獲得的螺栓連接板的前5階固有頻率與試驗(yàn)值的比對分別如表3和表4所示。

表3 單根彈簧和彈簧剛度值均勻分布時(shí)模型固有頻率與試驗(yàn)固有頻率對比

表4 彈簧剛度值非均勻分布時(shí)模型固有頻率與試驗(yàn)固有頻率對比

從表3與表4的對比可非常直觀地看出用單根彈簧或彈簧剛度值均勻分布模擬螺栓影響區(qū)時(shí)模型獲得的固有頻率與試驗(yàn)結(jié)果的接近程度明顯差于彈簧剛度值按正弦、拋物線和線性分布時(shí)的結(jié)果。進(jìn)一步，利用均方根誤差(RMSE)方法對比上述三種非均勻分布模擬時(shí)的各階固有頻率與試驗(yàn)值的偏差，RMSE的求解式如下

(22)

將表4中的數(shù)據(jù)代入到式(22)，獲得對應(yīng)三種分布形式的仿真與試驗(yàn)前5階固有頻率的RMSE，結(jié)果如表5所示。

表5 各非均勻分布形式中仿真與試驗(yàn)前5階固有頻率的RMSE

通過表5中的RMSE對比可以看出，采用正弦分布時(shí)，模型前5階固有頻率與試驗(yàn)值的接近程度更好。故在后續(xù)分析時(shí)，對于本文的結(jié)構(gòu)，螺栓影響區(qū)均采用剛度值按正弦分布的非均勻分布彈簧單元來模擬。

為了進(jìn)一步描述清楚該建模方法的可用性，以下進(jìn)一步討論了螺栓影響區(qū)面積對分析結(jié)果的影響。將螺栓影響區(qū)增加至用25個板單元來模擬，相應(yīng)的復(fù)彈簧單元數(shù)量增加到36個，并按正弦分布賦彈簧剛度值，求解該搭接板結(jié)構(gòu)的固有頻率。將獲得的結(jié)果與上面用16個板單元模擬影響區(qū)面積的結(jié)果進(jìn)行比對，如表6所示。從對比結(jié)果可以看出，變動影響區(qū)面積會使分析結(jié)果發(fā)生改變，但變動的幅度并不大?？梢娭灰谝欢ǖ睦碚摯_定螺栓影響區(qū)面積參考值，在實(shí)際建模中基于此參考值大致確定一個影響區(qū)面積作為添加復(fù)彈簧單元的依據(jù)則可獲得具有一定精度的分析結(jié)果。

表6 影響區(qū)面積變動前后模型固有頻率對比

3.3 振動特性求解

前一部分已描述了固有頻率的求解，這里繼續(xù)求解螺栓連接板的模態(tài)振型。仿真計(jì)算獲得的模態(tài)振型與實(shí)測模態(tài)振型的對比如表7所示，可以看出兩者的振型基本一致。

表7 試驗(yàn)與仿真前5階振型對照

接下來進(jìn)行頻響函數(shù)的計(jì)算，計(jì)算之前需獲得復(fù)彈簧單元的阻尼。前面已述，這里采用阻尼值均勻分布的復(fù)彈簧單元模擬螺栓影響區(qū)的阻尼特性。參照圖6所描述的錘擊點(diǎn)及拾振點(diǎn)，利用式(21)進(jìn)行頻響函數(shù)計(jì)算。首先，采用反推辨識技術(shù)，利用實(shí)測包含前5階固有頻率的頻響函數(shù)曲線，依次分配的權(quán)重為0.4、0.1、0.3、0.1和0.1，遺傳算法中種群數(shù)量、變異概率、交叉概率、迭代次數(shù)依次設(shè)置為50、0.05、0.9和50，不斷迭代模型中彈簧阻尼單元的阻尼值，使頻響函數(shù)曲線盡可能接近實(shí)測曲線，完成迭代后，螺栓影響區(qū)任一彈簧阻尼單元的阻尼值為c=3.56×107N/m。接著用此阻尼值獲得最終的頻響函數(shù)曲線并與實(shí)測值比對，如圖7所示。從圖中也可看出，仿真與實(shí)測的頻響函數(shù)也有較好的接近。

圖7 實(shí)測與仿真頻響函數(shù)對比

綜上，從固有頻率、模態(tài)振型以及頻響函數(shù)的比對中，可以得出結(jié)論，本文所提出的用非均勻分布彈簧單元模擬螺栓影響區(qū)進(jìn)而實(shí)施有限元建模可實(shí)現(xiàn)較高的仿真計(jì)算精度。

4 結(jié) 論

本文采用非均勻分布復(fù)彈簧單元模擬螺栓結(jié)合部影響區(qū)，以螺栓連接薄板為對象，描述了相關(guān)的有限元建模及參數(shù)辨識方法，得出如下結(jié)論：

(1) 提出用剛度非均勻分布復(fù)彈簧單元模擬螺栓影響區(qū)壓力非均勻分布的力學(xué)特性，并給出了詳細(xì)的建模流程及方法。實(shí)踐表明用本文假定的正弦、拋物線和線性等非均勻分布復(fù)彈簧單元模擬螺栓影響區(qū)并建立動力學(xué)模型，其建模精度遠(yuǎn)高于用單根及均布彈簧單元模擬螺栓影響區(qū)的模型。

(2) 提出的復(fù)彈簧單元同時(shí)包含了剛度及阻尼，這種建模方式既可以較為精確的模擬結(jié)合面的力學(xué)特性又可簡化建模過程，通過所提出的基于遺傳算法的反推辨識流程可較為精確的確定復(fù)彈簧單元的剛度及阻尼參數(shù)。

(3) 在有效引入非均勻分布復(fù)彈簧單元的基礎(chǔ)上，建立了螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)有限元模型，計(jì)算得到的前5階固有頻率與試驗(yàn)測得的固有頻率偏差均小于4%，求解得到的模態(tài)振型也與試驗(yàn)振型基本一致，仿真和實(shí)測的頻響函數(shù)也有著很好的接近，從而證明了該建模方法的合理性。需要說明的是，由于模擬螺栓結(jié)合部的復(fù)彈簧單元的剛度及阻尼是常值，因而本文所創(chuàng)建的動力學(xué)有限元模型僅能模擬結(jié)構(gòu)線性振動特性。無法再現(xiàn)由于激振力幅的增加而使螺栓連接結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的軟式(或硬式)、諧波失真、跳躍等非線性振動現(xiàn)象。后續(xù)，可對復(fù)彈簧單元模型加以改進(jìn)，以適應(yīng)螺栓連接結(jié)構(gòu)非線性振動研究。