求解并聯(lián)冷機負荷分配問題的改進FODPSO算法

于軍琪，趙澤華，趙安軍，王福，陳時羽

(西安建筑科技大學建筑設備科學與工程學院，陜西西安，710055)

近年來，隨著人們對舒適性要求的不斷提高，作為中央空調系統(tǒng)的主要耗能設備的冷水機組在大型公共建筑中得到了更加廣泛的應用，其運行能耗約占中央空調系統(tǒng)總能耗的60%，而該能耗約占建筑總能耗的25%～40%[1]。由于不同類型的冷機具有不同額定容量和性能參數(shù)，可以通過調控各冷機的運行工況滿足不同的末端負荷需求，從而大幅提高系統(tǒng)的靈活性[2]。因此，如何提高并聯(lián)冷機系統(tǒng)的運行效率使其運行能耗最低成為當代建筑節(jié)能的研究課題之一。

研究人員采取許多優(yōu)化算法解決并聯(lián)冷機負荷分配(optimal chiller loading，OCL)問題。CHANG[3]采用拉格朗日法(Lagrange method，LM)求解OCL問題，發(fā)現(xiàn)雖然該法較傳統(tǒng)的平均負荷法能耗更低，但在較低負荷需求下無法收斂；CHANG 等[4]又提出梯度法(gradient method，GM)解決該問題，GM克服了LM收斂性差的缺點，但其迭代步驟偏多且求解精度略低。近年來，許多元啟發(fā)式算法也被用于解決OCL 問題。CHANG[5]采用遺傳算法(genetic algorithm，GA)克服了LM在面對非凸函數(shù)時不適用的缺點，但無法有效降低能耗；LEE等[6]采用粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)求解該問題，發(fā)現(xiàn)PSO 算法在該問題上的尋優(yōu)效果優(yōu)于GA 算法；CHANG 等[7]又提出模擬退火算法(simulated annealing，SA)，發(fā)現(xiàn)該方法能快速產(chǎn)生精度較高的結果；LEE等[2]針對該問題采用差分進化算法(differential evolution，DE)求解，取得了和PSO 算法一致的優(yōu)化結果，但其平均能耗更低；COELHO 等[8?9]提出基于高斯分布函數(shù)改進的螢火蟲算法(improved firefly algorithm，IFA)和差分布谷鳥搜索算法(differential evolution cuckoo search algorithm，DCSA)，發(fā)現(xiàn)依據(jù)這2種算法的尋優(yōu)結果制定的系統(tǒng)運行策略比其他算法的能耗更低；ZHENG 等[10?11]提出的改進雜草入侵優(yōu)化算法(improved invasive weed optimization，EIWO)和改進人工魚群算法(improved artificial fish swarm algorithm，IAFSA)也是解決此問題的有效方法；TEIMOURZADEH 等[12]將增廣群搜索優(yōu)化算法(augmented group search optimization，AGSO)應用于該目標的求解，發(fā)現(xiàn)AGSO 算法具有良好收斂性，能取得良好的節(jié)能效果；于軍琪等[1]提出一種改進的煙花算法(improved fireworks algorithm，IFA)，相比于現(xiàn)有的優(yōu)化結果，該算法能夠找到更好的運行策略，同時在收斂性方面具有較強競爭性。

從以上研究可以看出，數(shù)學規(guī)劃求解方法和元啟發(fā)式算法能從中央空調系統(tǒng)運行實際情況出發(fā)解決OCL問題，并且具有較好優(yōu)化效果。但是，大部分元啟發(fā)式算法都是在集中搜索環(huán)境下搜索求解，搜索過程相較于并行式搜索過程較慢，并且需要較大的種群規(guī)模。此外，一個優(yōu)化算法可能在一個優(yōu)化問題上有較好性能，但在其他優(yōu)化問題上并不適用。特別是對OCL 問題，并聯(lián)冷機系統(tǒng)由不同性能和容量的冷機組成，并且不同系統(tǒng)中冷機數(shù)量也不同，導致該問題中優(yōu)化變量維度、適應度函數(shù)不確定。因此，研究一種適用范圍更廣、穩(wěn)定性更強、不需針對特定優(yōu)化問題的并行式搜索算法十分重要。

