用于大型地埋管換熱器傳熱分析的絕熱圓柱域模型

張方方，路偉，朱科，方肇洪，于明志,2

(1.山東建筑大學熱能工程學院，山東濟南，250101；2.山東省綠色建筑協(xié)同創(chuàng)新中心，山東濟南，250101)

自2010年以來，我國淺層地熱能的開發(fā)利用年均增長速度約為28%，截止2017年底，中國地源熱泵裝機容量達2 萬MW，位居世界第一[1]。隨著地源熱泵技術在國內(nèi)的快速發(fā)展，地源熱泵系統(tǒng)應用趨于大型化方向發(fā)展[2?4]，地埋管換熱器規(guī)模越來越大，鉆孔數(shù)量上千甚至上萬的情況屢見不鮮。埋管數(shù)量達到數(shù)百的地埋管換熱器一般視為大型地埋管換熱器[5?6]，此類換熱器長期運行模擬分析的計算任務量大[7]，給研究人員特別是設計人員帶來很大困難，因此，如何快速、準確預測大型地埋管換熱器的長期運行性能是亟需解決的重要問題。

地埋管換熱器的傳熱分析方法大體上可以分為數(shù)值方法和解析方法2 大類[8?10]。數(shù)值方法適應性強[11?14]，但是求解埋管數(shù)量較多的地埋管換熱器的三維非穩(wěn)態(tài)傳熱時，其計算工作量往往太大[15?17]。目前廣泛采用的地埋管換熱器解析方法是以鉆孔壁為界分成鉆孔內(nèi)和鉆孔外2個部分進行分析，鉆孔內(nèi)通常采用二維或準三維的忽略鉆孔內(nèi)熱容影響的計算模型[18?19]；鉆孔外主要是基于有限長線熱源[20?21]和有限長圓柱源[22?23]方法，采用疊加原理的方法計算管群地埋管換熱器傳熱問題[24?28]。有限長線熱源和有限長圓柱源模型都是基于Kelvin熱源理論而提出的熱源模型，分別將地埋管與周圍巖土換熱看成是有限長線熱源和有限長柱熱源與周圍的半無限大均勻介質(zhì)之間的換熱，熱源長度等于埋管深度，地面通常視為溫度不變的第一類邊界條件。通過上述處理，可以得到土壤溫度場的解析解，計算得到大幅度簡化。雖然解析方法較數(shù)值解方法計算工作量大幅度減小，但對于鉆孔數(shù)量較多的大型地埋管換熱器進行長期傳熱分析計算時，其計算工作量依然很大，計算所需時間過長。

綜上，分析埋管數(shù)量較多的大型和超大型地埋管換熱器傳熱時，尚缺乏快速有效分析方法。鑒于此，本文基于大型地埋管換熱器傳熱特性提出一種簡易解析模型。

1 絕熱圓柱域傳熱模型

對于埋管均勻分布的大型地埋管換熱器，其內(nèi)部埋管數(shù)量遠超周邊埋管數(shù)量，故內(nèi)部埋管傳熱決定了整個地埋管換熱器傳熱特性。由傳熱學基本原理可知，在鉆孔均勻分布且換熱條件相同的情況下，大型埋管換熱器內(nèi)部各埋管與周圍土壤的傳熱可視為各自在一個周邊絕熱的局部空間域內(nèi)的傳熱過程，不受其他地埋管影響。基于此，大型均勻布置地埋管換熱器傳熱問題可簡化為周邊絕熱的單埋管傳熱問題，從而大幅度降低傳熱分析任務艱巨性。

1.1 物理模型

均勻布置的地埋管換熱器管群通常設計成均勻分布的矩形或三角形陣列，如圖1所示，當其他換熱條件相同時，內(nèi)部區(qū)域各埋管之間矩形或六邊形邊界(即圖1中的方柱和六棱柱邊界)可以看作是絕熱邊界。為簡化分析，將方柱形或六棱柱形區(qū)域簡化為如圖2所示的圓柱體區(qū)域，圓柱體區(qū)域的橫斷面與所代表的方柱或六棱柱區(qū)域的斷面面積相等。

