隨機擾動下多電機網(wǎng)絡(luò)混沌振蕩的反饋可調(diào)節(jié)控制

郭士銘， 韋篤取

(廣西師范大學(xué) 電子工程學(xué)院，桂林 541004)

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有高功率密度、高轉(zhuǎn)矩密度、高效率、高穩(wěn)定性等特性[1-2]，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)與日常生活中[3-4]。然而永磁同步電機是多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，在某些參數(shù)條件下會出現(xiàn)混沌行為，混沌會造成電機間歇振蕩，進而影響電機的工作狀態(tài)[5]。另一方面，在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，需要多電機網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定協(xié)調(diào)同步運行[6]，多電機網(wǎng)絡(luò)一旦出現(xiàn)混沌振蕩，將會影響電力傳動系統(tǒng)的工作效率，造成極大的經(jīng)濟損失。此外，實際生產(chǎn)過程中，電機系統(tǒng)由于受到隨機噪聲及隨機負荷的影響而具有隨機性[7]，使多電機網(wǎng)絡(luò)的控制工作變得更復(fù)雜。因此，研究隨機擾動下多電機網(wǎng)絡(luò)的混沌控制對保證工業(yè)生產(chǎn)的高效安全運行具有重要意義。目前，國內(nèi)外學(xué)者提出了較多的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌控制理論與方法，如有限時間控制[8]、間歇性控制[9]、滑?？刂芠10]，等等。但有關(guān)電機網(wǎng)絡(luò)的混沌控制研究尚屬少見。本文將在前人的工作基礎(chǔ)上提出反饋可調(diào)節(jié)控制方法對隨機多電機網(wǎng)絡(luò)混沌進行控制。

反饋可調(diào)節(jié)是指將非線性控制系統(tǒng)的反饋進行調(diào)節(jié)，使系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。已有文獻研究表明，對單個非線性系統(tǒng)的增益進行自適應(yīng)調(diào)節(jié)后，可以有效控制混沌[11]。本文首先以PMSM為節(jié)點，以電機間的耦合為連邊，建立隨機擾動下不同拓撲結(jié)構(gòu)(Newman-Watts,NW)小世界網(wǎng)絡(luò)，星型網(wǎng)絡(luò))的多電機網(wǎng)絡(luò)模型，然后基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論提出反饋可調(diào)節(jié)控制方法，對多電機網(wǎng)絡(luò)的混沌進行控制。最后數(shù)值仿真驗證了控制方法的可行性和有效性。研究結(jié)果對保證電力傳動系統(tǒng)正常運行具有指導(dǎo)意義。

1 PMSM動力學(xué)模型

目前廣泛研究的永磁同步電機模型為三維自治系統(tǒng)[12-14]，其數(shù)學(xué)模型如下

(1)

式中:x1、x2、x3分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量;σ、γ是系統(tǒng)無量綱參數(shù)，均為正值。已有文獻研究表明[15]，PMSM系統(tǒng)在一定的系統(tǒng)參數(shù)范圍內(nèi)會出現(xiàn)紊亂無周期的混沌狀態(tài)。以系統(tǒng)(1)為節(jié)點，電機間的耦合為連邊，建立多電機網(wǎng)絡(luò)，其數(shù)學(xué)模型如下

(2)

式中:i為節(jié)點編號;c>0為耦合強度。Aij表示網(wǎng)絡(luò)的拓撲連接：如果網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i和j之間存在連接，則aij=aji=1；否則，aij=aji=0。同時,對所有i，有aii=0。

2 隨機擾動下PMSM網(wǎng)絡(luò)模型

對于一般隨機非線性系統(tǒng)可以描述為如下模型

dx=f(x)dt+h(x)dw

(3)

其中x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，w表示定義在完備概率空間上的r維布朗運動，f(·):Rn→Rn和h(·):Rn→Rn是在x上的局部Lipschitz函數(shù)，且滿足f(0)=0和h(0)=0。

定義1：對于給出的V(x)∈C2，結(jié)合差分公式(3)，定義差分運算L如下

(4)

式中,Tr{A}是A的跡。

引理1[16]：對于隨機系統(tǒng)(3)，如果隨機非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為負定，則系統(tǒng)在區(qū)間上存在唯一解，且系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

將PMSM系統(tǒng)與式(3)相結(jié)合，可得到隨機多電機網(wǎng)絡(luò)模型[17]

(5)

式中,Ψ1i，Ψ2i，Ψ3i表示任一節(jié)點未知的平滑非線性函數(shù)。

3 多電機網(wǎng)絡(luò)的反饋可調(diào)節(jié)控制設(shè)計

設(shè)計如下控制器

(6)

式中,β，k，m均為控制器參數(shù)。將控制器加入系統(tǒng)(5)得

(7)

式中，x4i為系統(tǒng)的反饋。下面我們通過李雅普諾夫穩(wěn)定理論來驗證控制器的可行性。

將Vi按照式(4)進行差分運算

(8)