COUCEIRO 等[13]提出分數(shù)階達爾文粒子群優(yōu)化 (fractional order Darwinian particle swarm optimization,FODPSO)算法，該算法以一種并行式搜索方式尋優(yōu)，對計算問題要求低且搜索效率較高；榮兵等[14?15]分別在該算法中利用Logistic 模型和粒子狀態(tài)信息動態(tài)調整分數(shù)階次，能顯著提高收斂精度和速度。近年來，F(xiàn)ODPSO 算法在其他領域也有著眾多應用，例如紅外圖像分割和缺陷邊緣識別[16]、血管的邊緣檢測[17]和可持續(xù)綠色能源系統(tǒng)的控制[18]。綜上所述，F(xiàn)ODPSO算法對于優(yōu)化問題的求解有著顯著的效果，因此，本文應用該算法解決OCL問題。

1 問題描述

中央空調系統(tǒng)采用的多冷機系統(tǒng)可以調整本身的負荷，使每臺冷機都運行在最佳工況下。圖1所示為多冷機系統(tǒng)結構圖，由圖1可見：多冷機系統(tǒng)由2臺或多臺冷機通過并聯(lián)或串聯(lián)管道連接到一個共同的分配系統(tǒng)[9]，這導致該系統(tǒng)具有操作靈活性較高、備用容量較大和中斷維護較少的特點。該系統(tǒng)可以通過調整本身的運行工況滿足末端的基本負荷需求，使其以最佳效率運行。

圖1 多冷機系統(tǒng)結構圖Fig.1 Systematic diagram of multiple-chiller plant

每臺冷機都有不同的額定容量和能耗特征，供水和回水可以通過旁通管調節(jié)，使水流量可根據(jù)系統(tǒng)的末端負荷需求進行變化。通過控制供回水的水流量，系統(tǒng)的末端負荷需求可以分配到每1臺冷機，滿足整個系統(tǒng)的負荷需求。多冷機系統(tǒng)在中央空調方面具有較穩(wěn)定的控制效果。

典型OCL 問題的優(yōu)化目標通常表示為整個冷機系統(tǒng)的功率消耗，具體而言，是在滿足末端負荷需求的前提下，使各冷機的能耗總和達到最小，獲得最佳系統(tǒng)性能，達到節(jié)能減排的目的。在一定的濕球溫度下，離心式冷水機組的功率是其部分負荷率的凸函數(shù)[2]。本文將離心式冷水機組的功耗表示為

式中：Pc,i為第i臺冷機功率，ai，bi，ci和di為第i臺冷機本身的性能參數(shù)；Ri為第i臺冷機的部分負荷率。

并聯(lián)冷機系統(tǒng)負荷分配問題是在給定目標函數(shù)最小的情況下，尋找不超過運行限制條件的冷水機組部分負荷率，以最低運行功率滿足中央空調末端負荷需求，如下式所示：

式中：P為并聯(lián)冷機系統(tǒng)的總功率；Np為并聯(lián)冷機臺數(shù)?？紤]到冷水機組的性能和制造廠商的建議，每臺冷機的部分負荷率R應不小于0.3。

因此，并聯(lián)冷機負荷分配優(yōu)化模型的目標函數(shù)和約束條件的數(shù)學式如下：

式中：為第i臺冷水機組的額定制冷量；Qneed為系統(tǒng)末端冷卻負荷需求。

2 改進分數(shù)階達爾文粒子群優(yōu)化算法

PSO 算法是用于優(yōu)化問題最著名的生物啟發(fā)算法之一，是受鳥群在二維空間覓食啟發(fā)得來的[6]，但最大的問題是容易陷入局部最優(yōu)，降低算法的求解精度。FODPSO 算法首先將PSO 算法擴展到多個種群協(xié)同進化，增強種群多樣性[19]；其次，將參數(shù)選擇任務復雜化，通過達爾文選擇機制動態(tài)改變各種群的種群規(guī)模和搜索空間對優(yōu)化問題進行求解，包括刪除最差粒子、生成新粒子和新種群，這種動態(tài)改變種群規(guī)模可以合理分配計算資源[20]。