圖1 典型地埋管換熱器布管形式Fig.1 Typical pipe arrangements of geothermal heat exchangers

圖2 絕熱圓柱域模型示意圖Fig.2 Diagram of adiabatic cylinder model

為簡化分析，采用以下基本假設：

1)對地埋管與周圍土壤傳熱僅考慮導熱，忽略地下水滲流；

2)地下土壤熱物性參數(shù)均勻且恒定；

3)將鉆孔壁視為溫度均勻的等溫面，將地埋管與周圍土壤換熱視為柱面熱源與周圍土壤的換熱，且熱流沿柱面深度方向均勻分布；

4)忽略沿深度方向的傳熱，忽略鉆孔底部和地表處傳熱影響；

5)圓柱區(qū)域的外邊界為絕熱邊界；

6)初始時刻地下溫度分布均勻。

1.2 數(shù)學模型

根據(jù)前面物理模型，地埋管與周圍土壤間傳熱的控制方程為

式中：θ為土壤過余溫度，℃；τ為時間，s；λ為土壤導熱系數(shù)，W/(m·K)；ρ為土壤密度，kg/m3；c為土壤比熱容，J/(kg·K)；r為土壤中任意點到鉆孔中心的距離，m。

初始條件為

式中：rb為鉆孔半徑，m；r1為絕熱邊界距鉆孔中心距離，m。

邊界條件為

式中：q為單位長度上的發(fā)熱率，W/m。

1.3 模型求解

基于疊加原理，可以把以上模型分解為3個簡單問題的疊加[18]。假設過余溫度θ(r，τ)由θ1(τ)，θ2(r)和θ3(r，τ)這3個部分組成，即

式中：θ1(τ)為整個區(qū)域平均溫度，K，滿足

θ2(r)滿足

由式(7)～(9)可得：

θ3(r，τ)滿足

上述方程可以用拉普拉斯變換法或分離變量法求解，其解為

式中：a為熱擴散率，m2/s；βn為特征方程

的第n個正根。

這樣，式(1)～(4)的解可以寫為

1.4 鉆孔壁溫

解析方法中，鉆孔壁溫是連接鉆孔內(nèi)外傳熱分析計算的關鍵參數(shù)。當時間較長時，式(17)右邊指數(shù)項趨于0，另鉆孔壁處r=rb，則鉆孔壁溫可由式(17)得到：

式中：Tb為鉆孔壁溫，℃；θb(τ)為鉆孔壁過余溫度，℃；t0為土壤初始溫度，℃。

對于地埋管換熱器，通常有rb?r1，則式(18)可進一步簡化為

2 模型驗證

將目前國內(nèi)外廣泛采用的有限長線熱源模型和工程實測數(shù)據(jù)用于驗證建立的絕熱圓柱域模型的準確性。

2.1 與有限長線熱源模型對比驗證

首先，以冷熱負荷平衡和不平衡2 類工況為例，對比分析絕熱圓柱域模型(模型A)與有限長線熱源模型[29](模型B)計算結果。由于土壤溫度場中鉆孔壁溫變化幅度最大，2種模型得到的參數(shù)相差也會最大。下面將對比分析模型A 計算得到的鉆孔壁溫與模型B得到的中心鉆孔壁溫和所有鉆孔平均壁溫。

冷熱負荷平衡工況參數(shù)如下：地埋管換熱器為30個×30個的鉆孔布置，埋管間距為5 m，埋管深度為100 m，鉆孔半徑rb為80 mm，地下初始溫度為15 ℃，土壤導熱系數(shù)為2 W/(m·K)，土壤容積比熱為4×106J/(m3·K)。夏季空調(diào)時間為4 個月，地埋管每延米平均熱負荷為30 W/m；冬季供暖時間為3個月，每延米平均熱負荷為?40 W/m。