只需滿足差分算式LVi<0即可說明受控系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)文獻[11]對差分式的分析，當(dāng)Vi為正定函數(shù)且系統(tǒng)為隨機非線性系統(tǒng)時，差分式(8)各項均滿足以下關(guān)系式

(9)

(10)

式中:C1，C2，C3為正常數(shù);k≥0為控制器參數(shù);ε，b是待定系數(shù)。

結(jié)合關(guān)系式(8)～(10)可得

LVi≤k-1-2ε-b(C1+1)||x1i||4+

(11)

||x1i||4[k-1-2ε-b(C1+1)-l1+k-1-2ε-b]+

-|x1i||4[-k-1-2ε-b(C1+2)+l1]-

(12)

k-1+l2kb>k-1-ε(C2+2C3+1+C4)

則可得LV為負定，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

4 實驗仿真

控制器u具體表達式如下

u=-(β1β2β3k-m1x1+β2β3k-m2x2+β3k-m3x3)

(13)

根據(jù)以上推論與條件，設(shè)置控制器參數(shù)為：m1=3，m2=2，m3=1，k=3，β1=2，β2=2.11，將參數(shù)代入式(13)可得

u=-(0.3k-m1x1+0.5k-m2x2+0.7k-m3x3)

(14)

首先分析反饋可調(diào)節(jié)控制器對NW型小世界電機網(wǎng)絡(luò)的影響。網(wǎng)絡(luò)的拓撲實現(xiàn)過程如下：從一個節(jié)點數(shù)N=50，近鄰數(shù)m=2的最近鄰耦合電機網(wǎng)絡(luò)開始，然后在非近鄰節(jié)點之間以概率ρ隨機添加連邊。對于ρ=0，它就退化成原來的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)；對于ρ=1，它就變成一個全局耦合網(wǎng)絡(luò)。系統(tǒng)參數(shù)取γ=28，ρ=0.7，c=3。系統(tǒng)在無反饋調(diào)節(jié)控制時，各節(jié)點時序如圖1所示。

(a) x1i時序

從圖1可知，在NW小世界電機網(wǎng)絡(luò)中當(dāng)隨機非線性系統(tǒng)中未加入反饋調(diào)節(jié)控制時,多電機網(wǎng)絡(luò)處于混沌狀態(tài)，各電機節(jié)點均處于無規(guī)則振蕩狀態(tài)中，通過對比圖1(a)，(b)和(c)可知，系統(tǒng)變量x3i振蕩幅度最大，故在實驗仿真中控制器加到系統(tǒng)變量x3i中。

從圖2可知，在NW小世界中加入反饋調(diào)節(jié)控制器后，各節(jié)點的系統(tǒng)狀態(tài)變量曲線均在短時間內(nèi)趨于穩(wěn)定，說明在NW小世界電機網(wǎng)絡(luò)中加入反饋調(diào)節(jié)控制器能有效抑制系統(tǒng)混沌。

(a) x1i時序

接著分析反饋調(diào)節(jié)對星型電機網(wǎng)絡(luò)的作用，節(jié)點數(shù)取50，系統(tǒng)參數(shù)取γ=28，σ=5.6，c=3系統(tǒng)在無反饋調(diào)節(jié)控制時，狀態(tài)變量如圖3所示。

(a) x1i時序

從圖3可以看出，星型電機網(wǎng)絡(luò)在沒有反饋調(diào)節(jié)控制時處于混沌運動狀態(tài)。然后在系統(tǒng)中加入反饋調(diào)節(jié)控制器，系統(tǒng)的狀態(tài)變量如圖4所示。

(a) x1i時序

從圖4可知，系統(tǒng)在加入反饋調(diào)節(jié)控制后，星型電機網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點的混沌振蕩得到了有效控制，但狀態(tài)變量時序圖趨于穩(wěn)定所需的時間較長。仿真實驗結(jié)果表明反饋調(diào)節(jié)控制同樣適用于星型電機網(wǎng)絡(luò)，但對于NW小世界電機網(wǎng)絡(luò)中的混沌控制效果更優(yōu)。

5 結(jié) 論

本文利用反饋可調(diào)節(jié)控制方法對隨機擾動下多電機網(wǎng)絡(luò)的混沌進行控制。首先以PMSM為節(jié)點，電機間的耦合為連邊，建立具有不同拓撲結(jié)構(gòu)(NW小世界網(wǎng)絡(luò)，星型網(wǎng)絡(luò))的多電機網(wǎng)絡(luò)隨機模型，然后提出了一種反饋可調(diào)節(jié)控制方法，并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了該方法的可行性。最后運用數(shù)值仿真方法對理論分析的有效性進行了驗證。本文研究結(jié)果對保證多電機復(fù)雜系統(tǒng)的正常工作有一定的指導(dǎo)意義。