假設問題維數(shù)為D，算法中每個粒子代表在搜索空間中的1 個可行解，速度vi,j(t)=[vi,1(t),vi,2(t),…,vi,D(t)]和位置xi,j(t)=[xi,1(t),xi,2(t),…,xi,D(t)]表示粒子i當前的運動狀態(tài)，適應度反映粒子的優(yōu)劣。在粒子速度中引入分數(shù)階微積分使粒子在運動過程中表現(xiàn)得更平滑和智能[14]，使某一時刻粒子的速度包含與當前和過去時間相關的項：

式中：α為分數(shù)階系數(shù)。

雖然FODPSO 算法的收斂精度較PSO 算法有了較大提升，但粒子同樣只學習個體最優(yōu)和全局最優(yōu)的更新方式，依舊使算法陷入局部最優(yōu)值的概率較大。另一方面，F(xiàn)ODPSO 算法必須依據(jù)粒子整體評價性能，這種隨機性進化無法保證粒子所有維同時趨向最優(yōu)[21]，影響算法的穩(wěn)定性和收斂速度。

針對上述問題，提出了一種改進的分數(shù)階達爾文粒子群優(yōu)化(improved fractional order Darwinian particle swarm optimization，IFODPSO)算法。改進算法的主要作用有：

1)采用蒙特卡洛方法結合基本算數(shù)運算符生成初始種群，可以在搜索前期加快粒子逼近較好的搜索區(qū)域，提高前期收斂速度；

2)引入多重優(yōu)化改進粒子性能的評判方式，對所有粒子各維的值逐維更新并比對適應度，提高算法穩(wěn)定性并加快收斂進程；

3)在此基礎上，提出在粒子位置更新時通過自適應多策略行為使并行種群的所有粒子依適應度自適應選擇更新方式，從而更好地平衡全局勘探和局部開發(fā)能力，最終提高算法的搜索精度。

該算法求解OCL 問題時，待優(yōu)化目標為并聯(lián)冷機系統(tǒng)總功率最小，待優(yōu)化變量為各冷機的部分負荷率(R)，末端負荷需求作為約束條件。針對并聯(lián)冷機負荷分配問題，其求解過程的具體步驟如下。

2.1 初始化

粒子的初始位置通常是隨機的，理想情況下與全局最優(yōu)解無關。但針對不同的優(yōu)化問題，算法的收斂精度和速度對其初始值有不同程度的依賴性[22]。當初始值偶然接近全局最優(yōu)解時，可以減少搜索量，快速逼近全局最優(yōu)解。

蒙特卡洛是一種依賴重復隨機抽樣獲取數(shù)值結果的方法。重復模擬的次數(shù)越多，數(shù)值結果越逼近問題的解，同時，問題的維數(shù)對蒙特卡洛的計算量不造成影響。因此，初始化時，利用蒙特卡洛方法可以快速找到全局最優(yōu)解的近似解X=[X1,X2,…,XD]，為后續(xù)尋優(yōu)提供一個更精確的搜索空間。

結合基本算數(shù)運算符即四則運算所使用的運算符來生成初始種群：除法和乘法運算符分別提供長距離和短距離搜索，加法和減法運算符提供中等距離搜索[19]。用式(5)定義初始化粒子：

式中：N0為各并行種群的初始種群規(guī)模；φ為隨機數(shù)，φ∈[0,1]；Xj為近似最優(yōu)解對應維的值；xi,j為粒子初始位置，表示第i個粒子在j維搜索空間的分量。

OCL 問題中部分負荷率是連續(xù)變化的，設定由并聯(lián)冷機系統(tǒng)的部分負荷率序列組成的向量表示每個粒子的位置，即xi,j=Rj，因此，每一個粒子都代表OCL 問題的1 個可行解。同時必須滿足冷機部分負荷率的預定義范圍，