冷熱負荷不平衡工況參數(shù)如下：地埋管夏季每延米平均放熱負荷取3 種工況，分別為31.5，33.0 和34.5 W/m；地埋管冬季每延米平均熱負荷均取為?40 W/m。其他參數(shù)同平衡工況。

地下冷熱負荷不平衡率ξ的定義如下：

式中：Qf為年總放熱負荷，kJ；Qx為年總吸熱負荷，kJ。上述3種冷熱負荷不平衡工況的負荷不平衡率ξ分別為5%，10%和15%。

圖3所示為模型A計算的鉆孔壁溫與模型B計算的中心鉆孔壁溫隨時間的變化。由圖3可見：無論負荷平衡與否，2個模型計算的結果都基本一致(由于2個模型計算結果非常接近，故圖3中2個模型得到的溫度曲線幾乎完全重合)，在20年運行期內(nèi)，2 個模型計算溫度差為?0.31～0.18 ℃。這表明采用絕熱圓柱域模型預測大型地埋管換熱器管群的長期運行性能是可靠的。

圖3 模型A計算的鉆孔壁溫與模型B計算的中心鉆孔壁溫隨時間的變化Fig.3 Changes of borehole wall temperature with time calculated by Model A and central borehole wall temperature calculated by Model B

圖4所示為2種模型計算的所有鉆孔平均壁溫隨時間的變化。由圖4可見：模型A計算的鉆孔壁溫與模型B計算的所有鉆孔平均壁溫也有較高吻合度，當ξ分別為0，5%，10%和15%，二者計算溫差值范圍分別為?0.62～0.02，?0.28～0.14，?0.25～0.67和?0.23～1.22 ℃，計算差值不大，即可采用絕熱圓柱域模型的計算鉆孔壁溫代表埋管群的平均鉆孔壁溫。上述結果還表明，負荷不平衡時，冬季和夏季負荷不平衡率越小，模型A 計算結果越準確。

圖4 不同ξ時，2種模型計算的所有鉆孔平均壁溫隨時間的變化Fig.4 Mean temperature of all boreholes walls changes with time calculated by two models at different ξ

2.2 與工程實測數(shù)據(jù)對比驗證

采用濟南某住宅地源熱泵空調(diào)系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)驗證本文建立模型，該地源熱泵空調(diào)系統(tǒng)地埋管換熱器鉆孔825 個，測試時間為2019年2月15日—2019年2月28日，共336 h。鉆孔及回填材料相關參數(shù)如下：土壤導熱系數(shù)為2.13 W/(m·K)，回填材料導熱系數(shù)為1.05 W/(m·K)，鉆孔半徑為75 mm，PE 管外徑為32 mm，U 形管2 根管子的1/2間距為40 mm。

基于鉆孔壁溫和熱負荷，采用鉆孔穩(wěn)態(tài)二維導熱模型計算循環(huán)液溫度[30]，如圖5所示。由圖5可見：測試的循環(huán)液溫度與采用絕熱圓柱域模型模擬計算的循環(huán)液溫度變化趨勢基本吻合，在測試的336 h 內(nèi)，二者溫差范圍為?0.55～0.84 ℃，這表明絕熱圓柱域模型用于大型地埋管地源熱泵系統(tǒng)的工程計算具有較高的準確性和應用效果。

圖5 絕熱圓柱域模型模擬溫度與測試溫度的對比Fig.5 Simulation temperatures of adiabatic cylindrical domain model compared with test temperatures

3 模型適用性

對于均勻布管的地埋管換熱器，鉆孔數(shù)量越多，地埋管換熱器內(nèi)部各鉆孔區(qū)域越接近邊界絕熱的假設，采用絕熱圓柱域模型的計算結果越準確。反之，計算誤差越大。下面以負荷不平衡率為15%工況為例，對比不同埋管規(guī)模時模型A 與模型B計算的所有鉆孔平均壁溫，分析模型A的適用性，計算結果如圖6所示。