通過基本算術運算符建立近似最優(yōu)解和隨機數(shù)的運算關系，可以較全面地將粒子生成在距近似解較近、較遠和中等距離的區(qū)域，同時，式(5)保證所有粒子的初始化位置集中在近似最優(yōu)解周圍。圖2所示為改進前后種群初始化位置示意圖。這種直接將粒子生成在最優(yōu)解附近的初始化方式可以減少搜索可行域，提高粒子前期的搜索效率。

圖2 改進前后種群初始化位置示意圖Fig.2 Schematic diagram of population initialization position before and after improvement

粒子過大的初始速度容易使粒子超出搜索空間的邊界，影響算法收斂速度。本文將粒子速度初始化為0，如式(7)所示，其中vi,j(0)為粒子初始速度：

為了初始化各并行種群中粒子的個體最優(yōu)和全局最優(yōu)并量化每個粒子的價值，將粒子適應度Fi表示為

其中：Pi為粒子i對應的冷水機組總功率。

2.2 多重優(yōu)化

FODPSO 算法在求解OCL 問題時使所有冷機對應的部分負荷率序列同時計算和更新，而這會導致整體較差粒子的某些維可能比整體較好粒子的對應維更好，卻不能體現(xiàn)在個體最優(yōu)中用于更新[21]。因此，搜索出各冷機的最優(yōu)部分負荷率十分困難，同時會使各維變量相互影響進而出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，影響算法穩(wěn)定性[23]。

本文將1次迭代過程分割為更小的間隔，每個間隔只更新一部分負荷率序列，依次完成所有部分負荷率序列的更新。

1)從R1開始更新，保持所有粒子中除R1外的其余R對應維的值不變，對與R1對應維的值、個體最優(yōu)和全局最優(yōu)進行更新；

2)只對R2對應維的值進行更新并更新個體最優(yōu)和全局最優(yōu)；

3)依次更新所有R對應維的值，依達爾文選擇機制進化種群，即一次迭代過程結束，進入下一次迭代，直至達到終止迭代的條件為止。

多重優(yōu)化改進粒子優(yōu)劣的評判方式：更新Rj+1時使用的個體最優(yōu)和全局最優(yōu)相較于更新Rj時擁有更好的價值，保證粒子在迭代過程中具有更好的價值。同時，每臺冷機的部分負荷率序列單獨更新消除了變量之間的相互影響，提高了算法的穩(wěn)定性。

2.3 自適應多策略行為

粒子的速度和位置更新是本算法的核心內容，但傳統(tǒng)僅通過學習其個體最優(yōu)和全局最優(yōu)來更新，這會造成算法全局勘探和局部開發(fā)能力不平衡，使陷入局部最優(yōu)的概率增大。為了解決該問題，本文在粒子位置更新時引入自適應多策略行為：將各并行種群中的粒子依適應度分為精英粒子和次等粒子，不同類型的粒子自適應地選擇各自的更新方式，分別用于局部開發(fā)和全局勘探。

精英粒子適應性較好，其主要任務是通過局部開發(fā)提高搜索精度，定義其學習樣本集由各并行種群的所有精英粒子組成；次等粒子適應性較差，其主要任務是通過全局勘探保持種群多樣性，定義其學習樣本集由各并行種群的所有粒子組成。圖3所示為自適應學習策略。由圖3可見：各粒子依據(jù)其適應度自適應選擇更新方式更新自身位置，同時，達爾文選擇機制使各并行種群在更新過程中可以通過刪除最差粒子、生成新粒子和生成新種群，動態(tài)改變種群規(guī)模和搜索空間。

圖3 自適應學習策略Fig.3 Adaptive learning strategies

2.3.1 維度學習

通過粒子的個體最優(yōu)向全局最優(yōu)學習，維度學習重新構造個體最優(yōu)，可以將全局最優(yōu)中有價值的信息傳遞給個體最優(yōu)[24]。本文采用基于多重優(yōu)化的維度學習更新精英粒子，假設以5臺并聯(lián)冷機總能耗最低為優(yōu)化目標，如圖4所示。其中，是精英粒子i的個體最優(yōu)；是精英粒子學習樣本集中的全局最優(yōu)，兩者各維度的值分別用于對應冷機部分負荷率序列的更新，多重優(yōu)化導致Rj更新完畢后更新，xg用于Rj+1的更新。同時，設置1 個測試向量xt，具體過程如下。

圖4 維度學習更新精英粒子iFig.4 Dimensional learning updates elite particle i

step 1：首先令xt=，對于R1，使則適應度因此，不更新，比較各精英粒子適應度并更新xg。

step 2：令xt=，對于R2，使因此，更新更新xg；

step 3：令xt=，對于R3，使F(xt)

step 4：令xt=，對于R4，使F(xt)>F()，因此，不更新，更新xg；

step 5：令xt=，對于R5，使F(xt)

精英粒子i更新Rj時公式如下：

式中：ω為慣性權重；學習因子c1和c2為非負常數(shù)；r1和r2為[0,1]之間的隨機數(shù)。維度學習中所有精英粒子都從全局最優(yōu)中學習來完成位置的更新，這種以全局最優(yōu)為中心的信息交流方式使其具有強大的局部開發(fā)能力[24]，同時，多重優(yōu)化保證了每個精英粒子在迭代過程中具有更好的價值。

2.3.2 遺傳學習

KAO等[25]證明GA由于遺傳算子在進行交叉和變異時的相對無方向性，該算法的局部開發(fā)能力較差但具有較強的全局勘探能力。因此，將次等粒子看作遺傳算子，采用基于多重優(yōu)化的遺傳學習來更新次等粒子，提高算法的全局勘探能力。具體步驟如下。

1)交叉。更新Rj時，首先將次等粒子i的個體最優(yōu)和次等粒子學習樣本集中的全局最優(yōu)xg對應維的值進行交叉，產(chǎn)生后代oi=[oi,1,oi,2,…,oi,D]。

式中：粒子m為次等粒子學習樣本集中的任一粒子，隨機數(shù)ri,j∈[0,1]。

2)變異。隨后后代oi,j以概率pm發(fā)生變異，各維都會生成1個隨機數(shù)rj∈[0,1]。

式中：lj和uj為Rj預定義范圍的邊界。

3)選擇。經(jīng)過交叉和變異產(chǎn)生的后代oi與次等粒子i當前的學習樣本即個體最優(yōu)的適應度進行比較，得到次等粒子i最終的學習樣本ei,j：

采用文獻[27]提出的粒子速度更新方式，次等粒子學習樣本集中所有粒子的個體最優(yōu)都可用于更新粒子速度，該樣本集的設置也有利于加快次等粒子向所有并行種群中的優(yōu)秀個體學習，保留了種群的多樣性。次等粒子i更新Rj時公式如下：

遺傳學習應用遺傳算子，通過交叉、變異和選擇重新構造學習樣本以更新次等粒子。交叉集成了個體最優(yōu)和全局最優(yōu)的信息，可以產(chǎn)生價值更高的后代；變異通過對后代信息的隨機性更改使次等粒子具有較強的全局勘探能力；確保次等粒子的學習樣本隨著迭代進行擁有更好的價值。同樣地，多重優(yōu)化使更新Rj后更新個體最優(yōu)和全局最優(yōu)并使兩者在更新Rj+1時的交叉和選擇階段發(fā)揮作用，保證每個次等粒子在迭代過程中具有更好的價值。

在每一次迭代過程中，各并行種群中的粒子都會根據(jù)適應度重新分類，之后重新自適應選擇更新方式來滿足不同的搜索目的。因此，不僅同一個種群中的不同粒子在1次迭代過程中有不同的更新方式，而且同一個粒子在不同的迭代過程中也有不同的更新方式。區(qū)別于魏博文等[26]提出的PSO-GA 算法，2 種算法松散耦合導致相互作用產(chǎn)生的效果難以確定，自適應多策略行為動態(tài)地為不同狀態(tài)的粒子提供不同的更新方式并使粒子分別專注于全局勘探和局部開發(fā)，提高了算法性能[20]。