由圖6可見：地埋管換熱器鉆孔數(shù)量越大，2種模型的計算溫度越接近，當鉆孔規(guī)模分別為10 個×10 個，20 個×20 個，30 個×30 個，40 個×40個和50個×50個時，在20年運行期內(nèi)，2個模型計算溫度差值范圍分別為?0.34～3.12，?0.26～1.72，?0.23～1.22，?0.21～0.96 和?0.20～0.81 ℃。因此，即使冬季和夏季負荷不平衡率達到15%，埋管為30個×30個時，采用模型A的最大溫度誤差也不超過1.3 ℃，鉆孔規(guī)模增大，計算誤差更小。因此，可認為絕熱圓柱域模型適用于埋管規(guī)模大于30個×30個時的大型地埋管管群傳熱分析計算。

圖6 不同鉆孔規(guī)模，2種模型計算的所有鉆孔平均壁溫隨時間的變化(ξ=15%)Fig.6 Mean temperature of all boreholes walls changes with time calculated by two models at different borehole sizes(ξ=15%)

進行大型地埋管換熱器傳熱分析時，由于埋管數(shù)量多而面臨計算工作量過大的問題，可采用絕熱圓柱域模型進行傳熱分析。該模型在滿足較高準確性的前提下，計算工作量較小且與埋管數(shù)量無關，而且埋管數(shù)量越多，誤差越小。

4 模型計算時間比較

絕熱圓柱域模型通過改變求解地下溫度場傳熱方程的邊界條件，將復雜的多埋管傳熱問題簡化為單管傳熱問題，極大簡化了多埋管傳熱的計算過程。通過有限長線熱源模型和絕熱圓柱域模型的對比計算發(fā)現(xiàn)：在配置為Intel(R) Core(TM)i7-8565U CPU@1.8GHZ 1.99GHZ 的電腦上完成絕熱圓柱模型模擬計算埋管第20年鉆孔壁溫的逐日變化，所需時間與鉆孔規(guī)模無關，僅需24 s，而完成有限長線熱源模型按日計算輸出30 個×30 個，40 個×40 個和50 個×50 個的鉆孔群第20年鉆孔平均壁溫的逐日變化，所耗時間分別為53.35，100.77 和266.18 h，所耗時間分別為絕熱圓柱域模型的8 002，15 115 和39 927 倍，鉆孔數(shù)量越多，使用絕熱圓柱域模型計算速度提升得越快。因此，采用絕熱圓柱域模型可實現(xiàn)埋管均布的大型和超大型地源熱泵系統(tǒng)長期運行模擬的快速計算，這為大型和超大型地源熱泵系統(tǒng)的傳熱特性分析、工程設計提供了便捷的計算方法。

5 結論

1)對于大型地埋管換熱器，采用絕熱圓柱域模型計算的鉆孔壁溫與有限長線熱源模型計算的中心鉆孔壁溫和所有鉆孔平均壁溫比較一致，其2種模型計算結果在20年運行期內(nèi)相差很??；采用絕熱圓柱域模型模擬計算的循環(huán)液溫度與工程測試的循環(huán)液溫度變化趨勢基本吻合。這表明絕熱圓柱域模型可用于大型地埋管換熱器傳熱分析計算。

2)鉆孔數(shù)量越多，絕熱圓柱域模型與有限長線熱源模型的計算溫度越接近。當鉆孔規(guī)模大于30 個×30 個時，2 種模型溫度計算誤差較小。因此，絕熱圓柱域模型適用于埋管規(guī)模不小于30個×30個的大型和超大型地埋管換熱器傳熱分析。

3)提出的絕熱圓柱域模型計算及其解析解的計算速度超快，可用于均勻布管的大型和超大型地源熱泵系統(tǒng)地埋管與土壤傳熱計算分析。