2.4 迭代選擇

采用搜索計數(shù)器Sc來記錄種群中粒子在迭代過程中未找到更好全局最優(yōu)的次數(shù)[18]。若Sc達到，則刪除該種群中適應度最低的粒子；當生成1 個新粒子時，Sc將被重置為0。為了保持算法搜索多樣性，每次刪除粒子后Sc隨被刪除粒子數(shù)目Nkill更新：

每個并行種群在沒有粒子被刪除的前提下，都可以采用式(15)生成1 個新種群，以此避免持續(xù)產(chǎn)生新種群，造成種群數(shù)量過快達到上限。

式中：隨機數(shù)f∈[0,1]；ng為該并行種群的種群規(guī)模。

FODPSO 算法的收斂性能直接取決于分數(shù)階系數(shù)α[16]，更新公式如下：

其中：t為當前迭代次數(shù)；T為設定的總迭代次數(shù)。

IFODPSO 算法在求解OCL 問題時的流程如圖5所示。

圖5 IFODPSO算法流程圖Fig.5 Flow chart of IFODPSO algorithm

2.5 時間復雜度分析

定義N和D為種群規(guī)模和問題維數(shù)，PSO算法的時間復雜度為O(N×D)[24]；FODPSO 算法中各并行種群的時間復雜度計算如下。

1)初始化：O(N×D)；

2)粒子進行速度與位置更新：O(2N×D)；

3)達爾文選擇機制進化種群：2×O(1)+O(lgN)；

4)計算粒子適應度：O(N×D)；

5)判斷迭代是否停止：O(1)。

IFODPSO 算法由于對初始化和粒子更新方式進行了改進，使算法時間復雜度有所增加：初始化過程時間復雜度變?yōu)镺(NM)+O(N×D)(NM為蒙特卡洛模擬次數(shù))、粒子速度與位置更新時間復雜度變?yōu)镺(N1×D)+2×O(N2×D)+O(1)+O(N×D)(N1和N2分別為精英粒子和次等粒子的個數(shù))，但與基本FODPSO 算法的時間復雜數(shù)在同一個數(shù)量級。這表明IFODPSO 算法的較高收斂精度、較快收斂速度和較好穩(wěn)定性是以犧牲較少計算復雜度為代價獲得的[16]。

3 測試案例與結果分析

3.1 測試案例

選取2 個典型的并聯(lián)冷機系統(tǒng)驗證IFODPSO算法性能。案例1的系統(tǒng)由3臺制冷量為2 813.6 kW的冷機組成；案例2 的系統(tǒng)則由4 臺制冷量4 501.8 kW 和2 臺4 396.3 kW 的冷機組成。2 個案例中的并聯(lián)冷機系統(tǒng)均位于中國臺灣省新州科學園區(qū)的半導體工廠，并相繼被用于測試PSO[6]，DE[2]，DCSA[9]，EIWO[10]和IFA[1]等相關優(yōu)化算法求解OCL問題的能力。2個案例中的并聯(lián)冷機系統(tǒng)具有不同數(shù)量和制冷量的冷機就是為了測試IFODPSO 算法在不同并聯(lián)冷機系統(tǒng)和不同工況下解決OCL 問題的能力。系統(tǒng)中部分冷機的類型和額定制冷量都是相同的，但由于各冷機經(jīng)過長時間運行后設計溫度和流量等均存在差異，導致各冷機的性能曲線并不相同，因此，各冷機的性能參數(shù)a，b，c和d也不相同。在2 個案例中，冷水機組的性能參數(shù)如表1所示。

表1 并聯(lián)冷機系統(tǒng)中各設備性能參數(shù)Table 1 Performance parameters of each device in parallel chiller system

3.2 結果分析

為了驗證IFODPSO算法求解OCL問題的可行性，對該算法與其他現(xiàn)有優(yōu)化算法在每個實驗工況下分別進行獨立實驗，并將經(jīng)過相同次數(shù)迭代后得到的結果進行對比。在案例1 的實驗中，將IFODPSO 算法與GA[5]、PSO[6]和DCSA[9]算法的優(yōu)化結果進行對比，結果如表2所示。從表2可見：與GA 算法相比，IFODPSO 算法在不同負荷需求(占系統(tǒng)總額定制冷功率的比例)下相對節(jié)能比例可以達到0.20%～21.66%，特別是當負荷需求低于60%時，節(jié)能效果更加明顯，達到了11.49%～21.66%；IFODPSO 算法與PSO 和DCSA 算法在各負荷需求下得到的計算結果相似。

表2 案例1中GA、PSO、IFA、IFODPSO算法結果對比Table 2 GA,PSO,IFA,IFODPSO algorithm results comparison in Case 1

在案例2的實驗中，將IFODPSO算法與GA[5]、PSO[6]和DS[28]算法的優(yōu)化結果進行對比，如表3所示。從表3可見：與GA算法相比，IFODPSO算法在不同負荷需求下相對節(jié)能比例可以達到0.59%～4.51%，與PSO 算法相比節(jié)能0.02%～2.71%，特別是當負荷需求低于75%時，所得的運行策略相較于GA和PSO算法都具有更明顯的節(jié)能效果；而與DS算法相比，在負荷需求高于80%時，優(yōu)化效果相當，負荷需求小于75%時，節(jié)能1.62%～2.24%，整體上具有較好節(jié)能效果。

表3 案例2中GA、PSO、DS、IFODPSO結果對比Table 3 GA,PSO,DS,IFODPSO algorithm results comparison in Case 2

同時，將IFODPSO 算法與FODPSO[13]、TSLPSO[24]算法優(yōu)化結果進行對比，如表4所示。從表4可見：案例1中，IFODPSO算法在各負荷需求下均有與FODPSO 和TSLPSO 算法相當?shù)墓?jié)能效果；案例2 中，IFODPSO 算法在不同負荷需求下相對節(jié)能比例可以達到0.02%～4.85%。相比于案例1，案例2 中IFODPSO 算法的節(jié)能效果更加明顯。這是因為系統(tǒng)中冷機數(shù)量更多，對應優(yōu)化問題的維數(shù)更高，進一步說明IFODPSO 算法在解決高維優(yōu)化問題時具有更大優(yōu)勢。值得注意的是，案例2中FODPSO算法的優(yōu)化結果明顯低于其他算法的優(yōu)化效果，主要原因是FODPSO 算法搜索到次優(yōu)解時直接放棄該區(qū)域的搜索而開始搜索另一個新的區(qū)域，導致搜索效率低，使算法需要很長的收斂時間，在規(guī)定迭代次數(shù)內無法收斂，而改進之后的IFODPSO算法使搜索能力得到提升。

表4 不同案例中FODPSO、TSLPSO、IFODPSO算法優(yōu)化總功率對比Table 4 Comparison of optimization total power of FODPSO,TSLPSO and IFODPSO in different cases

在2 個案例實驗中，IFODPSO 算法的收斂曲線如圖6所示。由圖6可見：在算法執(zhí)行過程中，在迭代初期適應度快速下降，之后較平穩(wěn)，說明算法在滿足系統(tǒng)末端負荷需求的前提下向總功率最小的方向迭代更新。案例1 中，算法在20 次之前完成了迭代收斂過程；案例2 中，算法在30 次之前完成了迭代收斂過程，具有良好的收斂性。同時，收斂前期曲線較平緩，說明改進后的初始化使算法從全局最優(yōu)解附近開始尋優(yōu)，加快了算法前期收斂速度。

圖6 不同案例下IFODPSO算法收斂曲線Fig.6 Convergence curves of IFODPSO algorithm under different cases

根據(jù)上述實驗結果可見，除了案例2中在負荷需求小于75%工況下IFODPSO 算法的計算結果明顯優(yōu)于TSLPSO外，其他情況下優(yōu)化結果均相同或相近。為了消除偶然性并進一步檢驗算法的穩(wěn)定性，IFODPSO 算法和TSLPSO 算法在各負荷需求下，迭代次數(shù)為100 次，獨立運行30 次的計算結果的平均值、最小值、最大值和標準差如表5所示。

由表5可見：案例1 中2 種算法在各負荷需求下計算結果的標準差均保持較低水平，尤其當負荷需求低于60%時，IFODPSO 算法所得結果的標準差為0，TSLPSO 算法所得結果的標準差相較于該算法在其他工況下更接近于0，說明2 種算法對于案例1 等較低維度的優(yōu)化問題均有較好穩(wěn)定性。案例2 中IFODPSO 算法所得結果標準差均不超過0.01，明顯比TSLPSO算法的低，特別是當負荷需求分別為70%和75%時標準差為0；而TSLPSO算法在各負荷需求下所得結果的標準差較大，特別是當負荷需求為70%，80%，85%和90%時標準差分別達到了28.353 1，2.777 1，5.239 1 和7.399 3，遠遠高于相同工況下IFODPSO 算法所得結果的標準差，說明對于案例2 等高維優(yōu)化問題IFODPSO算法有更好穩(wěn)定性。另外，2個案例中不同負荷需求下IFODPSO 算法計算總功率的最小值、最大值和平均值均比TSLPSO 算法的低，同時驗證了IFODPSO算法的優(yōu)越性。

表5 IFODPSO算法與TSLPSO算法優(yōu)化結果對比Table 5 Comparison of optimization results between TSLPSO and IFODPSO

另外，TSLPSO 算法和IFODPSO 算法在各負荷需求下30次計算結果與最優(yōu)值的相對誤差如圖7所示。從圖7可見：對于案例1，TSLPSO 算法相對誤差均低于0.015%，其中負荷需求為40%和50%工況下的相對誤差曲線較平坦；而IFODPSO算法相對誤差均低于0.004%，其中負荷需求為40%，50%和60%工況下的相對誤差曲線很平坦且接近于0。

圖7 不同案例下TSLPSO和IFODPSO算法相對誤差Fig.7 Relative error of TSLPSO and IFODPSO algorithm under different cases

對于案例2，TSLPSO 算法相對誤差均低于5%，其中負荷需求為75%工況下的相對誤差曲線較平坦；而IFODPSO算法相對誤差均低于6×10?5，其中負荷需求為70%和75%工況下的相對誤差曲線很平坦且接近于0。同時，IFODPSO算法在2個案例中的其余工況下相對誤差曲線雖有波動，但相對于TSLPSO 算法來說均保持很低水平。因此，從整體上看，IFODPSO算法得到的各工況下30次運行結果的相對誤差曲線比TSLPSO 算法更平坦，相對誤差更小，驗證了算法的穩(wěn)定性。

4 結論

1)針對并聯(lián)冷機負荷分配(OCL)問題，建立了并聯(lián)冷機負荷分配優(yōu)化模型，提出了一種改進分數(shù)階達爾文粒子群優(yōu)化(IFODPSO)算法來求解OCL問題。

2)算法中引入蒙特卡洛方法結合基本算數(shù)運算符，減少搜索可行域；采用多重優(yōu)化策略削弱各維變量之間的相互影響，利于同時搜尋到每一維最優(yōu)解；在粒子進行更新時采用自適應多策略行為使每個粒子依據(jù)自身性能動態(tài)選擇更新方式，平衡算法的全局勘探和局部開發(fā)能力。

3)IFODPSO 算法在收斂精度、收斂速度和穩(wěn)定性方面的綜合性能相較于現(xiàn)有優(yōu)化算法顯著提升，改進效果明顯，能使并聯(lián)冷機系統(tǒng)中的各冷機按能耗更低的運行策略運行。

4)IFODPSO算法是一種有效解決OCL問題的算法。在未來的研究工作中，將重點研究多目標IFODPSO 算法及其在整個冷凍站系統(tǒng)中的多目標優(yōu)化問題中的應用。